2025屆海南省高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題(三)(解析版)_第1頁(yè)
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高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1海南省2025屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題(三)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由,可知拋物線的焦點(diǎn)在的正半軸上,又,所以,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選:B.2.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.1【答案】B【解析】,所以虛部為,故選:B3.已知集合.,中()A. B.C. D.【答案】D【解析】,所以或,所以,故選:D4.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?,所以,所以,所?故選:A5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.12 B.16 C.20 D.22【答案】D【解析】由,可得:,所以,又,故選:D6.在同一平面內(nèi),向量滿足,則的最小值為()A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】由題意,不妨設(shè),則由得,則,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),的最小值為3.故選:A7.若邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上,則的焦距為()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由對(duì)稱性可知,正方形的四個(gè)頂點(diǎn)必在直線上,由于橢圓在y軸上的兩頂點(diǎn)間的距離為2,所以正方形的邊長(zhǎng)只能為1,因此點(diǎn)在上,代入的方程得,解得,故,所以的焦距為.故選:B8.已知是遞增的等比數(shù)列,若,則當(dāng)取得最小值時(shí),()A.B1C.4D.16【答案】D【解析】設(shè)的公比為q,由得,,故,又因?yàn)槭沁f增的數(shù)列,所以,因?yàn)椋匀〉米钚≈档葍r(jià)于函數(shù)取得最小值,求導(dǎo)得,令得,令得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí).故選:D二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)滿足,則下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A,由函數(shù)單調(diào)遞增,可知當(dāng),正確;對(duì)于B,取,可得,錯(cuò)誤;對(duì)于C,取,顯然不成立,錯(cuò)誤;對(duì)于D,等價(jià)于,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知:當(dāng),,所以成立,正確;故選:AD10.須彌座是一種古建筑的基座形式,又名“金剛座”,通常用于宮殿、寺廟、塔、碑等重要建筑的基座部分,由多層不同形狀的構(gòu)件組成,具有很高的藝術(shù)價(jià)值.如圖所示,某古建筑的須彌座最下層為正六棱臺(tái)形狀,該正六棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為3,下底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)面積為,則()A.該正六棱臺(tái)的高為B.該正六棱臺(tái)的側(cè)面與下底面的夾角為C.該正六棱臺(tái)的側(cè)棱與下底面所成角的正弦值為D.該正六棱臺(tái)的體積為【答案】BCD【解析】如圖,分別是上,下底面中心,分別是棱中點(diǎn),對(duì)于A,由已知可得每個(gè)側(cè)面等腰梯形的面積為,所以梯形的高為,由此可得該正六棱臺(tái)的高為,錯(cuò)誤;對(duì)于B,由正棱臺(tái)的性質(zhì)及二面角的概念可知,側(cè)面與下底面的夾角為,因?yàn)樵谥苯翘菪沃?,,,所以,易知為銳角,所以,正確;對(duì)于C,由正棱臺(tái)的性質(zhì)及二面角的概念可知,側(cè)棱與下底面所成角為,在直角梯形中,,得,所以,正確;對(duì)于D,該棱臺(tái)上底面面積,下底面面積,故棱臺(tái)的體積為,正確.故選:BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,若,則下列說(shuō)法正確的是()A. B.是奇函數(shù)C. D.若,則【答案】ABD【解析】對(duì)于A,令可得:,所以,正確;對(duì)于B,令,可得:,令可得:,即,所以,即是奇函數(shù),正確;對(duì)于C:令,可得,由B可得:,所以,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,令,可得:,所以所以,,,累加可得:所以,化簡(jiǎn)可得:,當(dāng)時(shí),代入可得滿足,所以,則,故選:ABD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若(為正常數(shù))的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.【答案】24【解析】令,由題意可得且,解得:,由通項(xiàng)公式可知:展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:2413.