2023~2024學(xué)年上海黃埔區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市黃埔區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（三模）一、填空題1．已知集合，則__________.【正確答案】【分析】直接計(jì)算交集得到答案.【詳解】集合，則.故答案為.2．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________．（用數(shù)字作答）【正確答案】24【分析】寫出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，得，故的系數(shù)為24.故24.3．已知隨機(jī)事件滿足，則__________.【正確答案】【分析】直接根據(jù)條件概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為.4．已知直線和，若，則__________.【正確答案】【分析】直接根據(jù)直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】直線和，，則，解得.故答案為.5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則___________．【正確答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，由乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，故26．若一個(gè)圓柱的側(cè)面積是，高為1，則這個(gè)圓柱的體積是_______．【正確答案】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求出底面圓的半徑，進(jìn)而可求解.【詳解】圓柱的側(cè)面積是，所以體積．故答案為:.7．在數(shù)列中，，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.【正確答案】【分析】確定數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，計(jì)算，再計(jì)算極限得到答案.【詳解】，則，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故.故8．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，則__________.【正確答案】【分析】確定雙曲線右焦點(diǎn)，得到，解得答案.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，則，.故答案為.9．某學(xué)校為了解該校學(xué)生開(kāi)展志愿者活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了40名學(xué)生，對(duì)他們本學(xué)期參與志愿者活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，已知統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)長(zhǎng)（小時(shí)）7891011人數(shù)（人）610987則該校學(xué)生開(kāi)展志愿者活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的第40百分位數(shù)是__________.【正確答案】【分析】確定，第40百分位數(shù)是第個(gè)數(shù)和第個(gè)數(shù)的平均數(shù)，計(jì)算得到答案.【詳解】，故第40百分位數(shù)是第個(gè)數(shù)和第個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即.故答案為.10．已知是同一個(gè)平面上的向量，若，且，則__________.【正確答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式確定，根據(jù)垂直得到，代入計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，則，，故，，則，，，故，設(shè)，，則，又，解得，故.故答案為.11．已知函數(shù)的表達(dá)式為，若對(duì)于任意，都存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】確定函數(shù)單調(diào)遞增，計(jì)算，得到，確定，解得答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，，即，故是值域的子集，故，解得.故答案為.12．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值是__________.【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則的圖像與直線至少有個(gè)公共點(diǎn)，確定，，得到，得到答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，構(gòu)造函數(shù)，則的圖像與直線至少有個(gè)公共點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為，，，，，根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱，時(shí)有最小值，此時(shí)最多有個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像在上是一條水平的線段，可以有個(gè)交點(diǎn)，故，且，故，即，，故，故.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列，數(shù)列的絕對(duì)值求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)其性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵.二、單選題13．如果，那么下列不等式中正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若，則，故A不正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，故B不正確；對(duì)于C中，，由，可得，但不確定，所以與無(wú)法確定大小關(guān)系，故C不正確；對(duì)于D中，，由，可得，且，所以，所以，故D正確.故選：D.14．已知是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)關(guān)系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進(jìn)行判斷.【詳解】若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，若且，則與方向相同，故此時(shí)，所以“”是“存在，使得”的必要條件，故“”是“存在，使得”的充分必要條件，故選：C15．如圖所示，在正方體中，是棱上一點(diǎn)，若平面與棱交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．存在平面與直線垂直B．四邊形可能是正方形C．不存在平面與直線平行D．任意平面與平面垂直【正確答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷B，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)為的中點(diǎn)，即可判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法說(shuō)明D.【詳解】對(duì)于A：在正方體中平面，顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在正方體中，是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，由平面平面，并且四點(diǎn)共面，平面平面，平面平面，∴，同理可證，故四邊形是平行四邊形，在正方體中，由幾何知識(shí)得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此時(shí)與重合時(shí)，但顯然四邊形不是正方形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，為的中點(diǎn)，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

