2023~2024學(xué)年全國新高考高三第二學(xué)期4月數(shù)學(xué)押題卷帶解析

2023-2024學(xué)年全國新高考高三下學(xué)期4月數(shù)學(xué)押題模擬卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則()A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.3.已知，則的值為()

A. B. C. D.4.函數(shù)的大致圖象為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)的最小正周期為π，將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上是增函數(shù)B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱6.在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知且，且，且，則()A. B.C. D.8.已知，是橢圓的左、右焦點，A是橢圓的上頂點，過點A且斜率為的直線上有一點P，滿足是以為頂角的等腰三角形，，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.在某次高中學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，則下列說法中正確的是()

A.成績在內(nèi)的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000C.考生競賽成績的平均分約為70.5分D.考生競賽成績的中位數(shù)為75分10.已知平面向量，，則下列說法正確的是()A.B.b在a方向上的投影向量為C.與b垂直的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則11.在某市商業(yè)區(qū)有一個圓形的廣場，稱為“阿氏圓廣場”.阿氏圓是古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.從廣場的外圓周的任意一點P，以同樣的速度，到達A商場的所用時間是到達B商場所用時間的2倍.建立平面直角坐標(biāo)系，，點P滿足，廣場外圓周即點P的軌跡設(shè)為C，下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為B.居民經(jīng)過商場B，從廣場一側(cè)直線到達另一側(cè)，需走的最短路程為C.過A做廣場的切線，切點為M和N，則過點BD.一條市政公路所在直線為，則從廣場到公路的最短距離為412.已知三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，.若點O到三棱柱的所有面的距離都相等，則()A.平面B.C.平面截球O所得截面圓的周長為D.球O的表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在二項式的展開式中，各項的系數(shù)之和為512，則展開式中常數(shù)項的值為___________.14.已知直線與拋物線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且，則_____________.15.已知等比數(shù)列的公比，其前n項和為，且，則數(shù)列的前2021項和為___________.16.已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，給出以下三個結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號為________.四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角A；(2)若的外接圓半徑，，求的面積.18.（12分）已知數(shù)列的前n項和為.(1)記，證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求，并求使不等式成立的最大正整數(shù)n.19.（12分）在四棱錐中，底面ABCD，，，，.（1）證明：；（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.20.（12分）醫(yī)學(xué)權(quán)威雜志《柳葉刀》指出，中國19歲男性平均身高達到175.7厘米，女性達到163.5厘米，位列東亞第一.關(guān)老師隨機調(diào)查了高三(滿19歲)100名學(xué)生的身高情況，并將統(tǒng)計結(jié)果整理如表.末達到平均身高達到平均身高女1045男1530(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下，認為是否達到平均身高與性別有關(guān)?(2)現(xiàn)在從本次調(diào)查的“達到平均身高”的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機抽取10人進一步調(diào)查，再從這10人中抽取4人作為案例進行分析，記這4人中男生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：，.0.150.100.050.0250.010.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）雙曲線經(jīng)過點，且虛軸的一個頂點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)過點P的兩條直線，與雙曲線C分別交于A，B兩點(A，B兩點不與P點重合)，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，證明：直線AB過定點.22.（12分）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).(1)討論的極值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍.

答案以及解析1.答案：B解析：集合或，則.又，所以.故選B.2.答案：B解析：由題知，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是，故選B.3.答案：C解析：，