已知函數(shù)在上的最小值為,則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由,可得:,令由題意可知:在可取到,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知需滿足:,解得,所以的最小值為,故答案為:14.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)問(wèn)答游戲,每名參加者要依次回答若干道題,若連續(xù)答對(duì)兩題則結(jié)束游戲,并獲得獎(jiǎng)品,若連續(xù)答錯(cuò)兩題也結(jié)束游戲,但不能獲得獎(jiǎng)品,只要沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)答對(duì)或連續(xù)答錯(cuò)的情況,就繼續(xù)答題.已知小明答對(duì)每道題的概率都為,則小明獲得獎(jiǎng)品的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)表示當(dāng)前已答對(duì)最后一題的情況下獲得獎(jiǎng)品的概率;表示當(dāng)前已答錯(cuò)最后一題的情況下獲得獎(jiǎng)品的概率;由題意可得:,解得:,,所以小明獲得獎(jiǎng)品的概率為,故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知.(1)求;(2)若,求外接圓半徑的最小值.解:(1)由正弦定理及可得,,因?yàn)椋裕?,因?yàn)?,所以;?)由題意得三角形外接圓的半徑,要使外接圓的半徑最小,只需最小,又因?yàn)?,則由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí),所以,即外接圓半徑的最小值為.16.如圖,將等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折,得到四面體.(1)證明:平面;(2)若,求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:由為等腰直角三角形斜邊上的中線,可得:,也即,又為平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面;(2)由,可得,所以,所以,因?yàn)槠矫?,以為坐?biāo)原點(diǎn),以為軸和軸,過(guò)在平面作的垂線為軸建系,易知,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得:,所以,易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面夾角為,所以,所以平面與平面夾角的余弦值為;17.已知雙曲線的焦距為,過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),且當(dāng)軸時(shí),.(1)求的方程;(2)若點(diǎn)都在的左支上,且以為直徑的圓與軸相切,求的斜率.解:(1)因?yàn)楫?dāng)軸時(shí),,所以點(diǎn)在曲線C上,所以,又的焦距為,所以,所以,解得(負(fù)根舍去),所以,所以的方程為;(2)由題知,直線l的斜率一定存在,設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立,消并整理得,因?yàn)橹本€與的左支交于兩點(diǎn),所以,解得,所以,且,因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切,所以,所以,所以,結(jié)合,所以,解得,即的斜率為.18.已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線.求;(2)若且函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)由題意,得,則,由題意,解得;(2)當(dāng)時(shí),,,令,則,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)的遞增,所以函數(shù)不存在極值;當(dāng)時(shí),令即,得,令,則恒成立,則在上單調(diào)遞增,又,,所以存在唯一的,使得,當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)單調(diào)遞增,所以僅在處取到極小值,符合題意.綜上,函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍為.(3)由,參變分離得,設(shè),則,因?yàn)?,所以,令,因?yàn)?,所以,設(shè),則,,當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),所以,即的最小值為0,即,所以,即,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.在一個(gè)足夠大的不透明袋中進(jìn)行一個(gè)輪摸球試驗(yàn),規(guī)則如下:每一輪試驗(yàn)時(shí),袋中均有紅、黑、白三種顏色的球,從中隨機(jī)摸出一個(gè)球(摸出的球不再放回),若摸出紅球.則試驗(yàn)成功;若摸出白球,則試驗(yàn)失??;若摸出黑球,則進(jìn)入判定環(huán)節(jié):判定時(shí),放回兩個(gè)黑球取出一個(gè)白球,再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球,若為白球則試驗(yàn)失敗,否則試驗(yàn)成功.若試驗(yàn)成功,則結(jié)束試驗(yàn),若試驗(yàn)失敗,則進(jìn)行下一輪試驗(yàn),直至成功或輪試驗(yàn)進(jìn)行完.已知第輪試驗(yàn)開(kāi)始時(shí),袋中有1個(gè)紅球,個(gè)黑球,個(gè)白球.