2024-2025學(xué)年云南省美美與共民族中學(xué)聯(lián)盟高一下學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1云南省美美與共民族中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上增函數(shù).因為，則.由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.4.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到的圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象保持縱坐標(biāo)不變，先將橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再向右平移個單位長度后得到.故選：D.5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為，，，所以.故選：A.6.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又∴，則.故選：D.7.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！蔽覀儼芽醋髅刻斓摹斑M(jìn)步”率是0.01，一年后的值約為；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值約為，此時一年后的“進(jìn)步”值是“退步”值的倍.那么，大約經(jīng)過（）天，“進(jìn)步”值是“退步”值的20倍.（參考數(shù)據(jù)：）A.130天 B.149天 C.120天 D.155天【答案】B【解析】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的20倍，則，.故選：B.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象如圖：若函數(shù)有2個零點，可得函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，可得或.故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知向量，，是三個非零向量，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】A：，當(dāng)，方向相反時，錯誤；B：，，且，，是三個非零向量，則有，正確；C：知：，不一定有，錯誤；D：即，可得，即，正確.故選：BD.10.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.B.C.的面積為D.外接圓的面積為【答案】AD【解析】的內(nèi)角的對邊分別為，若，則，由，所以，故A正確；因為，所以，解得，故B錯誤；，故C錯誤；設(shè)外接圓的半徑為，因為，所以，外接圓的面積為，故D正確.故選：AD.11.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.“”是“”必要不充分條件C.若，且，則的最小值為D.若命題“，使得成立”是假命題，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，，而，則或，因此“”是“”的必要不充分條件，B正確；對于C，依題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C正確；對于D，由題可知“”為真命題，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，則解得，所以的取值范圍是，D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，且，則實數(shù)__________.【答案】【解析】因為，則，因為，所以，則.13.圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為__________.【答案】【解析】將化成弧度為，即圓心角，則扇形的弧長為，所以，所以該扇形的面積為.14.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，當(dāng)時，盛水筒位于點，經(jīng)過秒后運動到點，點的縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)90秒時，盛水筒對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】因為筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，所以，得，所以.因為當(dāng)時，盛水筒M位于點，所以，所以.因為，所以，得.因為，所以，所以.所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）因為所以則所以.（2）由（1）可得所以16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱軸方程；（2）求在上的最大值和最小值.解：（1），所以函數(shù)的最小正周期為.令，，解得，，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，.（2）當(dāng)時，，則，進(jìn)而可得，，所以.當(dāng)時，即時，取最小值.當(dāng)時，即時，取最大值.17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為為邊上的中點，求.解：（1）由正弦定理，所以，因為，所以，又因為.（2）因為AD為BC邊上的中線，所以，所以.又因為，所以.由余弦定理，所以，所以，所以，所以.18.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為在定義域為上是奇函數(shù)，所以，即，∴.又∵，即，∴.則，由，則當(dāng)，原函數(shù)為奇函數(shù).（2）由（1）知，任取，設(shè)，則，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，，∴.又，∴，即，∴在上為減函數(shù).（3）因是奇函數(shù)，從而不等式：，等價于，因為為減函數(shù)，由上式推得：，即對一切有：恒成立.設(shè)，令，則有，∴，∴，即k的取值范圍為.19.在平面四邊形中，已知，且，，是線段（包括端點）上的一個動點.（1）當(dāng)時，①求值；②若，求；（2）求的最小值.解：（1）①因為，且，所以，，且，，所以四邊形為直角梯形.所以以A為原點，所在直線分別為軸，軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，當(dāng)時，因為，所以，，，，所以，，因此；②設(shè)，即點P的坐標(biāo)為，則，，因為，所以當(dāng)時，，即.（2）設(shè)，，又，則，所以，當(dāng)時取到等號，因此的最小值為3.云南省美美與共民族中學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.2.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D.3.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上增函數(shù).因為，則.由零點存在定理可知，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：B.4.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到的圖象，則函數(shù)的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象保持縱坐標(biāo)不變，先將橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，再向右平移個單位長度后得到.故選：D.5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為，，，所以.故選：A.6.已知，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又∴，則.故選：D.7.荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江?！蔽覀儼芽醋髅刻斓摹斑M(jìn)步”率是0.01，一年后的值約為；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值約為，此時一年后的“進(jìn)步”值是“退步”值的倍.那么，大約經(jīng)過（）天，“進(jìn)步”值是“退步”值的20倍.（參考數(shù)據(jù)：）A.130天 B.149天 C.120天 D.155天【答案】B【解析】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的20倍，則，.故選：B.8.已知函數(shù)，若函數(shù)有2個零點，則的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由函數(shù)解析式可畫出函數(shù)圖象如圖：若函數(shù)有2個零點，可得函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，可得或.故選：C.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知向量，，是三個非零向量，則下列結(jié)論正確的有（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】A：，當(dāng)，方向相反時，錯誤；B：，，且，，是三個非零向量，則有，正確；C：知：，不一定有，錯誤；D：即，可得，即，正確.故選：BD.10.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.B.C.的面積為D.外接圓的面積為【答案】AD【解析】的內(nèi)角的對邊分別為，若，則，由，所以，故A正確；因為，所以，解得，故B錯誤；，故C錯誤；設(shè)外接圓的半徑為，因為，所以，外接圓的面積為，故D正確.故選：AD.11.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.“”是“”必要不充分條件C.若，且，則的最小值為D.若命題“，使得成立”是假命題，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】對于A，當(dāng)時，，A錯誤；對于B，，而，則或，因此“”是“”的必要不充分條件，B正確；對于C，依題意，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C正確；對于D，由題可知“”為真命題，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，則解得，所以的取值范圍是，D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，且，則實數(shù)__________.【答案】【解析】因為，則，因為，所以，則.13.圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形的面積為__________.【答案】【解析】將化成弧度為，即圓心角，則扇形的弧長為，所以，所以該扇形的面積為.14.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖2，將筒車抽象為一個半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，當(dāng)時，盛水筒位于點，經(jīng)過秒后運動到點，點的縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)90秒時，盛水筒對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】因為筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，所以，得，所以.因為當(dāng)時，盛水筒M位于點，所以，所以.因為，所以，得.因為，所以，所以.所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）因為所以則所以.（2）由（1）可得所以16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱軸方程；（2）求在上的最大值和最小值.解：（1），所以函數(shù)的最小正周期為.令，，解得，，所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為，.（2）當(dāng)時，，則，進(jìn)而可得，，所以.當(dāng)時，即時，取最小值.當(dāng)時，即時，取最大值.17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若的面積為為邊上的中點，求.解：（1）由正弦定理，所以，因為，所以，又因為.（2）因為AD為BC邊上的中線，所以，所以.又因為，所以.由余弦定理，所以，所以，所以，所以.18.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（3）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為在定義域為上是奇函數(shù)，所以，即，∴.又∵，即，∴.則，由，則當(dāng)，原函數(shù)為奇函數(shù).（2）由（1）知，任取，設(shè)，則，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，，∴.又，∴，即，