2023~2024學年上海高考數(shù)學4月試題一模帶解析

2023-2024學年上海市高考數(shù)學4月模擬試題（一模）一?填空題1.已知全集，集合，則___________.【正確答案】【分析】根據(jù)補集的定義計算.【詳解】根據(jù)補集的定義，當全集，時，.故2.設復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則________.【正確答案】【分析】求出，進而利用復數(shù)的模長性質求出答案.【詳解】，故.故3.已知為角α終邊上一點，則=______．【正確答案】##0.2【分析】求出到原點的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得，的值，再求出即可.【詳解】角α終邊上一點，，則，，.故4.2022年12月18日在卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊戰(zhàn)勝法國隊冠222卡塔爾世界杯也緩緩落下了帷幕.下表是連續(xù)8屆世界杯足球賽的進球總數(shù)：年份19941998200220062010201420182022進球總數(shù)141171161147145171169172則進球總數(shù)的第60百分位數(shù)是______.【正確答案】169【分析】把進球總數(shù)按從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】把進球總數(shù)按從小到大排列141，145，147，161，169，171，171，172.由，故進球總數(shù)的第60百分位數(shù)是第5個數(shù)169.故169.5.若矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉形成一個圓柱，求圓柱側面積的最大值為____．【正確答案】【分析】利用基本不等式及圓柱的側面積計算公式即可得出．【詳解】如圖所示，不妨設矩形的長與寬分別為，，旋轉形成的圓柱的底面半徑為，母線長，則，即，，得，當且僅當時取等號，旋轉形成的圓柱的側面積，旋轉形成的圓柱的側面積的最大值為．故．6.某校團委對“學生性別和喜歡網(wǎng)絡游戲是否有關”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡網(wǎng)絡游戲的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡網(wǎng)絡游戲的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握但沒有的把握認為是否喜歡網(wǎng)絡游戲和性別有關，則被調(diào)查的學生中男生可能有______人.附表：，其中.0.0500.0103.8416.635【正確答案】45，50，55，60，65【分析】設男生有人，可得列聯(lián)表，計算，由可求得的范圍，結合為的整數(shù)倍可得結果.【詳解】設男生有人，由題意可得列聯(lián)表如下，喜歡不喜歡合計男生女生合計若有的把握但沒有的把握認為是否喜歡網(wǎng)絡游戲和性別有關，則；，，解得，又為的整數(shù)倍，所以被調(diào)查的學生中男生可能人數(shù)為，50，55，，65.故45，50，55，60，65.7.的展開式中，常數(shù)項為________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意結合二項展開式的通項公式分析運算.【詳解】因為的展開式為，令，解得，不合題意；令，解得；所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為.8.如圖，橢圓①，②與雙曲線③，④的離心率分別為，其大小關系為________．【正確答案】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的幾何性質，即可求解.【詳解】由題意，可得橢圓①，②的值相同，橢圓①的值小于橢圓②的值，又由，可得，根據(jù)雙曲線的開口越大離心率越大，根據(jù)圖象，可得，所以.故答案為.9.現(xiàn)在有5人通過3個不同的閘機進站乘車，每個閘機每次只能過1人，要求每個閘機都要有入經(jīng)過，則有_________種不同的進站方式（用數(shù)字作答）【正確答案】720【分析】考慮和兩種情況，結合同一閘機的不同人的順序，計算相加得到答案.【詳解】將5人分為3組，有和兩種情況：當分組為時：共有；當分組為時：共有；綜上所述：共有種不同的進站方式.故答案為.10.若曲線有兩條過的切線，則的范圍是____________．【正確答案】【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點，然后利用導數(shù)研究單調(diào)性，畫出大致圖象，即可得答案．【詳解】設切線切點為,，又，所以切線斜率為因為，所以切線方程為：．又切線過，則，即則由題可知函數(shù)圖象與直線有兩個交點，由得，由得所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，又，，，．據(jù)此可得大致圖象如下．則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線．故答案為.11.設向量，，記，若圓上的任意三點，，，且，則的最大值是___________.【正確答案】64【分析】設出，，三點坐標，由得出為直徑，故得到關系式，代入中得到其值為，利用圓的參數(shù)方程設出點坐標代入中，利用輔助角公式求最值即可.【詳解】整理圓的方程可得故圓心為，半徑為設，由可得為圓的直徑由此可得則又在圓上設故的最大值為故6412.定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，給出下列四個結論：①若為遞增數(shù)列，則存在最大值；②若為遞增數(shù)列，則存在最小值；③若，且存在最小值，則存在最小值；④若，且存在最大值，則存在最大值.其中所有錯誤結論的序號有_______．【正確答案】①③④【分析】結合函數(shù)單調(diào)性判斷最值，即可判斷①②，利用取反例，判斷③④.【詳解】①由條件可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間，函數(shù)的最大值是，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則函數(shù)不存在最大值，故①錯誤；②由條件可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，若為遞增數(shù)列，那么在區(qū)間的最小值是，且為遞增數(shù)列，所以函數(shù)在區(qū)間的最小值是，故②正確；③若，取,,則，存在最小值，但此時的最小值是的最小值，函數(shù)單調(diào)遞減，無最小值，故③錯誤；④若，取，則恒成立，則有最大值，但的最大值是的最大值，函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值，故④錯誤.故①③④二?單選題13.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結合不等式的關系進行判斷即可.【詳解】由，可得，則是的必要不充分條件.故選：B14.現(xiàn)從3名男同學和2名女同學中選取兩人加入“數(shù)學興趣小組”，用A表示事件“抽到兩名同學性別相同”，表示事件“抽到兩名女同學”，則在已知A事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生的概率即（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】分別求出，，根據(jù)條件概率的計算公式即可求得答案.