2023~2024學(xué)年高考熱身數(shù)學(xué)文試卷一模帶解析

2023-2024學(xué)年全國通用高考熱身數(shù)學(xué)（文）試卷（一模）一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算，先找到，再求交集.【詳解】根據(jù)題意，，則,集合，.故選：B.2．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】利用模長公式求出復(fù)數(shù)的模長.【詳解】.故選：B3．某公司有員工15名，其中包含經(jīng)理一名．保潔一名，為了調(diào)查該公司員工的工資情況，有兩種方案．方案一：調(diào)查全部15名員工的工資情況；方案二：收入最高的經(jīng)理和收入最低的保潔工資不納入調(diào)查范圍，只調(diào)查其他13名員工的工資．這兩種調(diào)查方案得到的數(shù)據(jù)，一定相同的是（

）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差【正確答案】A【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)和方差、極差的定義進(jìn)行判斷，即可求解.【詳解】由題意，公司15名員工的工資情況組成15個(gè)數(shù)據(jù)，按大小順序排列，排在中點(diǎn)的數(shù)是中位數(shù)，取到一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，剩余13個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，排在中間的還是原來的數(shù)，所以中位數(shù)不變；平均數(shù)是與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系的量，方差也是與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系的量，所以會變化；極差是與最大值和最小值有關(guān)系的量，所以也會發(fā)生變化.故選：A.本題主要考查統(tǒng)計(jì)知識的應(yīng)用，其中解答中涉及到中位數(shù)、平均數(shù)和方差、極差的概念及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．已知為兩個(gè)不同的平面，為兩條不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【正確答案】C【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得選項(xiàng)A的正誤；考慮直線是否在平面內(nèi)可得選項(xiàng)B的正誤；選項(xiàng)C根據(jù)面面垂直的判定定理可得正誤；選項(xiàng)D考慮直線與平面的位置關(guān)系可得正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A，缺少共面的條件，因此得不到，直線還可以互為異面直線，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，直線還可以在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對于選C，由得分別為的垂線，兩個(gè)平面的垂線互相垂直則這兩個(gè)平面互相垂直，故C正確；對于選項(xiàng)D，直線與平面或平行，或相交，或直線在平面內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：C.5．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)角的變換，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，即可求解.【詳解】.故選：D6．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的一個(gè)三等分點(diǎn)（），若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，利用向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的基底表示，即可得的值.【詳解】因?yàn)槭堑囊粋€(gè)三等分點(diǎn)（），所以.因?yàn)槭沁叺闹悬c(diǎn)，所以.又，所以.故選：C.7．在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)大于2的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由幾何概型計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【詳解】由于此數(shù)大于，則所求事件構(gòu)成的區(qū)域長度為，且在區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)所構(gòu)成的區(qū)域長度為，則所求的概率為故選:C8．已知，則的最小值為A．6 B．4 C． D．【正確答案】A【詳解】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），故（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），應(yīng)選答案A．9．黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為若函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且對任意x都有，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，奇偶性及分段函數(shù)分段處理的原則即可求解.【詳解】由，得，則，所以的周期為，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，所以，為無理數(shù)，所以，，所以.故選：D.10．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】將三棱錐補(bǔ)全為長方體，各條棱分別為長方體的面對角線，根據(jù)長方體外接球?yàn)槠潴w對角線的一半可求得所求的外接球半徑，由球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】可將三棱錐補(bǔ)為如下圖所示的長方體，三棱錐的棱分別為長方體的面對角線，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球.設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，所求外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查多面體外接球的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠通過將三棱錐補(bǔ)全為長方體，將問題轉(zhuǎn)化為長方體外接球的求解.11．拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.如圖所示，從拋物線的焦點(diǎn)向軸上方發(fā)出的兩條光線分別經(jīng)拋物線上的兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與軸所成角均為，且，則兩條反射光線之間的距離為（

