2025屆河南省信陽市等五市高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省信陽市等五市2025屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槿?，，，則，，，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.3.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且與的等差中項(xiàng)為4，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)為4，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為，所以.故選：B.4.若，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，則，即，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.5.已知角和的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，由題意可知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，所以，所以由，可得：，所以，，，其中，所以，即，所以，所以，故選：D6.已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】易知的圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，又，由可看作向右平移兩個(gè)單位得到，所以的圖象也關(guān)于對(duì)稱，由于函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，即方程只有一根，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱，所以方程的根為2，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故選：C7.某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”可分為甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)，方法數(shù)為，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”，即“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，方法數(shù)為，因此所求概率為．故選：A．8.將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中不正確的是（）A. B.C.橢圓的離心率為 D.是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)【答案】C【解析】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)在該橢圓上，則其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理可得其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，所以關(guān)于直線，所以，故A正確；將代入，可得，所以，所以橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為，所以，故B正確；將將代入，可得，所以，所以橢圓短軸的頂點(diǎn)為，所以，所以，所以，故C不正確；焦點(diǎn)在，結(jié)合，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)分析中，分別采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取班的一組數(shù)據(jù)：，，，，，和班的一組數(shù)據(jù)：，，，進(jìn)行分析.經(jīng)計(jì)算，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，方差分別為，.將兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A.平均數(shù)為85 B.平均數(shù)為86 C.方差為28 D.方差為52【答案】BD【解析】，故選：BD10.對(duì)于給定數(shù)列，如果存在常數(shù)p，q使得對(duì)于任意都成立，我們稱數(shù)列是“數(shù)列”.下列說法正確的有（）A.若，，則數(shù)列是“數(shù)列”B.共，，則數(shù)列“數(shù)列”C.若數(shù)列是“數(shù)列”，則數(shù)列不是“H數(shù)列”D.若數(shù)列滿足，，t為常數(shù)，則數(shù)列前2024項(xiàng)的和為【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，有，則，，故數(shù)列是“數(shù)列”，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，有，則，，故數(shù)列是“數(shù)列”，故B正確；對(duì)于C，若數(shù)列是“數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q使得對(duì)于任意都成立，顯然對(duì)于任意都成立，因此對(duì)于任意都成立，故數(shù)列數(shù)列也是“H數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，，，，所以數(shù)列前2024項(xiàng)的和為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他曾經(jīng)定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點(diǎn)的切線交于P點(diǎn).關(guān)于阿基米德三角形PAB的說法正確的有（）A.若過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B.若為正三角形，則其面積為C.若，則的面積的最小值為D.一般情況下，的面積【答案】ABC【解析】由題意可知：直線一定存在斜率，所以設(shè)直線的方程為：，由題意可知：點(diǎn)，不妨設(shè)，由，所以直線切線的方程分別為：，兩方程聯(lián)立得：，解得：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得：.對(duì)于A：拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^拋物線的焦點(diǎn)，所以，而，顯然點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切?，所以有，則，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得：，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切?，所以有，所以，因此正三角形的邊長(zhǎng)為，所以正三角形的面積為，故B正確；對(duì)于C：阿基米德三角形為直角三角形，當(dāng)時(shí)，所以，即，化簡(jiǎn)得，直線的方程為：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為：，又，因?yàn)?，所以，因此直角的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以其面積有最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，點(diǎn)到直線的距離為：，所以阿基米德三角形的面積為，故D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】由題意的展開式的通項(xiàng)為，令，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：6013.已知三棱錐，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____.【答案】【解析】在中，已知，，，根據(jù)余弦定理可得：設(shè)外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理，可得：，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上的射影是的外心，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則平面，且，，.又因?yàn)?，即，展開可得：，移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得，解得.根據(jù)球的表面積公式，可得：.故答案為：.14.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，可知，，由，可得，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故只需即可，故，令，求?dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，求的面積的最大值.