2024-2025學(xué)年湖南省部分學(xué)校高一下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，所以，由，解得，所以，所以.故選：B.2.在中，是邊的中點，是邊上靠近的一個三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.已知命題的值域為，命題的定義域為，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對于命題可以取到所有大于0的數(shù)顯然成立；時，，解得，所以.對于命題在上恒成立.時顯然成立；時，，解得，所以.所以是的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由知，.所以.故選：D.5.若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得.由圖象知，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，若，所以，和圖象不符，所以.所以一定有.故選：B.6.銳角三角形的三個內(nèi)角的對邊分別是，若，則角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得：，所以.又銳角三角形中，，則，即.所以，由于銳角三角形，所以，解得.故選：D.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以，又，所以.故選：A.8.已知函數(shù)，對于任意的，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，即，所以.設(shè)，則所求的式子轉(zhuǎn)化為.由，可知，所以為上的偶函數(shù).當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又為上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因為，所以，解得.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數(shù)的值可以是（）A. B. C.0 D.1【答案】BC【解析】，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，既有最大值又有最小值.故選：BC.10.若正實數(shù)滿足，則（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最大值是D.的最小值是【答案】ACD【解析】由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最小值是9，故B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值是，故C正確；，當(dāng)時，取得最小值，故D正確.故選：ACD.11.下圖是以為圓心，半徑分別是1和2的兩個同心圓，現(xiàn)在小圓上任取一點，在大圓上任取兩點，則（）A.的最小值是B.當(dāng)時，C.當(dāng)三點共線時，為定值D.當(dāng)?shù)拿娣e最大時，【答案】ABCD【解析】，當(dāng)時，取得最小值，故A正確；取的中點，因為，所以，所以，所以，故B正確；當(dāng)三點共線時，連接交大圓與，由大圓同弧對應(yīng)的圓周角相等，可得，又，所以，所以，所以，易知，所以，所以，定值，故C正確；對于D，由對稱性可取，當(dāng)固定時，要使得三角形最大需滿足到的距離最大，此時，如圖，可設(shè)，此時，設(shè)，則，令，可得：，記，當(dāng)，即，即，單調(diào)遞增，當(dāng)，即，即即，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取得最大值，此時，即，同理可得，即當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，即，D正確.故選：ABCD.三、填空題：本題共3小題，每小題分，共15分.12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意，，得.所以的取值范圍是.13.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式中“...”即代表無數(shù)次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程求得.類比上述過程，則__________.【答案】【解析】令，則兩邊平方得，則，即，解得或（舍去）.14.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的最大值為__________.【答案】【解析】，可得，因為，可得，可得，由，即，所以，可得，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.又，所以，即的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩解，求.解：（1）因為，，所以，所以的最小正周期為.由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將的圖象向左平移個單位，得，從而，因為，所以，令，由已知可得當(dāng)時，方程有兩個不同的解，，所以當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，作函數(shù)，的圖象可得，結(jié)合的圖象可得或.當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故.16.如圖，在中，是的中點，點滿足與交于點.（1）設(shè)，求實數(shù)值；（2）設(shè)是上一點，且，求的值.解：（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則.由，得，所以.由是的中點，得，所以.設(shè)，則.因為三點共線，所以，即①，因為三點共線，所以，即②，聯(lián)立①②解得點的坐標(biāo)為，所以.所以，所以實數(shù)的值為.（2）因為上的點滿足，設(shè)，則.因為，所以，解得，所以點的坐標(biāo)為，所以.又，所以17.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若，證明：.解：（1）因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，又，所以.不等式恒成立，即恒成立，因為，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.（2）由，得，即，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，因為，，所以，設(shè)任意，因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則，因為，，即.18.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：某產(chǎn)品生產(chǎn)需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)萬件，需要額外投入流動成本萬元.在年產(chǎn)量不足萬件時，（萬元）；在年產(chǎn)量不少于萬件時，（萬元）.已知每件產(chǎn)品售價元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品在當(dāng)年可全部售完.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時，生產(chǎn)銷售該產(chǎn)品所獲利潤最大？最大利潤是多少？（注：若，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）解：（1）因為每件商品售價為元，則萬件的商品銷售收入為萬元；根據(jù)題意得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.（2）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，有最大值；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因為，所以當(dāng)年產(chǎn)量為萬件時，利潤最大，最大利潤為萬元.19.設(shè)，集合，且，稱為的生成集，為的伴生集.