，

.4.答案：A解析：本題考查函數(shù)的圖象.根據(jù)函數(shù)解析式，因為，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，且恒成立，當(dāng)時，函數(shù)值為0，只有選項A符合題意.5.答案：A解析：，，得，因此，，對于A，由，得，此時單調(diào)遞減，則函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；對于B，令，，得，，故B錯誤；對于C，，則函數(shù)是偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，令，，得，，當(dāng)時，，故D錯誤.故選A.6.答案：A解析：如圖，取AC的中點為N，連接MN，BN，則且，所以即異面直線BM與CD的夾角或其補角.因為平面BCD，平面BCD，所以，又，，所以平面ABC，所以平面ABC，所以.設(shè)，則，，，在中，，所以異面直線BM與CD夾角的余弦值為.7.答案：D解析：由，，得，，.構(gòu)造函數(shù)，，則.由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，，所以.畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，故，故選D.8.答案：B解析：由題意易知直線AP的方程為①，因為為等腰三角形，，所以直線的方程為②，聯(lián)立①②可得.如圖，過點P向x軸引垂線，垂足為H，則，所以，即，，所以，，故選B.9.答案：ABC解析：由頻率分布直方圖可得，成績在內(nèi)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；由頻率分布直方圖可得，成績在內(nèi)的頻率為，因此不及格的人數(shù)為，故B正確；C選項，由頻率分布直方圖可得，平均分約為（分），故C正確；因為成績在內(nèi)的頻率為，在內(nèi)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為，故D錯誤.故選ABC.10.答案：AD解析：選項A：由題意知，，，則，A正確；選項B：b在a方向上的投影向量為，B錯誤；選項C：與b垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，C錯誤；選項D：因為向量與向量共線，所以若存在，使得，則，所以，D正確.11.答案：ABC解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為，由得，則，整理得曲線C的方程為，故選項A正確；若過B的路程最短，即需求過點B的最短弦長，即當(dāng)B與圓心C的連線和弦垂直時弦長最短，由勾股定理得最短弦長為，故選項B正確；由題意可知四點共圓且在以為直徑的圓上，圓的方程為.又在上，聯(lián)立兩個方程化簡得直線的方程為，則點B在上，所以過點B，故選項C正確；當(dāng)圓心C與直線垂直時，距離最短，圓心C到直線的距離為.因為圓的半徑為2，所以最短距離為，故選項D錯誤，故選ABC.12.答案：AC解析：三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，根據(jù)球的對稱性可知三棱柱為直棱柱，所以平面，因此A正確.因為，所以.因為點O到三棱柱的所有面的距離都相等，所以三棱柱的內(nèi)切球與外接球的球心重合.設(shè)該三棱柱的內(nèi)切球的半徑為r，則，所以，因此B錯誤.由，可知，解得(負值已舍去)，則.易得的外接圓的半徑，所以平面截球O所得截面圓的周長為，因此C正確.三棱柱外接球的半徑，所以球O的表面積，因此D錯誤.故選AC.13.答案：135解析：因為二項式的展開式中，各項的系數(shù)之和為512，所以令，得，解得.又因為的展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中常數(shù)項為.故135.14.答案：2解析：設(shè)，，聯(lián)立方程，得，即，，，，又，，解得.15.答案：解析：因為，所以，所以，得或（舍去），所以，故.因為，所以.故16.答案：①③解析：由題意得，則，易知在R上單調(diào)遞增，在R上有且僅有一個零點，，易知，①正確；又，，②錯誤；，則，易知，故，③正確.綜上，所有正確結(jié)論的序號為①③.17.答案：(1).(2).解析：(1)因為，所以由正弦定理，得，所以，所以，所以，即，又，所以.又，故.(2)由題意知.由余弦定理，得，所以，則，故.18.答案：(1)證明過程見解析，.(2)n為5.解析：(1)由，得，即，.即，又，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，.(2)由(1)知.，①，②①-②，得，，是遞增數(shù)列，，使不等式成立的最大正整數(shù)n為5.19.答案：（1）證明見解析（2）解析：解：（1）如圖所示，取AB中點為O，連接DO，CO，則.

又，所以四邊形DCBO為平行四邊形.

又，

所以四邊形DCBO為菱形，所以.

同理可得，四邊形DCOA為菱形，所以，

所以.

因為底面ABCD，底面ABCD，所以，

又，平面ADP，所以平面ADP.

因為平面ADP，所以.（2）由（1）知，又，所以，

所以三角形ADO為正三角形.

過點D作垂直于DC的直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

則，，.

設(shè)平面PAB的法向量為，

則.

令，則，，所以.

設(shè)直線PD與平面PAB所成的角為，

則，

所以直線PD與平面PAB所成的角的正弦值為.20.答案：(1)在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下，可以認為是否達到平均身高與性別有關(guān)(2)解析：(1)補全列聯(lián)表如下：末達到平均身高達到平均身高合計女104555男153045合計2575100則，所以在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下，可以認為是否達到平均身高與性別有關(guān).(2)利用分層抽樣的方法可得，在10人中，達到平均身高的女生有6人，男生有4人.所以X的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，所以X的分布列為X01234P所以數(shù)學(xué)期望.21.答案：(1).(2)證明過程見解析.解析：(1)由題得雙曲線C的一條漸近線方程為，虛軸的一個頂點為，

依題意得，即，

即，①

又點在雙曲線C上，

所以，即，②

由①②解得，，

所以雙曲線C的方程為.

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，點A，B關(guān)于x軸對稱，

設(shè)，，

則由，解得，

即，解得，不符合題意，所以直線AB的斜率存在.

不妨設(shè)直線AB的方程為，代入，

整理得，，

設(shè)，，

則，，

由，得，

即，

整理得，

所以，

整理得，即，

所以或.

當(dāng)時，直線AB的方程為，經(jīng)過定點；

當(dāng)時，直線AB的方程為，經(jīng)過定點，不符合題意.

綜上，直線AB過定點.22.答案：(1)當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，的極小值為，無極大值.(2)取值范圍為.解析：(1)由題意知，的