解:（1），由正弦定理可得，，..，；（2）（方法一）在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)..即的面積的最大值為（方法二）由正弦定理得，，則面積.因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)，取得最大值所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即的面積的最大值為16.2025年春節(jié)假期，文旅市場(chǎng)火爆.文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示；春節(jié)假期8天，全國(guó)國(guó)內(nèi)出游5.01億人次，同比增長(zhǎng)5.9%；國(guó)內(nèi)出游總花費(fèi)6770.02億元，同比增長(zhǎng)7.0%.某景區(qū)的某網(wǎng)紅飲品小店統(tǒng)計(jì)了春節(jié)假期前7天的營(yíng)業(yè)額（單位：千元），得到與的數(shù)據(jù)如表所示：第天1234567營(yíng)業(yè)額791012161911（1）已知與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)春節(jié)假期第8天的營(yíng)業(yè)額；（2）如果該天營(yíng)業(yè)額大于10（單位：千元），則該天“達(dá)標(biāo)”，從表格中的7組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選4組，設(shè)表示“達(dá)標(biāo)”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：在線性回歸方程中，，.解:（1），.，線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，.即預(yù)測(cè)春節(jié)假期第8天的營(yíng)業(yè)額為千元.（2）由題意可知的所有可能取值為：1，2，3，4.，，，的分布列為1234的數(shù)學(xué)期望為17.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，，.（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：法一：以為原點(diǎn)，，，，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由為線段的中點(diǎn)，可得，.由題意可得為平面的一個(gè)法向量.，且平面，平面法二：取、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，為的中位線，，.，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，又面，面平面（2）解：法一：，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則法二：，，底面，，.，設(shè)點(diǎn)到平面距離為，則由可得：，解得：（3）解：設(shè)平面與平面夾角為，由題意可知，為銳角，即平面與平面夾角的正弦值為.法二：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接.底面為直角梯形，，，為的中位線..又底面，，為等腰直角三角形，其中.同理可證：.為平面與平面所成二面角的平面角.在中，，，，.即平面與平面夾角的正弦值為.18.已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，記點(diǎn)的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)M，N.（1）求曲線的方程；（2）若以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).①求證：直線過定點(diǎn)，并求出的坐標(biāo)；②求三角形面積最大值.解：（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足直線和直線的斜率乘積為，，即即，.曲線的方程為，且.（2）①設(shè)點(diǎn)、，若軸，則且，，，此時(shí)，，不合題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，則，整理可得，解得.直線的方程為，∴直線過定點(diǎn).②直線的方程為.點(diǎn)到直線的方程為，，令，則，因?yàn)闀r(shí)，故當(dāng)時(shí)，取最大值.19.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得：；由，解得：.在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.（2）要使恒成立，只需恒成立.由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，只需，即在時(shí)恒成立.記，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；，，只有符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，解得：.已知，不妨設(shè)，則有.單調(diào)遞增，要證，只需.，只需證即證，由單調(diào)性可知，，在上單調(diào)遞減，即證.方法一：，即證.令，其中.，單調(diào)遞增，又，，即.成立...方法二：，即證.而，由得，，且，.令，則，在上單調(diào)遞減，，，，可得，，，，即，又在上單調(diào)遞減，.河南省信陽市等五市2025屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槿?，，，則，，，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.3.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，且與的等差中項(xiàng)為4，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)為4，所以，又，所以，所以，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為，所以.故選：B.4.若，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，則，即，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D.5.已知角和的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，由題意可知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，所以，所以由，可得：，所以，，，其中，所以，即，所以，所以，故選：D6.已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】易知的圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，又，由可看作向右平移兩個(gè)單位得到，所以的圖象也關(guān)于對(duì)稱，由于函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，即方程只有一根，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱，所以方程的根為2，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故選：C7.某次跳水比賽甲、乙、丙、丁、戊5名跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入跳水比賽決賽，現(xiàn)采用抽簽法決定決賽跳水順序，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”可分為甲最后一個(gè)出場(chǎng)或甲在中間出場(chǎng)，方法數(shù)為，在“運(yùn)動(dòng)員甲不是第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下，“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)”，即“運(yùn)動(dòng)員丙第一個(gè)出場(chǎng)，運(yùn)動(dòng)員乙不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，方法數(shù)為，因此所求概率為．故選：A．8.將橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中不正確的是（）A. B.C.橢圓的離心率為 D.