2025屆河南省鶴壁市高三3月模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省鶴壁市2025屆高三3月模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題解得，，所以．故選：A.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于y軸上，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于y軸上，所以，．故選：C3.已知向量，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由題可知在上的投影向量的長(zhǎng)度為．故選：B4.如圖，曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分，且曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，，則點(diǎn)B到C的焦點(diǎn)的距離為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且，所以的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線(xiàn)方程，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，因?yàn)榈綔?zhǔn)線(xiàn)的距離為所以點(diǎn)B到C焦點(diǎn)的距離為2．故選：C.5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，則，，又，所以，所以．故選：D.6.在直三棱柱中，，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知三棱柱兩個(gè)底面三角形的外接圓的圓心分別為，的中點(diǎn)，．設(shè)外接球的半徑為R，則，，所以，解得．側(cè)面旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為．故選：B.7.為了抒寫(xiě)鄉(xiāng)村發(fā)展故事、展望鄉(xiāng)村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂(lè)、非遺展演六個(gè)節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂(lè)節(jié)目前面演出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)器樂(lè)在第三個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；當(dāng)器樂(lè)在第四個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；當(dāng)器樂(lè)在第五個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；當(dāng)器樂(lè)在第六個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；所以共有種不同的演出順序，則所求概率為．故選：A8.已知且，若函數(shù)與在區(qū)間上都單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時(shí)，有，得，不成立舍去；當(dāng)時(shí)，有l(wèi)n(a+2)>0，則顯然成立，故.又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時(shí)恒成立，所以在時(shí)恒成立，因?yàn)?，則有，即，則得，即，解得或，又，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.有一組樣本數(shù)據(jù)a，b，c，d，其中，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)為，，，，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等 B.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等 D.兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等【答案】BC【解析】對(duì)于A，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為5，4，2，1，極差為，則新樣本數(shù)據(jù)為3，2，4，3，極差為，兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?xún)山M數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，故B正確；對(duì)于C，由A中的數(shù)據(jù)可知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為4，3，2，1，則新樣本數(shù)據(jù)為2，1，4，3，這兩組數(shù)據(jù)一樣，故方差可能相等，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.已知，分別是雙曲線(xiàn)（）的左、右焦點(diǎn)，斜率為且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交C的右支于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，且，則（）A.點(diǎn)到C的漸近線(xiàn)的距離為 B.C.C的離心率為2D.分別以，為直徑的圓的公共弦長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A,C，連接，由題意得，故，，由于，所以，又，故，設(shè)（），在中，由余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去），故離心率為2，即，漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)到C的漸近線(xiàn)的距離為，故A，C正確；對(duì)于B，設(shè)（），則，,在中，由余弦定理可得，解得，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易知分別以，為直徑的圓的公共弦為，且，故D正確．故選：ACD.11.塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號(hào)處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域經(jīng)常用到．常見(jiàn)的塌縮函數(shù)有，，設(shè)的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.方程的所有實(shí)根之和為1D.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以在上為增函數(shù)，且的值域?yàn)椋?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，由B可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以?xún)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則方程的所有實(shí)根之和為0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知為增函數(shù)，且，即，則，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線(xiàn)與底面所成的角為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，母線(xiàn)與底面所成的角為．由題可知，則，所以，．故答案為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，且，，，則________．【答案】【解析】由面積相等，可得，即，化簡(jiǎn)得，又，∴．由余弦定理可得，所以.故答案為：14.記表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的前101項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】10101【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，則，當(dāng)時(shí)，，故，又對(duì)于，都有，故，所以，故當(dāng)時(shí)，，又，所以的前101項(xiàng)和為．