2023~2024學(xué)年江西上饒高三高考數(shù)學(xué)理仿真試題帶解析

2023-2024學(xué)年江西省上饒高三高考數(shù)學(xué)（理）仿真模擬試題一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】解出對數(shù)不等式，化簡集合A和集合B即可.【詳解】由題可得=，，所以，故選：C.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算，求出復(fù)數(shù)的形式，再利用共軛復(fù)數(shù)求解.【詳解】因為，，，所以，所以.故選：A.3．圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．4．已知多項式，則（

）A．60 B．74 C．20 D．【正確答案】C【分析】根據(jù)二項式定理求解.【詳解】對于，其展開項的系數(shù)為，對于，其展開項的系數(shù)為，展開項中為；故選：C.5．若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一極值點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象特征，根據(jù)整體法即可列出不等式滿足的關(guān)系進行求解．【詳解】當(dāng)，，由于在區(qū)間上恰有唯一極值點，故滿足，解得，故選：B．6．將字母a，a，b，b，c，c放入如圖所示的3×2的表格中，每個格子各放一個字母，若字母相同的行的個數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】求出的所有可能值，再結(jié)合排列、組合及古典概率求出各個值對應(yīng)的概率作答.【詳解】字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同結(jié)果有種，隨機變量的可能值為，，所以的數(shù)學(xué)期望為.故選：B7．在正方體中，點在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點，使得（

）

A． B．C．平面 D．平面平面【正確答案】A【分析】作出截面后可作，從而判斷A，利用線面垂直的性質(zhì)判斷BC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D．【詳解】選項A，正方體中，顯然有，連接延長，如果直線交棱于點（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；

選項B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當(dāng)平面，平面時，直線與平交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯；選項C，由選項B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯；選項D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點只能在棱上，與已知不符，D錯．故選：A．8．在正項數(shù)列中，，記．整數(shù)滿足，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義，裂項相消求和和對數(shù)不等式的求解即可得解.【詳解】因為，所以為首項是1，公差是1的等差數(shù)列，所以，所以，的前項和為，整數(shù)滿足，所以，是整數(shù)，所以，所以則數(shù)列的前項和為：.故選：C.9．點為橢圓上一點，曲線與坐標軸的交點為，，，，若，則點到軸的距離為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】先求出，，，的坐標，得到，為橢圓的焦點，得到，從而判斷出為橢圓上一點，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由曲線與坐標軸的交點為，，，，不妨設(shè)，，，.則，為橢圓的焦點，而為橢圓上一點，所以.因為，所以，又，根據(jù)橢圓定義知點的軌跡為以C、D為焦點的橢圓，所以軌跡方程為，聯(lián)立，消去得，則，故點到軸的距離為.故選：A.10．若過點可以作曲線的兩條切線，切點分別為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，再根據(jù)切線過點，結(jié)合韋達定理可得的關(guān)系，進而可得的關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)即可得出答案.【詳解】設(shè)切點，則切線方程為，又切線過，則，有兩個不相等實根，其中或，令或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，即.故選：D.11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，對任意的，恒有，則下列說法錯誤的是（

）A． B．必為奇函數(shù)C． D．若，則【正確答案】A【分析】利用賦值法求的值，判斷A；賦值法結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)奇偶性的定義，判斷B；賦值法結(jié)合換元法判斷C；利用賦值法求得，的值有周期性，即可求得的值，判斷D．【詳解】對于A，令，則由可得，，故或，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，令，則，則，故，函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；令，則，則，當(dāng)時，，則，為奇函數(shù)，綜合以上可知必為奇函數(shù)，B正確；對于C，令，則，故，由于，令，，即，即有，故C正確；對于D，若，令，，則，則，故令，則，即，，令，，則，即，，令，，則，即，，令，，則，即，，令，，則，即，，令，，則，即，，由此可得，的值有周期性，且6個為一周期，且，故，故D正確，故選：A．12．若正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，則由可得；構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證得，則由證得，進而證得.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）；所以，即.設(shè)，則，當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）；所以，又（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）所以，即.若，則，與矛盾，故．綜上所述，.故選：D．二、填空題13．一組數(shù)據(jù)由6個數(shù)組成，將其中一個數(shù)由4改為1，另一個數(shù)由6改為9，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為_________．【正確答案】5【分析】先計算均值，再根據(jù)方差的定義求解.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)為，均值為，不妨設(shè)，，方差為；由題意，新數(shù)據(jù)為，顯然新數(shù)據(jù)的均值與原數(shù)據(jù)的均值相等，其方差為；即新數(shù)據(jù)的方差比原數(shù)據(jù)的方差增加了5；故5.14．已知等比數(shù)列中，，則滿足成立的最大正整數(shù)的值為_________．【正確答案】4【分析】求出等比數(shù)列的公比和首項，得出數(shù)列是等比數(shù)列，并求出其首項，公比和前項和，即可求出使不等式成立的最大正整數(shù)的值.【詳解】由題意，，在等比數(shù)列中，，設(shè)公比為，∴，解得：，∴，∵，∴數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，∴，∴當(dāng)時，，即，解得：，∴最大正整數(shù)的值為，故4.15．在平面直角坐標系中，已知雙曲線左、右焦點為，點，直線與雙曲線的漸近線在第一象限交于點，若，則雙曲線的離心率為__________【正確答案】【分析】利用條件求出直線的方程，再聯(lián)立漸近線方程，得出，再由，得到，進而求出結(jié)果.【詳解】因為，，，所以直線的方程為，又雙曲線的漸近線方程為，由，解得，所以，又因為，所以，整理得，所以，即，解得離心率或（舍去），故答案為.16．已知四棱錐的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，，，，，M是線段AB上一點，且．過點M作球O的截面，所得截面圓面積的最小值為，則＝___．【正確答案】或【分析】根據(jù)給定的幾何體，確定球心O的位置并求出球半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)及余弦定理求解作答.【詳解】在等腰梯形中，連接，如圖，因為，，，則，，于是，取中點，連接，則，得均為正三角形，即有，即是梯形外接圓圓心，而O為四棱錐的外接球球心，因此平面，又PA⊥平面ABCD，則，而為球O的弦，則過點O垂直于的平面必過的中點E，連接，于是，而，即有，四邊形為矩形，，因此球O的半徑，過點M的球O的最小截面圓所在平面必垂直于，而此截面圓半徑為，則，連接，在中，，在中，，，即有，解得或，所以或.故或關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.三、解答題17．的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)設(shè)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求的面積．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，再結(jié)合條件即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，利用正弦定理求出外接圓的半徑，再利用邊轉(zhuǎn)角得到，再根據(jù)條件得到，進而求出，再利用，求出，再求出，利用面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意在中，，，由正弦定理得，又因為，故，故，又，所以，得到.（2）由題意及（1）知，，，由正弦定理知外接圓直徑，故，，

