2025屆河南省名校聯(lián)盟高三階段性測試（六）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省名校聯(lián)盟2025屆高三階段性測試（六）數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.橢圓的焦距為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】由題意得，，故，∴橢圓的焦距為2.故選：B.2.已知某正四棱臺的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺的體積為（）A.12 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】.故選：B.3.若成等比數(shù)列，則（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】根據(jù)等比中項的概念可得，.故選：C.4.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的最小正周期為.故選：A5.已知集合，若且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題可知且解得.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知，故.故選：D7.已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，則這7名同學(xué)獲獎的名次情況共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】甲、乙、丙中選兩人占前兩名，有種情況，其余五名可任意排列，故所有的情況有種.故選：C.8.已知，且，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如圖所示：由題意得.設(shè)，則作點關(guān)于直線的對稱點，連接.由題可知，則，在中，由余弦定理可得；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號.故選：D二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，當(dāng)時，，得，得，即，故A正確；對于B，令，可知，故B錯誤；對于C，令，可知，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD10.已知正方體的棱長為，點在底面上（含邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點的軌跡的長度為B.直線與平面所成角的正切值最大為C.平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為D.若動點在線段上，為的中點，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，根據(jù)正方體性質(zhì)可得，可知，故點的軌跡是以為圓心，1為半徑的四分之一圓，如下圖所示：則其軌跡的長度為，故A正確；對于B，易知當(dāng)點位于棱上時，直線與平面所成的角最大，此時，即直線與平面所成角的正切值最大為，故B錯誤；對于C，易知內(nèi)切球的半徑為，球心位于正方體的中心，其到平面的距離為，易知，，點平面的距離為；可得球心到平面的距離為，故截面圓的半徑滿足，則所得截面的面積為，故C正確；對于D，如下圖：先固定點，當(dāng)點在上時，最小，再讓點移動，當(dāng)三點共線時，最小，此時，故D正確.故選：ACD11.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，點在上，點，點在直線上，則下列說法正確的是（）附：雙曲線在其上一點處的切線方程為.A.B.C.作于點，則（為坐標(biāo)原點）D.若的延長線交于點，則的內(nèi)心在定直線上【答案】BCD【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為.根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在第一象限.對于A，由題意得，，，解得，故，，A錯誤.對于B，由題可知雙曲線右頂點坐標(biāo)為，故，則，∴直線的斜率存在，∵點在直線上，∴，∴，則，∵，∴，故，解得，故B正確.對于C，由題意得，點處的切線方程為，切線斜率為，∵，故直線與雙曲線相切，是切點.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，雙曲線上任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，則平分，延長，與的延長線交于點，連接，則為等腰三角形，，∵為的中點，為的中點，∴，故C正確.對于D，記的內(nèi)心為，則是的平分線，是的平分線，由選項C可得，直線是雙曲線的切線，切點分別為點，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩式，解得，由得，，設(shè)直線，則式可化為，即點在定直線上，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.統(tǒng)計學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，簡稱為原則.假設(shè)某廠生產(chǎn)的包裝盒的厚度（單位：），某天檢測員隨機抽取了一個包裝盒，測得其厚度不小于16，他立即判斷生產(chǎn)出現(xiàn)了異常，由此可知的最大值為__________.【答案】2【解析】由題可知，解得，故的最大值為2.故答案為：213.已知函數(shù)，若函數(shù)至少有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為，作出的大致圖象如圖所示，則至少有2個零點等價于直線與的圖象至少有2個交點，由圖可知，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.已知某種長方體花崗巖的規(guī)格為（其中第個數(shù)分別為長、寬、高，且長寬高），若從長方體某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取一次共可得到三種不同規(guī)格的長方體，按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則第3次截取后得到的不同規(guī)格的長方體的種數(shù)__________，在上述種不同規(guī)格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于的概率為__________.【答案】①.8②.【解析】列表如下，重復(fù)的去掉.