【詳解】由題意可得A表示事件“抽到兩名同學性別相同”，則,表示事件“抽到兩名女同學”，則,故,故選：A15.在正方體中，點在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點，使得（）A B.C.平面 D.平面平面【正確答案】A【分析】作出截面后可作，從而判斷A，利用線面垂直的性質判斷BC，根據(jù)面面平行的性質判斷D．【詳解】選項A，正方體中，顯然有，連接延長，如果直線交棱于點（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；選項B，正方體中易知平面，因此與垂直直線都可能平移到平面內(nèi)，而當平面，平面時，直線與平交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯；選項C，由選項B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯；選項D，過的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點只能在棱上，與已知不符，D錯．故選：A．16.對于，，若正整數(shù)組滿足，，則稱為的一個拆，設中全為奇數(shù)，偶數(shù)時拆的個數(shù)分別為，，則（）A.存在，使得 B.不存在，使得C.存在，使得 D.不存在，使得【正確答案】D【分析】任意的，至少存在一個全為1的拆分，判斷選項A；當為奇數(shù)時，判斷能否是全偶拆分，判斷選項B；選項，可以舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，判斷選項.【詳解】對于任意的，至少存在一個全為1的拆分，故A錯誤；當為奇數(shù)時，，故B錯誤；當為偶數(shù)時，是每個數(shù)均為偶數(shù)的分拆，則它至少對應了和的均為奇數(shù)的拆，當時，偶數(shù)拆為，奇數(shù)拆為，；當時，偶數(shù)拆為，，奇數(shù)拆為，；故當時，對于偶數(shù)的拆，除了各項不全為1的奇數(shù)拆分外，至少多出一項各項均為1的拆，故，故C錯誤，D正確.故選：D關鍵點點睛：本題考查新定義，關鍵是讀懂題意，理解定義，并能根據(jù)選項舉例解決問題.三?解答題17.已知函數(shù)的最小正周期為，且，（1）求；（2）將圖象往右平移個單位后得函數(shù)，求的最大值及這時值的集合．【正確答案】（1），（2）1；的集合為．【分析】（1）根據(jù)周期確定參數(shù)，再根據(jù)結合的取值范圍確定；（2）先確定函數(shù)的解析式，化簡，確定最大值，再利用整體法確定取最大值時值的集合．【小問1詳解】因為最小正周期為，所以；由可知，，即，，得，，又因為，所以．【小問2詳解】由（1）知，因為將圖象往右平移個單位后得函數(shù)，所以，即，所以因為，所以的最大值為1，當，即時取得，故取最大值時值的集合為．18.如圖：在正方體中，為中點，與平面交于點．（1）求證：為的中點；（2）點是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．【正確答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】(1)首先將平面進行擴展，然后結合所得的平面與直線的交點即可證得題中的結論；(2)建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系求得相應平面的法向量，然后解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】(1)如圖所示，取的中點，連結，由于為正方體，為中點，故，從而四點共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點，當直線與平交時只有唯一的交點，故點與點重合，即點為中點.(2)以點為坐標原點，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，不妨設正方體的棱長為2，設，則：，從而：，設平面的法向量為：，則：，令可得：，設平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.本題考查了立體幾何中的線面關系和二面角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19.在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（2）設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【正確答案】（1）0.4（2）（3）丙【分析】(1)由頻率估計概率即可(2)求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【小問1詳解】由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4【小問2詳解】設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴【小問3詳解】丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.20.已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為、，點、為橢圓上異于、的兩點，面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）設直線、的斜率分別為、，且．①求證：直線經(jīng)過定點．②設和的面積分別為、，求的最大值．【正確答案】（1）（2）①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出橢圓的方程；（2）①分析可知直線不與軸垂直，設直線方程為，可知，設點、將直線的方程的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用求出的值，即可得出直線所過定點的坐標；②寫出關于的函數(shù)關系式，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的最大值.【小問1詳解】解：當點為橢圓短軸頂點時，的面積取最大值，且最大值為，由題意可得，解得，所以，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：①設點、若直線的斜率為零，則點、關于軸對稱，則，不合乎題意.設直線的方程為，由于直線不過橢圓的左、右焦點，則，聯(lián)立可得，，可得，由韋達定理可得，，則，所以，，解得，即直線的方程為，故直線過定點.②由韋達定理可得，，所以，，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最大值為.方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.21.記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設其公差為，，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而，，由，，，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【詳解】（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最