2025屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一（3月）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市朝陽(yáng)區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一（3月）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以.故選：C.3.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D.4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位【答案】D【解析】因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換5.已知等比數(shù)列，，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】已知，，可得公比.再將，代入通項(xiàng)公式，可得，解得.

可得：；；.

可得：.故選：A.6.已知曲線，則“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以，即，所以為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則對(duì)于，即，可得，即且，不一定得到，綜上，“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的充分不必要條件.故選：A7.已知，，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】由，，得，整理得，所以.故選：B8.某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示．這條河兩岸所在直線，互相平行，橋DE與河岸所在直線垂直．休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A，B，C處，其中入口A點(diǎn)（定點(diǎn)）在橋DE上，且A到直線，的距離分別為，（為定值），入口B，C分別在直線，上，公園的一邊AB與直線所成的銳角為，另一邊AC與AB垂直．設(shè)該休閑公園的面積為，當(dāng)變化時(shí)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)的最小值為C.若，且則D.若，且，則【答案】D【解析】在中，，，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得.

因?yàn)椋?，所以，在中，，根?jù)余弦函數(shù)的定義，可得.

對(duì)于，，將，代入可得：，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，.

對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以?當(dāng)取最小值（取不到），最大值時(shí)，沒有最大值，所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B，由，，當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值，所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.所以若且，不一定有，C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D，若且，則，.因?yàn)?，，所以，D正確.