）A． B．4 C．2 D．【正確答案】D【分析】由題意得，則可求出直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立表示出的坐標(biāo)，由結(jié)合拋物線的定義可求出，從而可求出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差，即可得兩條反射光線之間的距離.【詳解】由題意得，因?yàn)椋灾本€的斜率為，所以直線為，由，得，解得或，所以，同理直線的方程為，由，得，解得或，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，所以兩條反射光線之間的距離為，故選：D12．關(guān)于函數(shù)，有以下三個(gè)結(jié)論：①函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)之積為；②函數(shù)的極值點(diǎn)不可能是；③函數(shù)必有最小值.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【正確答案】D把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，即可判斷①；求得后代入，根據(jù)是否為0即可判斷②；設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，結(jié)合①可得當(dāng)時(shí)，，再證明即可判斷③；即可得解.【詳解】由題意函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn)，令，則，所以方程必有兩個(gè)不等實(shí)根，，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，故①正確；，當(dāng)時(shí)，，故不可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，故②正確；令即，，設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，則當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以為函數(shù)極小值；由①知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以為函數(shù)的最小值，故③正確.故選：D.本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題，考查了推理能力，屬于中檔題.二、填空題13．計(jì)算：______．【正確答案】1利用可得結(jié)果.【詳解】.故1本題考查了常用對數(shù)，考查了對數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.14．?dāng)?shù)獨(dú)是一種非常流行的邏輯游戲.如圖就是一個(gè)數(shù)獨(dú)，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的未知數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線官內(nèi)的數(shù)字均含1—6這6個(gè)數(shù)字（每一行，每一列以及每一個(gè)粗線宮都沒有重復(fù)的數(shù)字出現(xiàn)），則圖中的______.【正確答案】17【分析】根據(jù)題中要求每一行、每一列、每一個(gè)粗線官內(nèi)的數(shù)字均含1—6這6個(gè)數(shù)字，且不重復(fù)，分析每行、每列所缺數(shù)字，填入表中，即可得答案.【詳解】由題意得：第2列缺少2，則第4行第2列為2，所以第3行第1列為5，所以第1列缺少1和6，則a+c=7,第4行缺少5，所以第4行第6列為5，所以第6列缺少4和6，則b+d=10，所以故1715．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為______【正確答案】【分析】根據(jù)中位線定理，圓的切線的性質(zhì)得理解三角形，結(jié)合橢圓定義利用勾股定理得出關(guān)系，并結(jié)合得出關(guān)系從而得離心率．【詳解】設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點(diǎn)，連接OE，，∵E，O分別是，的中點(diǎn)，∴EO，且||=2|EO|=2b，OE⊥，∴⊥，||=2c，∴||=，根據(jù)橢圓的定義，||+||=2a，∴，兩邊平方得：，代入并化簡得：，，，故．16．已知函數(shù)的圖象在上恰有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【正確答案】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中心可求出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，不合題意，當(dāng)，時(shí)，，要使在上恰有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則，即，當(dāng)，時(shí)，，要使在上恰有一條對稱軸和一個(gè)對稱中心，則，即.故答案為.三、解答題17．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和為，滿足：，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求和.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.（1）由遞推關(guān)系結(jié)合可得即可證明；（2）由（1）求出，分組求和法即可求出.【詳解】（1）由可得，即∵，，∴，∴，∴對任意恒成立，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）知：，即，故.18．考取駕照是一個(gè)非常嚴(yán)格的過程，有的人并不能夠一次性通過，需要補(bǔ)考.現(xiàn)在有一張某駕校學(xué)員第一次考試結(jié)果匯總表，由于保管不善，只殘留了如下數(shù)據(jù)（見下表）：成績性別合格不合格合計(jì)男性4510女性30合計(jì)105(1)完成此表；(2)根據(jù)此表判斷：是否可以認(rèn)為性別與考試是否合格有關(guān)？如果可以，請問有多大把握；如果不可以，試說明理由.參考公式：①相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表：0.400.250.150.100.050.0250.100.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值計(jì)算公式.其中.【正確答案】(1)答案見解析(2)可以，有97.5%的把握【分析】（1）直接根據(jù)題意即可完成表格；（2）計(jì)算得出，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想即可得結(jié)果.【詳解】（1）成績性別合格不合格合計(jì)男性451055女性302050合計(jì)7530105（2）假設(shè)：性別與考試是否合格無關(guān)，.若成立，，∵，∴有97.5%的把握認(rèn)為性別與考試是否合格有關(guān).19．已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，且，.（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的側(cè)面積.【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由平面得，再結(jié)合幾何關(guān)系得，進(jìn)而平面，再根據(jù)判定定理即可得平面平面.（2）由（1）知平面四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，再計(jì)算即可得答案.【詳解】（1）由，知，故，又，，，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?又在直角梯形中，易求得，所以，故.又，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面四棱錐的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形，所以，，，.故四棱錐的側(cè)面積為.20．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若，且在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【正確答案】（1）答案見解析；（2）.（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論分析單調(diào)性即可；（2）由已知不等式可令，通過恒成立，得到；再證明當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立.利用放縮法得到，所以只需證在時(shí)恒成立.記，求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】解：（1），①當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意，即當(dāng)時(shí)在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立.記，則，記，在遞增，又，當(dāng)時(shí)，得.下面證明：當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立.因?yàn)?所以只需證在時(shí)恒成立.記，所以，又，所以在單調(diào)遞增，又，所以，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，所以，∴在恒成立.即在時(shí)恒成立.綜上可知，當(dāng)在時(shí)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.方法點(diǎn)睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.21．已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)為,長軸與短軸的比為2:1.直線與橢圓E交于P?Q兩點(diǎn),其中為直線的斜率.(1)求橢圓E的方程;(2)若以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,問:是否存在一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的定圓O,不論直線的斜率取何值,定圓O恒與直線相切?如果存在,求出圓O的方程及實(shí)數(shù)m的取值范圍;如果不存在,請說明理由.【正確答案】(1)(2)存在,.的取值范圍是（1）根據(jù)題意直接計(jì)算出得到答案.（2）設(shè)直線OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,聯(lián)立方程組，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d,則有，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由已知得:解得:橢圓E的方程為(2)假設(shè)存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線相切.這時(shí)只需證明坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為定值即可.設(shè)直線OP的方程為:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,聯(lián)立方程組①以線段PQ為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,,直線OQ的方程為:在①式中以換t,得②又由知:設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為d,則有又當(dāng)直線OP與軸重合時(shí),此時(shí)由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線的距離為定值知,所以存在定圓O,不論直線的斜率k取何值時(shí),定圓O恒與直線相切,定圓O的方程為:.直線與軸交點(diǎn)為,且點(diǎn)不可能在圓O內(nèi),又當(dāng)k=0時(shí),直線與定圓O切于點(diǎn),所以的取值范圍是本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22．已知點(diǎn)在曲線上．(1)求動點(diǎn)的軌跡C的參數(shù)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；(2)過原點(diǎn)的直線l與（1）中的曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．【正確答案】(1)參數(shù)方程為，為參數(shù)；直角坐標(biāo)方程為(2)【分析】（1）先將曲線化為參數(shù)方程，可得到動點(diǎn)，從而得到點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程，再轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）先設(shè)l的參數(shù)方程，再代入曲線C的方程得，再結(jié)合韋達(dá)定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可．【詳解】（1）由題意，曲線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，則，再設(shè)，則，為參數(shù)