2025屆湖北省鄂州市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省鄂州市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.橢圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，則橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，解得，，則，因此，橢圓的焦距為.故選：D2.已知全集，，，則可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，，，則、，且，，且.故選：B.3.將函數(shù)向右平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋瑢⒃摵瘮?shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則，且有，則，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取最小值.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則.故選：A.5.隨著春節(jié)申遺成功，世界對(duì)中國文化的理解和認(rèn)同進(jìn)一步加深，某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)春節(jié)習(xí)俗的認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行了測試，將他們的成績適當(dāng)分組后，畫出的頻率分布直方圖如下圖所示，則下列數(shù)據(jù)一定不位于區(qū)間內(nèi)的是（）A.眾數(shù) B.第70百分位數(shù) C.中位數(shù) D.平均數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，眾數(shù)為；對(duì)于BC，，設(shè)中位數(shù)、第70百分位數(shù)分別為，注意到，設(shè)，解得；對(duì)于D，設(shè)平均數(shù)為，則故選：B.6.已知復(fù)數(shù)，若，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即，如下圖所示：圓圓心為，半徑為，聯(lián)立可得或，所以，直線交圓于原點(diǎn)、，易知軸，則，則圖中陰影部分區(qū)域（即弓形區(qū)域）的面積為，由題意可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)位于陰影部分區(qū)域，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為.故選：A.7.已知函數(shù)，若，，，均有，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，若，，，均有，則，可得，令，則，由題意可知，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，所以，的最大值為.故選：D.8.在三棱錐中，，，，，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將三棱錐放于平行六面體中，則，又，，則，.又四邊形，四邊形為平行四邊形，則四邊形，四邊形為菱形.則.注意到，又，則，設(shè)PH與底面HBGC夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線仍為一個(gè)函數(shù)的圖象的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】利用運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)自變量x，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線，如果仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，則曲線與任意一條垂直于x軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與任一斜率為1的直線都最多只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，對(duì)于A，的圖象與直線都只有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，所以的圖象，在點(diǎn)處的切線方程為，的圖象與直線都最多只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，的圖象與直線都只有一個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)5個(gè)正實(shí)數(shù)組成公差大于0的等差數(shù)列，記其首項(xiàng)為a，公差為d，且這5個(gè)數(shù)中有3個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，則的值可能為（）A B. C.1 D.2【答案】BC【解析】由題意知等差數(shù)列的5個(gè)正實(shí)數(shù)為，若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；綜上，或，故選：BC.11.已知非零平面向量，，，滿足：，，且，記，，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】由已知條件可繪制如圖所示得圖形，為中點(diǎn)，，，，不妨設(shè)，，，或，可統(tǒng)一寫為，即有實(shí)數(shù)根，判別式大于等于0，通過代入和化簡，得到關(guān)于的四次方程：,解得的取值范圍為，的最小值為，最大值為，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A和B正確;同理得