故選：D.9.在中，，，點(diǎn)M為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】在三角形中，由余弦定理，故為鈍角；又，故點(diǎn)在三角形底邊的高線上，則以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：又，則，故，；則，設(shè)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；也即的最小值為.故選：C.10.位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場(chǎng)比賽．每場(chǎng)比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)分，負(fù)者計(jì)分，平局各計(jì)分．所有比賽結(jié)束后，若這位同學(xué)的得分總和為分，且平局總場(chǎng)數(shù)不超過比賽總場(chǎng)數(shù)的一半，則平局總場(chǎng)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)平局總場(chǎng)數(shù)為，且所有比賽的場(chǎng)數(shù)為，由題意可知，，由于能決定勝負(fù)的每場(chǎng)選手的得分之和為分，每場(chǎng)平局選手的得分之和為分，由題意可得，所以，，因?yàn)槠骄挚倛?chǎng)數(shù)不超過比賽總場(chǎng)數(shù)一半，則，整理可得，因?yàn)椋獾?，所以，平局的局?jǐn)?shù)為.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開______．【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為_______；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_______．（填“相交”“相切”或“相離”）【答案】①.②.相切【解析】由題意可得，所以，所以拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；由兩點(diǎn)間距離公式可得，即為圓的半徑，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相切.故答案為：；相切.13.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_______；若存在，使得，則c的一個(gè)取值為_______．【答案】①.②.4（答案不唯一）【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，且時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，由，可得，令，即，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，，，由為函數(shù)是上的奇函數(shù)，可得時(shí)，，又，由，可得或，所以的取值范圍為.故答案為：；4（答案不唯一）.14.干支紀(jì)年法是我國(guó)古代一種紀(jì)年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來(lái)表示年份，循環(huán)紀(jì)年．比如某一年為甲子年‘，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個(gè)己巳年是_______年．（用數(shù)字作答）【答案】2049【解析】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項(xiàng)，因?yàn)榈刂樗?，則經(jīng)過的年數(shù)為12的倍數(shù)，又因?yàn)?025年為天干為乙，到天干為已，需經(jīng)過丙、丁、戊、己，故經(jīng)過年數(shù)除以10的余數(shù)為4，故需經(jīng)過24年，所以2025年之后的首個(gè)已巳年是2049.故答案為：2049.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【解析】設(shè)點(diǎn)、、、關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、、，設(shè)底面、的中心分別為點(diǎn)、，如下圖所示：對(duì)于①，易知為的中點(diǎn)，則，可得，所以，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，底面，此時(shí)，取最小值，即的最小值為，①對(duì)；對(duì)于④，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，底面，此時(shí)，取最小值，則的最小值為，④對(duì)；對(duì)于②，由對(duì)稱性可知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，所以，的最大值不是，③錯(cuò).故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在四棱柱中，平面，在四邊形中，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又，所以四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)椋裕运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕忠驗(yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）解：因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面．所以．所以兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以．因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴姆ㄏ蛄浚O(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．于是．設(shè)平面與平面夾角為，則．17.在中，（1）求c的值；（2）已知，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求的周長(zhǎng)．條件①：；條件②：AB邊上的高為；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由正弦定理及得．所以．所以．又因?yàn)椋裕裕?）選條件①：因?yàn)?，且，所以．因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)?，所以．所以．又，所以．所以的周長(zhǎng)為．選條件②：因?yàn)檫吷系母邽?，所以．又因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)?，所以．a(chǎn).當(dāng)時(shí)，由，得．又，所以．所以．所以周長(zhǎng)為．b.當(dāng)時(shí)，由，得．又，所以，不符合題意．綜上，的周長(zhǎng)為．選條件③：由余弦定理，可得，即。解得或，此時(shí)不唯一，不符合要求.18.某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率；（2）分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去B地的概率；（3）對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，寫出和的大小關(guān)系．`（結(jié)論不要求證明）解：（1）從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為，因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為．（2）設(shè)事件：抽取的高一學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的高二學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的高三學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的3人中恰有人選擇去B地，，事件：抽取的3人中至少有2人選擇去B地．從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；因?yàn)?，所以．所以抽取?人中至少有2人選擇去地的概率可估計(jì)為．（3）在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，則.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B．設(shè)，直線BC與直線交于點(diǎn)N，求證：直線AN的斜率為定值．（1）解：由題意得，解得，所以橢圓的方程是．（2）證明：由題可知直線斜率存在．設(shè)直線．由，得．由，得，即．設(shè)，則．直線的方程為．令，得的縱坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以．．又．所以，即．所以直線的斜率為定值．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）證明：由題設(shè)知．設(shè)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?duì)任意的恒成立，即．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以．所以當(dāng)且時(shí)，．（3）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由（2）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．③當(dāng)時(shí)，對(duì)于函數(shù)，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根、，滿足，，不妨設(shè)，則，、的情況如下：增極大值減極小值增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是、，單調(diào)遞減區(qū)間是．因?yàn)?，所以為的一個(gè)零點(diǎn)．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．所以函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．21.已知，，，為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在，其使得，其中，則稱Q為連續(xù)可歸零數(shù)列．（1）判斷：1，3，2和：4，2，4是否為連續(xù)可歸零數(shù)列？并說明理由；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，記，其中表示數(shù)集S中最大的數(shù)．令，求證：數(shù)列，，，不是連續(xù)可歸零數(shù)列；（3）若，，，的每一項(xiàng)均為不大于的正整數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，Q是連續(xù)可歸零數(shù)列．證明：（1）數(shù)列連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：取，則，所以數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．?dāng)?shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．所以數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列．（2）因?yàn)?，3，5，7是奇數(shù)，故，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．所以?shù)列．因?yàn)椋耘c奇偶性相同．當(dāng)或時(shí)，因?yàn)橹?，為奇?shù)，其余各項(xiàng)均為偶數(shù)，所以為奇數(shù)．所以．當(dāng)取時(shí)，由（1）可知，綜上，數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列．（3）設(shè)，則是整數(shù)數(shù)列．下面證明對(duì)任意，均有．顯然滿足．假設(shè)結(jié)論不成立，則存在，使得或，且當(dāng)時(shí)都有．（i）若，當(dāng)時(shí)，，因，所以，矛盾；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，矛盾．（ii）若，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，矛盾；?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，又是整?shù)，所以，矛盾．綜上，對(duì)任意，均有．若存在，使得，則存在且，使得，此時(shí)數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．若任意，因?yàn)橹泄矀€(gè)非零整數(shù)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列中存在且，使得，從而存在，使得，此時(shí)數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．北京市朝陽(yáng)區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)一（3月）數(shù)學(xué)試卷一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以，故選：A.2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，所以.故選：C.3.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的展開式通項(xiàng)為，令，解得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D.4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位【答案】D【解析】因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象向左平移個(gè)單位，選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換5.已知等比數(shù)列，，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】已知，，可得公比.再將，代入通項(xiàng)公式，可得，解得.

可得：；；.

可得：.故選：A.6.已知曲線，則“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，所以，即，所以為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；若為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則對(duì)于，即，可得，即且，不一定得到，綜上，“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的充分不必要條件.故選：A7.已知，，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】由，，得，整理得，所以.故選：B8.某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示．這條河兩岸所在直線，互相平行，橋DE與河岸所在直線垂直．休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A，B，C處，其中入口A點(diǎn)（定點(diǎn)）在橋DE上，且A到直線，的距離分別為，（為定值），入口B，C分別在直線，上，公園的一邊AB與直線所成的銳角為，另一邊AC與AB垂直．設(shè)該休閑公園的面積為，當(dāng)變化時(shí)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最大值為B.函數(shù)的最小值為C.若，且則D.若，且，則【答案】D【解析】在中，，，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得.

因?yàn)?，，所以，在中，，根?jù)余弦函數(shù)的定義，可得.

對(duì)于，，將，代入可得：，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為，.

對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以?當(dāng)取最小值（取不到），最大值時(shí)，沒有最大值，所以A錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B，由，，當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值，所以B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.所以若且，不一定有，C錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D，若且，則，.因?yàn)?，，所以，D正確.