原始狀態(tài)第1次截取第2次截取，第3次截取，由表可知，第3次截取后得到的不同規(guī)格的長方體的種數(shù).在上述8種不可規(guī)格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于10cm的有共3種，故所求概率為.故答案為：8，四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某景區(qū)試賣一款紀(jì)念品，現(xiàn)統(tǒng)計了該款紀(jì)念品的定價（單位：元）與銷量（單位：百件）的對應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）求該紀(jì)念品定價的平均值和銷量的平均值；（2）計算與的相關(guān)系數(shù)；（3）由（2）的計算結(jié)果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：相關(guān)系數(shù).解：（1）由題可知，；（2）計算得，故；（3）由（2）可知，與的相關(guān)系數(shù)的絕對值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，說明與的線性相關(guān)性很強，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：在上單調(diào)遞增.解：（1）由題可知，則，又，故所求切線方程為.（2）由（1）知，，因為，所以設(shè)，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增.17.已知數(shù)列的各項均不為0，其前項和為，且.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）令，可得，∵，∴，∵，∴.（2）由題意得，.當(dāng)時，，∴，即，∴，∵，∴，∴數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項均成公差為2的等差數(shù)列，∴，∴.當(dāng)時，，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴.18.已知拋物線為上一點.（1）證明：以點為圓心且過點的圓與的準(zhǔn)線相切.（2）若動直線與相交于兩點，點滿足（為坐標(biāo)原點），且直線的斜率之和為.（i）求方程；（ii）過點作的切線，若，求的面積的最小值.（1）證明：由題可知點為的焦點，設(shè)為點，拋物線的準(zhǔn)線方程為.∵為上一點，∴由拋物線的定義得等于點到的準(zhǔn)線的距離，∴以為圓心且過點的圓與的準(zhǔn)線相切.（2）解：設(shè).（i）當(dāng)時，點關(guān)于軸對稱，點，直線關(guān)于軸對稱，成立.當(dāng)時，由得，直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入，可得，則.聯(lián)立直線與的方程，可得，∴.∵，∴，化簡可得，則，由得，，由得，故的方程為.（ii）設(shè)直線，與的方程聯(lián)立，可得，由，得，由得，，故點.設(shè)的中點為，∵，∴，故.∵，∴三點共線，且為線段的中點，∴的面積為的面積的，由為的中點得，的面積為的面積的，∴的面積為的面積的.∵，∴.∵點到直線的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的面積的最小值為.19.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，點分別在軸上（點異于點），且.（1）當(dāng)（表示面積）取得最大值時，求點到平面的距離.（2）若，動點在線段上（含端點），探究：是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（3）記平面與平面、平面、平面的夾角分別為，比較與1的大小關(guān)系，并說明理由.解：（1）不妨設(shè)，則且，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，取得最大值，此時.記點到平面的距離為.因為，又，所以，解得.所以，點到平面的距離為.（2）由題可知，故.設(shè)，則.設(shè)為平面的法向量，則即可取.記直線與平面所成的角為，則，解得，則.所以,存在線段的中點滿足題意，此時.（3）結(jié)論：.下面給出證明：同（1）設(shè)的長度分別為，則.顯然平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則可取，所以，同理得，故有.要證.，即證①.事實上，有，化簡得，則①式得證，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，命題得證.河南省名校聯(lián)盟2025屆高三階段性測試（六）數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.橢圓的焦距為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】由題意得，，故，∴橢圓的焦距為2.故選：B.2.已知某正四棱臺的上、下底面面積分別為1，16，高為2，則該正四棱臺的體積為（）A.12 B.14 C.15 D.16【答案】B【解析】.故選：B.3.若成等比數(shù)列，則（）A.4 B.6 C.9 D.12【答案】C【解析】根據(jù)等比中項的概念可得，.故選：C.4.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的最小正周期為.故選：A5.已知集合，若且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題可知且解得.故選：C.6.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題可知，故.故選：D7.已知某校包含甲、乙、丙在內(nèi)的7名同學(xué)參加了某次數(shù)學(xué)競賽，并包攬了前7名（排名無并列），若甲、乙、丙中的兩人占據(jù)前兩名，則這7名同學(xué)獲獎的名次情況共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】甲、乙、丙中選兩人占前兩名，有種情況，其余五名可任意排列，故所有的情況有種.故選：C.8.已知，且，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】如圖所示：由題意得.設(shè)，則作點關(guān)于直線的對稱點，連接.由題可知，則，在中，由余弦定理可得；所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號.故選：D二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.