的取值范圍是，

通過以上分析，可以推導(dǎo)出

的取值范圍為：，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足，，則________.【答案】或【解析】因?yàn)檎麛?shù)數(shù)列滿足①，，則，則，所以，或，由題意可得②，由①②可得，所以，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，因?yàn)?，故?故答案：或.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，而當(dāng)時(shí)，，則，所以a的取值范圍為.故答案為：14.一個(gè)被染滿顏料的螞蚱從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始跳動(dòng)，每次跳躍有等可能的概率向左或向右跳動(dòng)1個(gè)單位長度，螞蚱所在的點(diǎn)會(huì)留下顏色，則螞蚱跳動(dòng)4次后染上顏色的點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)X的期望________.【答案】【解析】螞蚱跳動(dòng)4次后染上顏色的點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)X的可能取值為，表示螞蚱在或者之間來回跳動(dòng)，則；表示螞蚱由向右最遠(yuǎn)跳到，可以為“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共種，由對(duì)稱性知由向左最遠(yuǎn)跳到，也有種，由向左最遠(yuǎn)跳到，最右跳到，可能為“左右右左”，“右左左右”有種，故一共有種，則；表示螞蚱跳動(dòng)為“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共種，則；表示螞蚱跳動(dòng)為“右右右右”，“左左左左”，共種，則；則，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角、、對(duì)邊分別為、、，且.（1）若，求；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)椋?，則，由可得，即，，因?yàn)?，則，解得，故，則.（2）因?yàn)?，所?所以由正弦定理得：，由余弦定理知，解得.因?yàn)?，?16.如圖，棱長為的正方體中，平面與直線交于點(diǎn).（1）證明：為的重心；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱錐外接球的體積.（1）證明：連接、、、，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?，，同理可得，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?、、平面，則，，，因?yàn)?，則，即，則為的外心，易知為等邊三角形，故為的重心.（2）解：以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以、、、、.因?yàn)闉榈闹匦?，故，所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取可得，易知平面的一個(gè)法向量為.所以.因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.（3）解：設(shè)球心為，由，可得，解得，即球心為，所以三棱錐的球心為線段中點(diǎn)，且外接球半徑為.故其外接球體積為.17.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：因?yàn)椋瑒t，由于，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或（舍），故.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)不等式成立.下面證明時(shí)的情況，設(shè)，滿足，則原不等式等價(jià)于.考慮到三次函數(shù)圖象極值點(diǎn)附近的非對(duì)稱性：令，則，故在上單調(diào)遞減，.，故只需證，令，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.所以，故原不等式得證.18.已知拋物線，點(diǎn)P是W上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過P作W的切線交y軸于點(diǎn)Q.過原點(diǎn)O作PQ的平行線交W于點(diǎn)A，過A作OP的平行線交W于點(diǎn)B，BP交OA于點(diǎn)N.（1）求的最大值；（2）證明：直線QN經(jīng)過AB的中點(diǎn)；（3）若OQAB四點(diǎn)共圓，求P點(diǎn)的坐標(biāo).（1）解：記原點(diǎn)為O點(diǎn)，不妨設(shè)，由于，則.所以可得過P點(diǎn)的切線的方程為.又因?yàn)椋视汸點(diǎn)在x軸上投影為點(diǎn)C，在y軸上的投影為點(diǎn)M，記，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故的最大值為.（2）解：由（1），，所以直線OA的方程為：.令直線OA與拋物線聯(lián)立知，，則.直線AB的方程為：，與拋物線聯(lián)立知，則.所以P，B關(guān)于x軸對(duì)稱，即軸.所以，所以直線方程為，與直線AB的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)，可得為AB中點(diǎn)，所以QN平分AB.（3）解：設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)D，由（2）知，且，所以BP平分.因?yàn)?，轉(zhuǎn)化比例得，.由于OQAB共圓，所以.設(shè)，，，代入上式得：.所以.故P點(diǎn)坐標(biāo)為.19.集合A為實(shí)數(shù)構(gòu)成的有限集，記為集合A的元素個(gè)數(shù)，為集合A中所有元素之和，若對(duì)于集合，存在兩兩互不相交的集合，，，，使得，且，，則稱集合為X的一個(gè)k分隔.（1）寫出集合的一個(gè)3分隔；（2）證明：存在一個(gè)3分隔；（3）若，求集合存在k分隔的概率.（1）解：記，，，則為集合X的一個(gè)3分隔.（2）證明：取經(jīng)檢驗(yàn)，為集合X的一個(gè)3分隔，即證.（3）解：要使存在k分隔，必有.一方面，由且知.又因?yàn)闉檎麛?shù)，故k為奇數(shù).另一方面，不妨設(shè)，我們證明此時(shí)存在k分隔.設(shè)，，則.先取第一列：令，，，，為滿足存在k分隔，則，（，2，）.且.注意到一組等式：在這組等式中，第一列是1，2，，的排列，第二列是，，，的排列.第三列中前行為，，，中的奇數(shù)，后行是，，，中的偶數(shù)，合起來是的排列，從而我們可以找到所需的，.即取，，，；，，，.這樣構(gòu)造出的為集合的k分隔.綜上，存在k分隔的充要條件為k為大于1的奇數(shù)，而有1012個(gè)數(shù)符合題意，故集合存在k分隔的概率為.湖北省鄂州市2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.橢圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，則橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，解得，，則，因此，橢圓的焦距為.故選：D2.已知全集，，，則可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，，，則、，且，，且.故選：B.3.將函數(shù)向右平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，將該函?shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，所得的函數(shù)為奇函數(shù)，則，且有，則，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，取最小值.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則.故選：A.5.隨著春節(jié)申遺成功，世界對(duì)中國文化的理解和認(rèn)同進(jìn)一步加深，某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)春節(jié)習(xí)俗的認(rèn)知情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行了測試，將他們的成績適當(dāng)分組后，畫出的頻率分布直方圖如下圖所示，則下列數(shù)據(jù)一定不位于區(qū)間內(nèi)的是（）A.眾數(shù) B.第70百分位數(shù) C.中位數(shù) D.平均數(shù)【答案】B【解析】對(duì)于A，眾數(shù)為；對(duì)于BC，，設(shè)中位數(shù)、第70百分位數(shù)分別為，注意到，設(shè)，解得；對(duì)于D，設(shè)平均數(shù)為，則故選：B.6.已知復(fù)數(shù)，若，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即，如下圖所示：圓圓心為，半徑為，聯(lián)立可得或，所以，直線交圓于原點(diǎn)、，易知軸，則，則圖中陰影部分區(qū)域（即弓形區(qū)域）的面積為，由題意可知，滿足題設(shè)的點(diǎn)位于陰影部分區(qū)域，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為.故選：A.7.已知函數(shù)，若，，，均有，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，若，，，均有，則，可得，令，則，由題意可知，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，所以，的最大值為.故選：D.8.在三棱錐中，，，，，則三棱錐的體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將三棱錐放于平行六面體中，則，又，，則，.又四邊形，四邊形為平行四邊形，則四邊形，四邊形為菱形.則.注意到，又，則，設(shè)PH與底面HBGC夾角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則.故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線仍為一個(gè)函數(shù)的圖象的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】利用運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，可以看作坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)自變量x，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的曲線，如果仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，則曲線與任意一條垂直于x軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與任一斜率為1的直線都最多只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，對(duì)于A，的圖象與直線都只有一個(gè)交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，所以的圖象，在點(diǎn)處的切線方程為，的圖象與直線都最多只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，的圖象與直線都只有一個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)5個(gè)正實(shí)數(shù)組成公差大于0的等差數(shù)列，記其首項(xiàng)為a，公差為d，且這5個(gè)數(shù)中有3個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，則的值可能為（）A B. C.1 D.2【答案】BC【解析】由題意知等差數(shù)列的5個(gè)正實(shí)數(shù)為，若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，即，符合題意；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；若成等比數(shù)列，則，解得，與題意不符；綜上，或，故選：BC.11.已知非零平面向量，，，滿足：，，且，記，，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】ABD【解析】由已知條件可繪制如圖所示得圖形，為中點(diǎn)，，，，不妨設(shè)，，，或，可統(tǒng)一寫為，即有實(shí)數(shù)根，判別式大于等于0，通過代入和化簡，得到關(guān)于的四次方程：,解得的取值范圍為，的最小值為，最大值為，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A和B正確;同理得