故答案為：10101四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列的首項(xiàng)為9，且是公比為2的等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）探究的單調(diào)性，并求其最值．解：（1）設(shè)的公差為d．由題可得，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，故，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，且有最小值，為，無(wú)最大值．16.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響．（1）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；（2）設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍．（1）證明：要證，即證．當(dāng)時(shí)，，所以，可以考慮證明，令，，則，易知在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，，即，因此，當(dāng)時(shí)，．（2）解：由題可知，則．若，當(dāng)時(shí)，，，∴，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，不符合題意，舍去．若，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，∴在區(qū)間有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求C的方程．（2）若C上的兩點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)為C上的一對(duì)伴點(diǎn)，設(shè)A為C上位于第一象限的一點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．（?。┳C明：點(diǎn)AC上共有兩個(gè)伴點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)（?。┲械膬蓚€(gè)伴點(diǎn)分別為G，H，若斜率為的動(dòng)直線(xiàn)l與C交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)G，H，M，N組成四邊形，求四邊形的面積的最大值．解：（1）設(shè)C的半焦距為c（）．由題可知解得所以C的方程為．（2）（?。┯深}可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)A在C上的伴點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即，所以點(diǎn)A在C上的伴點(diǎn)在直線(xiàn)上．聯(lián)立方程得解得或所以點(diǎn)A在C上所有伴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，即點(diǎn)A在C上共有兩個(gè)伴點(diǎn)．（ⅱ）設(shè)，則兩式相減得．由題可知，則，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，則線(xiàn)段被直線(xiàn)平分．由（ⅰ）可知直線(xiàn)的方程為．設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則四邊形的面積．又，所以．設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，則當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值．由可得（*），令，解得．故的最大值為直線(xiàn)和直線(xiàn)（或）的距離，即為，所以，即四邊形的面積的最大值為．19.球面與過(guò)球心的平面的交線(xiàn)叫做大圓，將球面上三點(diǎn)用三條大圓弧連接起來(lái)所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個(gè)內(nèi)角.如圖（1），球的半徑為球的球面上的四點(diǎn).（1）若球面三角形的三條邊長(zhǎng)均為，求此球面三角形一個(gè)內(nèi)角的余弦值.（2）在球的內(nèi)接三棱錐中，平面，直線(xiàn)與平面所成的角為.（i）若分別為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值；（ii）如圖（2），若分別為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），當(dāng)平面與平面夾角的余弦值最大時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)榍蛎嫒切蔚娜龡l邊長(zhǎng)均為，所以球面三角形每條邊所對(duì)的圓心角均為，所以四面體為正四面體.取的中點(diǎn)，連接，則，且，則為二面角的平面角.由余弦定理可得.所以此球面三角形一個(gè)內(nèi)角的余弦值為.（2）因?yàn)槠矫?，所?設(shè)，則，所以.由勾股定理的逆定理可得，又，所以平面，又平面，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角為，所以.易知在和中，斜邊的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，即為球的直徑，所以.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（i）由題可知，則.設(shè)與都垂直的向量為，則令，則，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為.（ii）設(shè)，由題可知，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，可得.設(shè)平面與平面的夾角為.因?yàn)椋?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)取得最大值，故.河南省鶴壁市2025屆高三3月模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題解得，，所以．故選：A.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于y軸上，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于y軸上，所以，．故選：C3.已知向量，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由題可知在上的投影向量的長(zhǎng)度為．故選：B4.如圖，曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分，且曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，，則點(diǎn)B到C的焦點(diǎn)的距離為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題可知C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又曲線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且，所以的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線(xiàn)方程，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，因?yàn)榈綔?zhǔn)線(xiàn)的距離為所以點(diǎn)B到C焦點(diǎn)的距離為2．故選：C.5.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，，則，，又，所以，所以．故選：D.6.在直三棱柱中，，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知三棱柱兩個(gè)底面三角形的外接圓的圓心分別為，的中點(diǎn)，．設(shè)外接球的半徑為R，則，，所以，解得．側(cè)面旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為．故選：B.7.為了抒寫(xiě)鄉(xiāng)村發(fā)展故事、展望鄉(xiāng)村振興圖景、演繹民眾身邊日常、唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈、歌曲、戲曲、小品、器樂(lè)、非遺展演六個(gè)節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂(lè)節(jié)目前面演出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)器樂(lè)在第三個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；當(dāng)器樂(lè)在第四個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；當(dāng)器樂(lè)在第五個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；當(dāng)器樂(lè)在第六個(gè)位置演出時(shí)，共有種不同的演出順序；所以共有種不同的演出順序，則所求概率為．