(1)求第1輪試驗(yàn)成功的概率;(2)某團(tuán)隊(duì)對(duì)這個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行了一定的研究,請(qǐng)若干志愿者進(jìn)行了5輪試驗(yàn),并記錄了第輪試驗(yàn)成功志愿者的比例,記,發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān),求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測(cè)試驗(yàn)輪數(shù)足夠大時(shí),試驗(yàn)成功志愿者的比例;(3)記試驗(yàn)結(jié)束時(shí),試驗(yàn)成功的概率為,證明:.參考數(shù)據(jù):.附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.解:(1)第1輪試驗(yàn)中有1個(gè)紅球,1個(gè)黑球,2個(gè)白球,摸出紅球,即試驗(yàn)成功的概率為,摸出黑球且試驗(yàn)成功的概率為,所以第1輪試驗(yàn)成功的概率為;(2),所以,則所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為,當(dāng)試驗(yàn)輪數(shù)足夠大,即足夠大時(shí),x接近于0,則y接近于,故預(yù)測(cè)成功志愿者的比例為;(3)依題意,輪試驗(yàn)失敗的概率為,設(shè)第輪試驗(yàn)失敗的概率為,則,發(fā)生有兩種可能,直接摸出白球,概率為,或者摸出黑球后再摸出白球,概率為,所以,則,因此.海南省2025屆高三下學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題(三)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為()A. B.C. D.【答案】B【解析】由,可知拋物線的焦點(diǎn)在的正半軸上,又,所以,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選:B.2.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.1【答案】B【解析】,所以虛部為,故選:B3.已知集合.,中()A. B.C. D.【答案】D【解析】,所以或,所以,故選:D4.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?,所以,所?故選:A5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A.12 B.16 C.20 D.22【答案】D【解析】由,可得:,所以,又,故選:D6.在同一平面內(nèi),向量滿足,則的最小值為()A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】由題意,不妨設(shè),則由得,則,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),的最小值為3.故選:A7.若邊長(zhǎng)為整數(shù)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上,則的焦距為()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由對(duì)稱性可知,正方形的四個(gè)頂點(diǎn)必在直線上,由于橢圓在y軸上的兩頂點(diǎn)間的距離為2,所以正方形的邊長(zhǎng)只能為1,因此點(diǎn)在上,代入的方程得,解得,故,所以的焦距為.故選:B8.已知是遞增的等比數(shù)列,若,則當(dāng)取得最小值時(shí),()A.B1C.4D.16【答案】D【解析】設(shè)的公比為q,由得,,故,又因?yàn)槭沁f增的數(shù)列,所以,因?yàn)?,所以取得最小值等價(jià)于函數(shù)取得最小值,求導(dǎo)得,令得,令得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí).故選:D二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)滿足,則下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A,由函數(shù)單調(diào)遞增,可知當(dāng),正確;對(duì)于B,取,可得,錯(cuò)誤;對(duì)于C,取,顯然不成立,錯(cuò)誤;對(duì)于D,等價(jià)于,由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知:當(dāng),,所以成立,正確;故選:AD10.須彌座是一種古建筑的基座形式,又名“金剛座”,通常用于宮殿、寺廟、塔、碑等重要建筑的基座部分,由多層不同形狀的構(gòu)件組成,具有很高的藝術(shù)價(jià)值.如圖所示,某古建筑的須彌座最下層為正六棱臺(tái)形狀,該正六棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為3,下底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)面積為,則()A.該正六棱臺(tái)的高為B.該正六棱臺(tái)的側(cè)面與下底面的夾角為C.該正六棱臺(tái)的側(cè)棱與下底面所成角的正弦值為D.該正六棱臺(tái)的體積為【答案】BCD【解析】如圖,分別是上,下底面中心,分別是棱中點(diǎn),對(duì)于A,由已知可得每個(gè)側(cè)面等腰梯形的面積為,所以梯形的高為,由此可得該正六棱臺(tái)的高為,錯(cuò)誤;對(duì)于B,由正棱臺(tái)的性質(zhì)及二面角的概念可知,側(cè)面與下底面的夾角為,因?yàn)樵谥苯翘菪沃?,,,所以,易知為銳角,所以,正確;對(duì)于C,由正棱臺(tái)的性質(zhì)及二面角的概念可知,側(cè)棱與下底面所成角為,在直角梯形中,,得,所以,正確;對(duì)于D,該棱臺(tái)上底面面積,下底面面積,故棱臺(tái)的體積為,正確.