用表示集合中元素個數(shù)，定義.（1）當(dāng)時，求和；（2）是否存在含有三個元素的正整數(shù)集合，使得和同時取最小值？若存在，給出一種集合；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)時，求的最小值，并給出此時的集合.解：（1）由，可得：；所以.（2）不存在，理由如下：假設(shè)存在這樣的三元正整數(shù)集合滿足條件，不妨設(shè).考慮：注意到，所以.當(dāng)時，，此時，所以.事實上，，所以當(dāng)取最小值時，一定有.考慮：注意到，所以.當(dāng)時，，此時，所以.事實上，，所以當(dāng)取最小值時，一定有，所以.即，此時，矛盾.所以滿足上述條件的集合不存在.（3）當(dāng)時，不妨假設(shè)，此時總有，所以.對應(yīng)的，考慮中元素個數(shù)最多的情況，此時顯然有互不相同，所以.所以，下面證明當(dāng)時，等號成立.事實上，，且在和之間的所有整數(shù)值都取得到，所以此時.對于，，，，，，，，，，，從小到大排序為：，，，，，，，，，；顯然這10個數(shù)互不相等，此時.綜上，當(dāng)時，，即為的最小值.湖南省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，所以，由，解得，所以，所以.故選：B.2.在中，是邊的中點，是邊上靠近的一個三等分點，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C.3.已知命題的值域為，命題的定義域為，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】對于命題可以取到所有大于0的數(shù)顯然成立；時，，解得，所以.對于命題在上恒成立.時顯然成立；時，，解得，所以.所以是的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由知，.所以.故選：D.5.若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由得.由圖象知，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，若，所以，和圖象不符，所以.所以一定有.故選：B.6.銳角三角形的三個內(nèi)角的對邊分別是，若，則角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正弦定理得：，所以.又銳角三角形中，，則，即.所以，由于銳角三角形，所以，解得.故選：D.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，所以，又，所以.故選：A.8.已知函數(shù)，對于任意的，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，即，所以.設(shè)，則所求的式子轉(zhuǎn)化為.由，可知，所以為上的偶函數(shù).當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又為上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因為，所以，解得.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.已知函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數(shù)的值可以是（）A. B. C.0 D.1【答案】BC【解析】，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，既有最大值又有最小值.故選：BC.10.若正實數(shù)滿足，則（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最大值是D.的最小值是【答案】ACD【解析】由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最小值是9，故B錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值是，故C正確；，當(dāng)時，取得最小值，故D正確.故選：ACD.11.下圖是以為圓心，半徑分別是1和2的兩個同心圓，現(xiàn)在小圓上任取一點，在大圓上任取兩點，則（）A.的最小值是B.當(dāng)時，C.當(dāng)三點共線時，為定值D.當(dāng)?shù)拿娣e最大時，【答案】ABCD【解析】，當(dāng)時，取得最小值，故A正確；取的中點，因為，所以，所以，所以，故B正確；當(dāng)三點共線時，連接交大圓與，由大圓同弧對應(yīng)的圓周角相等，可得，又，所以，所以，所以，易知，所以，所以，定值，故C正確；對于D，由對稱性可取，當(dāng)固定時，要使得三角形最大需滿足到的距離最大，此時，如圖，可設(shè)，此時，設(shè)，則，令，可得：，記，當(dāng)，即，即，單調(diào)遞增，當(dāng)，即，即即，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取得最大值，此時，即，同理可得，即當(dāng)?shù)拿娣e最大時，，即，D正確.故選：ABCD.三、填空題：本題共3小題，每小題分，共15分.12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意，，得.所以的取值范圍是.13.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.比如在表達(dá)式中“...”即代表無數(shù)次重復(fù)，但原式卻是個定值，它可以通過方程求得.類比上述過程，則__________.【答案】【解析】令，則兩邊平方得，則，即，解得或（舍去）.14.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的最大值為__________.【答案】【解析】，可得，因為，可得，可得，由，即，所以，可得，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.又，所以，即的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩解，求.解：（1）因為，，所以，所以的最小正周期為.由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）將的圖象向左平移個單位，得，從而，因為，所以，令，由已知可得當(dāng)時，方程有兩個不同的解，，所以當(dāng)時，函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，作函數(shù)，的圖象可得，結(jié)合的圖象可得或.當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故.16.如圖，在中，是的中點，點滿足與交于點.（1）設(shè)，求實數(shù)值；（2）設(shè)是上一點，且，求的值.解：（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則.由，得，所以.由是的中點，得，所以.設(shè)，則.因為三點共線，所以，即①，因為三點共線，所以，即②，聯(lián)立①②解得點的坐標(biāo)為，所以.所以，所以實數(shù)的值為.（2）因為上的點滿足，設(shè)，則.因為，所以，解得，所以點的坐標(biāo)為，所以.又，所以17.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；（2）若，證明：.解：（1）因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以，又，所以.不等式恒成立，即恒成立，因為，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍為.（2）由，得，即，設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，因為，，所以，設(shè)任意，因為，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，則，因為，，即.18.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：某產(chǎn)品生產(chǎn)需投入年固定成本3萬元，每生產(chǎn)萬件，需要額外投入流動成本萬元.在年產(chǎn)量不足萬件時，（萬元）；在年產(chǎn)量不少于萬件時，（萬元）.已知每件產(chǎn)品售價