由幾何知識(shí)得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面與平面垂直，故D正確.故選：D16．已知點(diǎn)在內(nèi)部，平分，，對(duì)滿足上述條件的所有，下列說(shuō)法正確的是（

）A．的三邊長(zhǎng)一定成等差數(shù)列B．的三邊長(zhǎng)一定成等比數(shù)列C．，，的面積一定成等差數(shù)列D．，，的面積一定成等比數(shù)列【正確答案】B【分析】設(shè)出與，由余弦定理與三角形面積公式化簡(jiǎn)，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念判斷，【詳解】設(shè)．在中，可得．在中，分別由余弦定理得，①，②．③由①+②整理得，∴，將代入可得．又由三角形面積公式得，∴，∴，∴，∴．由③得，∴，整理得．的三邊長(zhǎng)一定成等比數(shù)列，而既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，故C，D錯(cuò)誤，故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理，余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，結(jié)合面積公式及等差等比的定義．三、解答題17．已知.(1)求方程的解集；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間.【正確答案】(1)(2)和【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，取，解得答案.（2）取，解不等式，取和得到單調(diào)增區(qū)間.【詳解】（1），取，則，解得.故方程的解集為.（2）取，解得，當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，滿足條件；綜上所述：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間是和18．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)余弦定理計(jì)算，根據(jù)勾股定理得到，確定平面，得到證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），故，，則，故，又，平面，，故平面，平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，且平面，故平面，如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取得到，則，解得，不滿足題意.綜上所述：不存在點(diǎn)，使二面角的大小為.19．由于X病毒正在傳染蔓延，對(duì)人的身體健康造成危害，某校擬對(duì)學(xué)生被感染病毒的情況進(jìn)行摸底調(diào)查，首先從兩個(gè)班共100名學(xué)生中隨機(jī)抽取20人，并對(duì)這20人進(jìn)行逐個(gè)抽血化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果如下.已知指數(shù)不超過(guò)8表示血液中不含病毒；指數(shù)超過(guò)8表示血液中含病毒且該生已感染病毒.(1)從已獲取的20份血樣中任取2份血樣混合，求該混合血樣含病毒的概率；(2)已知該校共有1020人，現(xiàn)在學(xué)校想從還未抽血化驗(yàn)的1000人中，把已感染病毒的學(xué)生全找出.方案A：逐個(gè)抽血化驗(yàn)；方案B：按40人分組，并把同組的40人血樣分成兩份，把其中的一份血樣混合一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)混合血液含病毒，再分別對(duì)該組的40人的另一份血樣逐份化驗(yàn)；方案C：將方案中的40人一組改為4人一組，其他步驟與方案相同.如果用樣本頻率估計(jì)總體頻率，且每次化驗(yàn)需要不少的費(fèi)用.試通過(guò)計(jì)算回答：選用哪一種方案更合算？（可供參考數(shù)據(jù)：）【正確答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）確定不含病毒的有份，含有病毒的有份，，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用為，分別計(jì)算方案所需要的費(fèi)用分別為，，，對(duì)比得到答案.【詳解】（1）分血樣中，不含病毒的有份，含有病毒的有份，混合血樣含病毒的概率（2）設(shè)每次化驗(yàn)的費(fèi)用為，每個(gè)人感染病毒的概率為，方案：費(fèi)用為；方案：每組化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：,故總費(fèi)用為；方案：每組化驗(yàn)次數(shù)的分布列為：,故總費(fèi)用為；綜上所述：選用方案更合算.20．已知橢圓的離心率是，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)圓.若直線與圓相切，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是橢圓上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，直線分別交軸與點(diǎn)?點(diǎn)，探究是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說(shuō)明理由.【正確答案】(1)(2)或(3)定值為，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）確定圓心和半徑，設(shè)出直線，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得到斜率，解得答案.（3）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線得到，，代入計(jì)算得到答案.【詳解】（1）橢圓的離心率是，解得.故橢圓方程為.（2）圓，即，故圓心，半徑，，設(shè)直線的方程為，即，直線與圓相切，則，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），故，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍），故，故或（3）設(shè)，，，三點(diǎn)共線，則，即，解得，同理可得，.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，直線和圓的位置關(guān)系，定點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用三點(diǎn)共線確定，是解題的關(guān)鍵.21．已知.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，曲線在相異的兩點(diǎn)點(diǎn)處的切線分別為和和的交點(diǎn)位于直線上，證明：兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；(3)當(dāng)時(shí)，如果對(duì)于任意，總存在以為三邊長(zhǎng)的三角形，求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，結(jié)合，利用導(dǎo)函數(shù)小于0求出單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分別求出點(diǎn)處切線方程，聯(lián)立得到兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由基本不等式求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和小于4；（3）轉(zhuǎn)化為對(duì)于一切，，且均正，即，先令，得到，進(jìn)而由導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，求出.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，，因?yàn)?，所以的解集為，故函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，，點(diǎn)處切線方程為，