故選:BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且,若,則下列說(shuō)法正確的是()A. B.是奇函數(shù)C. D.若,則【答案】ABD【解析】對(duì)于A,令可得:,所以,正確;對(duì)于B,令,可得:,令可得:,即,所以,即是奇函數(shù),正確;對(duì)于C:令,可得,由B可得:,所以,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,令,可得:,所以所以,,,累加可得:所以,化簡(jiǎn)可得:,當(dāng)時(shí),代入可得滿足,所以,則,故選:ABD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.若(為正常數(shù))的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.【答案】24【解析】令,由題意可得且,解得:,由通項(xiàng)公式可知:展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:2413.已知函數(shù)在上的最小值為,則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】由,可得:,令由題意可知:在可取到,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知需滿足:,解得,所以的最小值為,故答案為:14.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)問(wèn)答游戲,每名參加者要依次回答若干道題,若連續(xù)答對(duì)兩題則結(jié)束游戲,并獲得獎(jiǎng)品,若連續(xù)答錯(cuò)兩題也結(jié)束游戲,但不能獲得獎(jiǎng)品,只要沒(méi)有出現(xiàn)連續(xù)答對(duì)或連續(xù)答錯(cuò)的情況,就繼續(xù)答題.已知小明答對(duì)每道題的概率都為,則小明獲得獎(jiǎng)品的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)表示當(dāng)前已答對(duì)最后一題的情況下獲得獎(jiǎng)品的概率;表示當(dāng)前已答錯(cuò)最后一題的情況下獲得獎(jiǎng)品的概率;由題意可得:,解得:,,所以小明獲得獎(jiǎng)品的概率為,故答案為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,已知.(1)求;(2)若,求外接圓半徑的最小值.解:(1)由正弦定理及可得,,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,所以;?)由題意得三角形外接圓的半徑,要使外接圓的半徑最小,只需最小,又因?yàn)椋瑒t由余弦定理得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí),所以,即外接圓半徑的最小值為.16.如圖,將等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折,得到四面體.(1)證明:平面;(2)若,求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:由為等腰直角三角形斜邊上的中線,可得:,也即,又為平面內(nèi)兩條相交直線,所以平面;(2)由,可得,所以,所以,因?yàn)槠矫?,以為坐?biāo)原點(diǎn),以為軸和軸,過(guò)在平面作的垂線為軸建系,易知,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得:,所以,易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面與平面夾角為,所以,所以平面與平面夾角的余弦值為;17.已知雙曲線的焦距為,過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),且當(dāng)軸時(shí),.(1)求的方程;(2)若點(diǎn)都在的左支上,且以為直徑的圓與軸相切,求的斜率.解:(1)因?yàn)楫?dāng)軸時(shí),,所以點(diǎn)在曲線C上,所以,又的焦距為,所以,所以,解得(負(fù)根舍去),所以,所以的方程為;(2)由題知,直線l的斜率一定存在,設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立,消并整理得,因?yàn)橹本€與的左支交于兩點(diǎn),所以,解得,所以,且,因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切,所以,所以,所以,結(jié)合,所以,解得,即的斜率為.18.已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線.求;(2)若且函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)由題意,得,則,由題意,解得;(2)當(dāng)時(shí),,,令,則,當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)的遞增,所以函數(shù)不存在極值;當(dāng)時(shí),令即,得,令,則恒成立,則在上單調(diào)遞增,又,,所以存在唯一的,使得,當(dāng)時(shí),,即,所以函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,即,所以

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