故選：A8.已知且，若函數(shù)與在區(qū)間上都單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時(shí)，有，得，不成立舍去；當(dāng)時(shí)，有l(wèi)n(a+2)>0，則顯然成立，故.又在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時(shí)恒成立，所以在時(shí)恒成立，因?yàn)椋瑒t有，即，則得，即，解得或，又，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.有一組樣本數(shù)據(jù)a，b，c，d，其中，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)為，，，，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等 B.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等 D.兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等【答案】BC【解析】對(duì)于A，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為5，4，2，1，極差為，則新樣本數(shù)據(jù)為3，2，4，3，極差為，兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以?xún)山M數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，故B正確；對(duì)于C，由A中的數(shù)據(jù)可知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為4，3，2，1，則新樣本數(shù)據(jù)為2，1，4，3，這兩組數(shù)據(jù)一樣，故方差可能相等，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.已知，分別是雙曲線(xiàn)（）的左、右焦點(diǎn)，斜率為且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交C的右支于A，B兩點(diǎn)，A在第一象限，且，則（）A.點(diǎn)到C的漸近線(xiàn)的距離為 B.C.C的離心率為2D.分別以，為直徑的圓的公共弦長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A,C，連接，由題意得，故，，由于，所以，又，故，設(shè)（），在中，由余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去），故離心率為2，即，漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)到C的漸近線(xiàn)的距離為，故A，C正確；對(duì)于B，設(shè)（），則，,在中，由余弦定理可得，解得，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易知分別以，為直徑的圓的公共弦為，且，故D正確．故選：ACD.11.塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號(hào)處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域經(jīng)常用到．常見(jiàn)的塌縮函數(shù)有，，設(shè)的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.方程的所有實(shí)根之和為1D.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以在上為增函數(shù)，且的值域?yàn)?，又，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，由B可知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以?xún)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則方程的所有實(shí)根之和為0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知為增函數(shù)，且，即，則，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線(xiàn)與底面所成的角為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，母線(xiàn)與底面所成的角為．由題可知，則，所以，．故答案為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，且，，，則________．【答案】【解析】由面積相等，可得，即，化簡(jiǎn)得，又，∴．由余弦定理可得，所以.故答案為：14.記表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，，則數(shù)列的前101項(xiàng)和為_(kāi)_______．【答案】10101【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，則，當(dāng)時(shí)，，故，又對(duì)于，都有，故，所以，故當(dāng)時(shí)，，又，所以的前101項(xiàng)和為．故答案為：10101四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列的首項(xiàng)為9，且是公比為2的等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）探究的單調(diào)性，并求其最值．解：（1）設(shè)的公差為d．由題可得，解得，所以，即的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可得，故，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，且有最小值，為，無(wú)最大值．16.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響．（1）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；（2）設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為．（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P所以．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍．（1）證明：要證，即證．當(dāng)時(shí)，，所以，可以考慮證明，令，，則，易知在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，，即，因此，當(dāng)時(shí)，．（2）解：由題可知，則．若，當(dāng)時(shí)，，，∴，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，不符合題意，舍去．若，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，∴在區(qū)間有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18.已知橢圓（）的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求C的方程．（2）若C上的兩點(diǎn)滿(mǎn)足，則稱(chēng)點(diǎn)為C上的一對(duì)伴點(diǎn)，設(shè)A為C上位于第一象限的一點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1．（?。┳C明：點(diǎn)AC上共有兩個(gè)伴點(diǎn)；（ⅱ）設(shè)（?。┲械膬蓚€(gè)伴點(diǎn)分別為G，H，若斜率為的動(dòng)直線(xiàn)l與C交于點(diǎn)M，N，點(diǎn)G，H，M，N組成四邊形，求四邊形的面積的最大值．解：（1）設(shè)C的半焦距為c（）．由題可知解得所以C的方程為．（2）（ⅰ）由題可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為．設(shè)點(diǎn)A在C上的