【答案】AD【解析】對于A，設(shè)，當(dāng)時，，得，得，即，故A正確；對于B，令，可知，故B錯誤；對于C，令，可知，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：AD10.已知正方體的棱長為，點在底面上（含邊界），且，則下列說法正確的是（）A.點的軌跡的長度為B.直線與平面所成角的正切值最大為C.平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面的面積為D.若動點在線段上，為的中點，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A，根據(jù)正方體性質(zhì)可得，可知，故點的軌跡是以為圓心，1為半徑的四分之一圓，如下圖所示：則其軌跡的長度為，故A正確；對于B，易知當(dāng)點位于棱上時，直線與平面所成的角最大，此時，即直線與平面所成角的正切值最大為，故B錯誤；對于C，易知內(nèi)切球的半徑為，球心位于正方體的中心，其到平面的距離為，易知，，點平面的距離為；可得球心到平面的距離為，故截面圓的半徑滿足，則所得截面的面積為，故C正確；對于D，如下圖：先固定點，當(dāng)點在上時，最小，再讓點移動，當(dāng)三點共線時，最小，此時，故D正確.故選：ACD11.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，點在上，點，點在直線上，則下列說法正確的是（）附：雙曲線在其上一點處的切線方程為.A.B.C.作于點，則（為坐標(biāo)原點）D.若的延長線交于點，則的內(nèi)心在定直線上【答案】BCD【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為.根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在第一象限.對于A，由題意得，，，解得，故，，A錯誤.對于B，由題可知雙曲線右頂點坐標(biāo)為，故，則，∴直線的斜率存在，∵點在直線上，∴，∴，則，∵，∴，故，解得，故B正確.對于C，由題意得，點處的切線方程為，切線斜率為，∵，故直線與雙曲線相切，是切點.由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，雙曲線上任意一點處的切線平分該點與兩焦點連線的夾角，則平分，延長，與的延長線交于點，連接，則為等腰三角形，，∵為的中點，為的中點，∴，故C正確.對于D，記的內(nèi)心為，則是的平分線，是的平分線，由選項C可得，直線是雙曲線的切線，切點分別為點，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩式，解得，由得，，設(shè)直線，則式可化為，即點在定直線上，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.統(tǒng)計學(xué)中通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機變量只取中的值，簡稱為原則.假設(shè)某廠生產(chǎn)的包裝盒的厚度（單位：），某天檢測員隨機抽取了一個包裝盒，測得其厚度不小于16，他立即判斷生產(chǎn)出現(xiàn)了異常，由此可知的最大值為__________.【答案】2【解析】由題可知，解得，故的最大值為2.故答案為：213.已知函數(shù)，若函數(shù)至少有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為，作出的大致圖象如圖所示，則至少有2個零點等價于直線與的圖象至少有2個交點，由圖可知，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.已知某種長方體花崗巖的規(guī)格為（其中第個數(shù)分別為長、寬、高，且長寬高），若從長方體某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取一次共可得到三種不同規(guī)格的長方體，按照上述方式對第1次所截得的長方體進(jìn)行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進(jìn)行第3次截取，則第3次截取后得到的不同規(guī)格的長方體的種數(shù)__________，在上述種不同規(guī)格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于的概率為__________.【答案】①.8②.【解析】列表如下，重復(fù)的去掉.原始狀態(tài)第1次截取第2次截取，第3次截取，由表可知，第3次截取后得到的不同規(guī)格的長方體的種數(shù).在上述8種不可規(guī)格的長方體中任取1種，該種長方體的長與寬之差小于10cm的有共3種，故所求概率為.故答案為：8，四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某景區(qū)試賣一款紀(jì)念品，現(xiàn)統(tǒng)計了該款紀(jì)念品的定價（單位：元）與銷量（單位：百件）的對應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示：1212.51313.51414131198（1）求該紀(jì)念品定價的平均值和銷量的平均值；（2）計算與的相關(guān)系數(shù)；（3）由（2）的計算結(jié)果，判斷能否用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：.參考公式：相關(guān)系數(shù).解：（1）由題可知，；（2）計算得，故；（3）由（2）可知，與的相關(guān)系數(shù)的絕對值近似為0.992，大于0.75且非常接近1，說明與的線性相關(guān)性很強，從而可以用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系.16.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：在上單調(diào)遞增.解：（1）由題可知，則，又，故所求切線方程為.（2）由（1）知，，因為，所以設(shè)，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增.17.已知數(shù)列的各項均不為0，其前項和為，且.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）令，可得，∵，∴，∵，∴.（2）由題意得，.當(dāng)時，，∴，即，∴，∵，∴，∴數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項均成公差為2的等差數(shù)列，∴，∴.當(dāng)時，，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴.18.已知拋物線為上一點.（1）證明：以點為圓心且過點的圓與的準(zhǔn)線相切.（2