其中，且，因為，故，而，故的最大值為1，此時，即故，，所以，

又，故，

此時.18．如圖，在三棱柱中，底面平面是正三角形，是棱上一點，且．

(1)求證：；(2)若且二面角的余弦值為，求點到側(cè)面的距離．【正確答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）分析圖中的幾何關(guān)系，根據(jù)線面垂直證明線線垂直；（2）根據(jù)條件構(gòu)造三角形，解三角形即可.【詳解】（1）取的中點，連接，為等邊三角形，；，為中點，，

，為中點，為中點，又為中點，，；平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；，平面，平面，平面，，又，；（2）取中點，連接，由三棱柱結(jié)構(gòu)特征知：，又，，即四點共面，

由（1）知：平面，平面，，，是二面角的平面角，，作，垂足為，，，，平面，平面，

設(shè)，則，又，，，，，解得：，又，，即，解得：，綜上，點到側(cè)面的距離為；19．甲乙兩家公司要進行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立，若小明報考甲公司，每門科目通過的概率均為；報考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．(1)若，分別求出小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)招聘規(guī)則要求每人只能報考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過乙公司的筆試時，求的取值范圍．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式即可求得小明報考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（2）分別求得小明報考甲、乙兩公司通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望，列出關(guān)于的不等式，進而求得的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)小明報考甲公司恰好通過一門筆試科目為事件A，小明報考乙公司恰好通過一門筆試科目為事件，根據(jù)題意可得，

.（2）設(shè)小明報考甲公司通過的科目數(shù)為X，報考乙公司通過的科目數(shù)為，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機變量的分布列為Y0123P，若，則，故，即的取值范圍是20．已知點為拋物線的焦點，點，過點作直線與拋物線順次交于兩點，過點A作斜率為的直線與拋物線的另一個交點為點．(1)求拋物線的標準方程；(2)求證：直線過定點．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由求得參數(shù)得拋物線方程；（2）設(shè)的方程為，設(shè)，直線方程代入拋物線方程整理后應(yīng)用韋達定理得，得，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達定理并結(jié)合前者得，然后按直線斜率是否存在分類求得直線方程，利用得定點坐標．【詳解】（1）焦點，∵，∴拋物線E的標準方程為；（2）顯然直線斜率存在，設(shè)的方程為，由，化簡得：，設(shè)，則，∴

①直線的方程為，由化簡得：，設(shè)則

②由①②得，∴

③（?。┤糁本€沒有斜率，則，又，∴，∴，∴的方程為．（ⅱ）若直線有斜率，為，直線的方程為，即，將③代入得，∴，故直線有斜率時過點．方法點睛：圓錐曲線中直線過定點問題，一般設(shè)出直線方程，設(shè)出交點坐標為，直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后消元應(yīng)用韋達定理得（或），把此結(jié)論代入題設(shè)中其它條件或性質(zhì)得出的關(guān)系，從而化簡直線方程，由化簡后的直線方程可得定點坐標，解題中也需注意直線斜率不存在的情形的驗證．21．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍．【正確答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)，令，求出a的值；（2）運用同構(gòu)的思想構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)判斷出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求解.【詳解】（1）函數(shù)定義域為，，

在處取得極值，則，所以，

此時，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意即在上有兩個根，整理為，即，

設(shè)函數(shù)，則上式為，因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，所以只需在上有兩個根，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值即最大值，，且當(dāng)x趨于時趨于，當(dāng)x趨于-1時趨于，要想在上有兩個根，只需，解得，所以的取值范圍為；綜上，（1），的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）的取值范圍為.22．杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022），簡稱“杭州2022年亞運會”，將在中國浙江杭州舉行，原定于2022年9月10日至25日舉辦；2022年7月19日亞洲奧林匹克理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日舉辦，賽事名稱和標識保持不變。某高中體育愛好者為紀念在我國舉辦的第三次亞運會，借四葉草具有幸福幸運的象征意義，準備設(shè)計一枚四葉草徽章捐獻給亞運會。如圖，在極坐標系Ox中，方程表示的圖形為“四葉草”對應(yīng)的曲線C．(1)設(shè)直線l：與C交于異于O的兩點A、B，求線段AB的長；(2)設(shè)P和Q是C上的兩點，且，求的最大值．【正確答案】(1)9(2)【分析】（1）根據(jù)題意可先設(shè)出A、B兩點的極坐標，，分別代入后可得到和，由即可得到線段的長.（2）可以設(shè)出、，代入后利用