2024-2025學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)合體高一下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，若向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解?故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴.故選：C.3.已知向量，滿(mǎn)足，，，夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在上的投影向量.故選：C.4.在中，若，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】由于，故，從而.所以是直角三角形.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，，由同角三角函?shù)基本關(guān)系得，故D正確.故選：D.6.一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時(shí)的速度向北偏東30°航行，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時(shí)燈塔S與船B之間的距離為（）海里A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可作圖如下：在中，，，，，由正弦定理可得，則.故選：A.7.如圖，在直角，，，點(diǎn)，是邊上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，在中?故選：B.8.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，所以，，，由，解得，所以，，所以的范圍?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.下列化簡(jiǎn)結(jié)果是的選項(xiàng)為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，.對(duì)于D，，故D不正確.故選：AB.10.下列命題正確的是（）A.在中，是的充要條件B.在中，角所對(duì)邊分別為，若，則C.在中，角所對(duì)的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為D.在中，，則為銳角三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以A正確；對(duì)于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正確；對(duì)于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；對(duì)于D，在中，，由正弦定理得，則，根據(jù)余弦定理知，所以是鈍角，故D不正確.故選：AC.11.在中，點(diǎn)分別滿(mǎn)足與相交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.若，則C.D.若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為【答案】AC【解析】對(duì)于A，設(shè)，因?yàn)閯t，，由共線，得解得，所以，故A正確；對(duì)于B，由得，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C，由知是的中點(diǎn)，所以，，又，所以，所以，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據(jù)正弦定理得，所以，由，得或，當(dāng)時(shí)，，故D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿(mǎn)足，，且，則，夾角余弦值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，解得，所以.13.________．【答案】2【解析】.14.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，，則________；的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)闉榈闹匦模娱L(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，由重心的幾何性質(zhì)可知，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即，所以，，因?yàn)椋?，則，，則，因?yàn)?、不共線，所以，，，則，，故，即，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值．解：（1），，所以.（2）由，則，即，，即，或.16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由，得.（2）由（1）得.（3）依題意，，由，，得，，而，則，所以.17.如圖，在中，已知，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)；（3）求的面積.解：（1）在中，，，，由余弦定理可得：.（2）因?yàn)?，所以，所以，在中，，，，由正弦定理可?（3）在中，，，所以，在中，由正弦定理可得，，所以，18.已知函數(shù)．（1）求的周期及在上的值域；（2）已知銳角中，，且的面積為，，求邊上的中線的長(zhǎng)．解：（1），，因?yàn)椋?，所以，所以在上的值?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，又，所以，即，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，所以.即邊上的中線的長(zhǎng)為.19.我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點(diǎn)，并且這些特殊點(diǎn)都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學(xué)者托里拆利在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的外接圓交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即稱(chēng)為托里拆利點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“點(diǎn)”）.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“點(diǎn)”滿(mǎn)足到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為“點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為“點(diǎn)”.試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題:已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.（1）若，則①求；②若，設(shè)點(diǎn)為的“點(diǎn)”，求；（2）若，設(shè)點(diǎn)為的“點(diǎn)”，，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）①在中，由正弦定理得，，有，，，，，又，；②由①知，則的三個(gè)角都小于，由“點(diǎn)”定義知：，設(shè)，，，由得，整理得，所以.（2）由，結(jié)合正弦定理，有，均為三角形內(nèi)角，（舍）或，即，，由點(diǎn)為的“點(diǎn)”，得，設(shè)，，，，由，得，由余弦定理得，，，相加得，得，整理得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)槎獾茫詫?shí)數(shù)的最小值為.江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，若向量，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解?故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴.故選：C.3.已知向量，滿(mǎn)足，，，夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在上的投影向量.故選：C.4.在中，若，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形【答案】C【解析】由于，故，從而.所以是直角三角形.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，，由同角三角函?shù)基本關(guān)系得，故D正確.故選：D.6.一艘船在A處，燈塔S在船正北方向，船以100海里/小時(shí)的速度向北偏東30°航行，30分鐘后船航行到B處，從B處看燈塔S位于船南偏西75°方向上．此時(shí)燈塔S與船B之間的距離為（）海里A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可作圖如下：在中，，，，，由正弦定理可得，則.故選：A.7.如圖，在直角，，，點(diǎn)，是邊上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，在中?故選：B.8.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在中，因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，所以，即，所以，，，由，解得，所以，，所以的范圍?故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.下列化簡(jiǎn)結(jié)果是的選項(xiàng)為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，.對(duì)于D，，故D不正確.故選：AB.10.下列命題正確的是（）A.在中，是的充要條件B.在中，角所對(duì)邊分別為，若，則C.在中，角所對(duì)的邊分別為，若三角形有兩解，則的取值范圍為D.在中，，則為銳角三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A中，在中，由得，可得，可得，反之，由得，即，則，所以A正確；對(duì)于B中，在中，，由正弦定理知，即，得或.故B不正確；對(duì)于C，在中，，若三角形有兩解，則即故C正確；對(duì)于D，在中，，由正弦定理得，則，根據(jù)余弦定理知，所以是鈍角，故D不正確.故選：AC.11.在中，點(diǎn)分別滿(mǎn)足與相交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.B.若，則C.D.若外接圓的半徑為2，且，則的取值范圍為【答案】AC【解析】對(duì)于A，設(shè)，因?yàn)閯t，，由共線，得解得，所以，故A正確；對(duì)于B，由得，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C，由知是的中點(diǎn)，所以，，又，所以，所以，，故C正確；對(duì)于D，設(shè)的三邊分別為，依題意得，由外接圓的半徑為2，根據(jù)正弦定理得，所以，由，得或，當(dāng)時(shí)，，故D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿(mǎn)足，，且，則，夾角余弦值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，解得，所以.13.________．【答案】2【解析】.14.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線與、兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，，則________；的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)闉榈闹匦模娱L(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，由重心的幾何性質(zhì)可知，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，即，所以，，因?yàn)?，，則，，則，因?yàn)?、不共線，所以，，，則，，故，即，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知，，且與的夾角為.（1）求；（2）若向量，求實(shí)數(shù)的值．解：（1），，所以.（2）由，則，即，，即，或.16.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.解：（1）由，得.（2）由（1）得.（3）依題意，，由，，得，，而，則，所以.17.如圖，在中，已知，是邊上一點(diǎn)，，，.（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)；（3）求的面積.解：（1）在中，，，，由余弦定理可得：.（2）因?yàn)?，所以，所以，在中，，，，由正弦定理可?（3）在中，，，所以，在中，由正弦定理可得，，所以，18.已知函數(shù)．（1）求的周期及在上的值域；（2）已知銳角中，，且的面積為，，求邊上的中線的長(zhǎng)．解：（1），，因?yàn)椋?，所以，所以在上的值?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，又，所以，即，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，所以.即邊上的中線的長(zhǎng)為.19.我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點(diǎn)，并且這些特殊點(diǎn)都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學(xué)者托里拆利在研究時(shí)發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個(gè)等邊三角形的外接圓交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即稱(chēng)為托里拆利點(diǎn)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“點(diǎn)”）.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“點(diǎn)”滿(mǎn)足到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小.當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為“點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大