故選：D.9.在中，，，點(diǎn)M為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】在三角形中，由余弦定理，故為鈍角；又，故點(diǎn)在三角形底邊的高線上，則以所在直線為軸，以其上的高線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如下所示：又，則，故，；則，設(shè)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；也即的最小值為.故選：C.10.位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場(chǎng)比賽．每場(chǎng)比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)分，負(fù)者計(jì)分，平局各計(jì)分．所有比賽結(jié)束后，若這位同學(xué)的得分總和為分，且平局總場(chǎng)數(shù)不超過比賽總場(chǎng)數(shù)的一半，則平局總場(chǎng)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)平局總場(chǎng)數(shù)為，且所有比賽的場(chǎng)數(shù)為，由題意可知，，由于能決定勝負(fù)的每場(chǎng)選手的得分之和為分，每場(chǎng)平局選手的得分之和為分，由題意可得，所以，，因?yàn)槠骄挚倛?chǎng)數(shù)不超過比賽總場(chǎng)數(shù)一半，則，整理可得，因?yàn)椋獾?，所以，平局的局?jǐn)?shù)為.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域?yàn)開______．【答案】【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為_______；以F為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是_______．（填“相交”“相切”或“相離”）【答案】①.②.相切【解析】由題意可得，所以，所以拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為；由兩點(diǎn)間距離公式可得，即為圓的半徑，又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相切.故答案為：；相切.13.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則_______；若存在，使得，則c的一個(gè)取值為_______．【答案】①.②.4（答案不唯一）【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)，且時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，由，可得，令，即，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，，，由為函數(shù)是上的奇函數(shù)，可得時(shí)，，又，由，可得或，所以的取值范圍為.故答案為：；4（答案不唯一）.14.干支紀(jì)年法是我國(guó)古代一種紀(jì)年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來(lái)表示年份，循環(huán)紀(jì)年．比如某一年為甲子年‘，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個(gè)己巳年是_______年．（用數(shù)字作答）【答案】2049【解析】天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項(xiàng)，因?yàn)榈刂樗?，則經(jīng)過的年數(shù)為12的倍數(shù)，又因?yàn)?025年為天干為乙，到天干為已，需經(jīng)過丙、丁、戊、己，故經(jīng)過年數(shù)除以10的余數(shù)為4，故需經(jīng)過24年，所以2025年之后的首個(gè)已巳年是2049.故答案為：2049.15.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)P是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【解析】設(shè)點(diǎn)、、、關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)分別為、、、，設(shè)底面、的中心分別為點(diǎn)、，如下圖所示：對(duì)于①，易知為的中點(diǎn)，則，可得，所以，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，底面，此時(shí)，取最小值，即的最小值為，①對(duì)；對(duì)于④，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，底面，此時(shí)，取最小值，則的最小值為，④對(duì)；對(duì)于②，由對(duì)稱性可知，，則，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與平面的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，②對(duì)；對(duì)于③，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，所以，的最大值不是，③錯(cuò).故答案為：①②④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在四棱柱中，平面，在四邊形中，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：連接．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．又，所以四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)?，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）解：因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面．所以．所以兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則．所以．因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．于是．設(shè)平面與平面夾角為，則．17.在中，（1）求c的值；（2）已知，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一，求的周長(zhǎng)．條件①：；條件②：AB邊上的高為；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）由正弦定理及得．所以．所以．又因?yàn)?，所以．所以．?）選條件①：因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋裕裕忠驗(yàn)?，所以．所以．又，所以．所以的周長(zhǎng)為．選條件②：因?yàn)檫吷系母邽椋裕忠驗(yàn)?，所以．所以．因?yàn)?，所以．a(chǎn).當(dāng)時(shí)，由，得．又，所以．所以．所以周長(zhǎng)為．b.當(dāng)時(shí)，由，得．又，所以，不符合題意．綜上，的周長(zhǎng)為．選條件③：由余弦定理，可得，即。解得或，此時(shí)不唯一，不符合要求.18.某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率；（2）分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去B地的概率；（3）對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，寫出和的大小關(guān)系．`（結(jié)論不要求證明）解：（1）從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為，因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為．（2）設(shè)事件：抽取的高一學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的高二學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的高三學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的3人中恰有人選擇去B地，，事件：抽取的3人中至少有2人選擇去B地．從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；因?yàn)椋裕猿槿〉?人中至少有2人選擇去地的概率可估計(jì)為．（3）在三個(gè)年級(jí)去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，則.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點(diǎn)作直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B．設(shè)，直線BC與直線交于點(diǎn)N，求證：直線AN的斜率為定值．（1）解：由題意得，解得，所以橢圓的方程是．（2）證明：由題可知直線斜率存