是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)【答案】C【解析】橢圓上所有的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，設(shè)點(diǎn)在該橢圓上，則其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，同理可得其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)代入橢圓方程有，即，則該對(duì)稱點(diǎn)位于橢圓方程上，所以關(guān)于直線，所以，故A正確；將代入，可得，所以，所以橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為，所以，故B正確；將將代入，可得，所以，所以橢圓短軸的頂點(diǎn)為，所以，所以，所以，故C不正確；焦點(diǎn)在，結(jié)合，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)分析中，分別采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方式抽取班的一組數(shù)據(jù)：，，，，，和班的一組數(shù)據(jù)：，，，進(jìn)行分析.經(jīng)計(jì)算，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，方差分別為，.將兩組數(shù)據(jù)合并為一組數(shù)據(jù)，則這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A.平均數(shù)為85 B.平均數(shù)為86 C.方差為28 D.方差為52【答案】BD【解析】，故選：BD10.對(duì)于給定數(shù)列，如果存在常數(shù)p，q使得對(duì)于任意都成立，我們稱數(shù)列是“數(shù)列”.下列說法正確的有（）A.若，，則數(shù)列是“數(shù)列”B.共，，則數(shù)列“數(shù)列”C.若數(shù)列是“數(shù)列”，則數(shù)列不是“H數(shù)列”D.若數(shù)列滿足，，t為常數(shù)，則數(shù)列前2024項(xiàng)的和為【答案】AB【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，有，則，，故數(shù)列是“數(shù)列”，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，有，則，，故數(shù)列是“數(shù)列”，故B正確；對(duì)于C，若數(shù)列是“數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)p，q使得對(duì)于任意都成立，顯然對(duì)于任意都成立，因此對(duì)于任意都成立，故數(shù)列數(shù)列也是“H數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，，，，所以數(shù)列前2024項(xiàng)的和為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他曾經(jīng)定義了拋物線阿基米德三角形：拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線圍成的三角形稱為拋物線阿基米德三角形.設(shè)拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為，，以A，B為切點(diǎn)的切線交于P點(diǎn).關(guān)于阿基米德三角形PAB的說法正確的有（）A.若過拋物線的焦點(diǎn)，則點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上B.若為正三角形，則其面積為C.若，則的面積的最小值為D.一般情況下，的面積【答案】ABC【解析】由題意可知：直線一定存在斜率，所以設(shè)直線的方程為：，由題意可知：點(diǎn)，不妨設(shè)，由，所以直線切線的方程分別為：，兩方程聯(lián)立得：，解得：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得：.對(duì)于A：拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)檫^拋物線的焦點(diǎn)，所以，而，顯然點(diǎn)一定在拋物線的準(zhǔn)線上，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切危杂?，則，因?yàn)?，所以化?jiǎn)得：，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)榘⒒椎氯切螢檎切?，所以有，所以，因此正三角形的邊長(zhǎng)為，所以正三角形的面積為，故B正確；對(duì)于C：阿基米德三角形為直角三角形，當(dāng)時(shí)，所以，即，化簡(jiǎn)得，直線的方程為：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到直線的距離為：，又，因?yàn)椋?，因此直角的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以其面積有最小值，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，點(diǎn)到直線的距離為：，所以阿基米德三角形的面積為，故D不正確.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】由題意的展開式的通項(xiàng)為，令，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：6013.已知三棱錐，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____.【答案】【解析】在中，已知，，，根據(jù)余弦定理可得：設(shè)外接圓的半徑為，根據(jù)正弦定理，可得：，則.因?yàn)?，所以點(diǎn)在平面上的射影是的外心，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則平面，且，，.又因?yàn)?，即，展開可得：，移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得，解得.根據(jù)球的表面積公式，可得：.故答案為：.14.若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，可知，，由，可得，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故只需即可，故，令，求?dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本大題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，求的面積的最大值.解:（1），由正弦定理可得，，..，；（2）（方法一）在中，由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)..即的面積的最大值為（方法二）由正弦定理得，，則面積.因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)，取得最大值所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即的面積的最大值為16.2025年春節(jié)假期，文旅市場(chǎng)火爆.文化和旅游部公布的數(shù)據(jù)顯示；春節(jié)假期8天，全國(guó)國(guó)內(nèi)出游5.01億人次，同比增長(zhǎng)5.9%；國(guó)內(nèi)出游總花費(fèi)6770.02億元，同比增長(zhǎng)7.0%.某景區(qū)的某網(wǎng)紅飲品小店統(tǒng)計(jì)了春節(jié)假期前7天的營(yíng)業(yè)額（單位：千元），得到與的數(shù)據(jù)如表所示：第天1234567營(yíng)業(yè)額791012161911（1）已知與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)春節(jié)假期第8天的營(yíng)業(yè)額；（2）如果該天營(yíng)業(yè)額大于10（單位：千元），則該天“達(dá)標(biāo)”，從表格中的7組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選4組，設(shè)表示“達(dá)標(biāo)”的數(shù)據(jù)組數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：在線性回歸方程中，，.解:（1），.，線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，.即預(yù)測(cè)春節(jié)假期第8天的營(yíng)業(yè)額為千元.（2）由題意可知的所有可能取值為：1，2，3，4.，，，的分布列為1234的數(shù)學(xué)期望為17.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，底面ABCD，，.（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面.（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求平面與平面夾角的正弦值.（1）證明：法一：以為原點(diǎn)，，，，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由為線段的中點(diǎn)，可得，.由題意可得為平面的一個(gè)法向量.，且平面，平面法二：取、的中點(diǎn)分別為、，連接、、，為的中位線，，.，，，，，，，，四邊形為平行四邊形，又面，面平面（2）解：法一：，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，不妨設(shè)，則.