的取值范圍是，

通過以上分析，可以推導(dǎo)出

的取值范圍為：，故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足，，則________.【答案】或【解析】因?yàn)檎麛?shù)數(shù)列滿足①，，則，則，所以，或，由題意可得②，由①②可得，所以，數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，因?yàn)?，故?故答案：或.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，而當(dāng)時(shí)，，則，所以a的取值范圍為.故答案為：14.一個(gè)被染滿顏料的螞蚱從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始跳動(dòng)，每次跳躍有等可能的概率向左或向右跳動(dòng)1個(gè)單位長度，螞蚱所在的點(diǎn)會(huì)留下顏色，則螞蚱跳動(dòng)4次后染上顏色的點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)X的期望________.【答案】【解析】螞蚱跳動(dòng)4次后染上顏色的點(diǎn)數(shù)個(gè)數(shù)X的可能取值為，表示螞蚱在或者之間來回跳動(dòng)，則；表示螞蚱由向右最遠(yuǎn)跳到，可以為“右右左左”，“右左右右”，“右右左右”共種，由對(duì)稱性知由向左最遠(yuǎn)跳到，也有種，由向左最遠(yuǎn)跳到，最右跳到，可能為“左右右左”，“右左左右”有種，故一共有種，則；表示螞蚱跳動(dòng)為“右右右左”，“左左左右”，“左右右右”，“右左左左”，共種，則；表示螞蚱跳動(dòng)為“右右右右”，“左左左左”，共種，則；則，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角、、對(duì)邊分別為、、，且.（1）若，求；（2）若，，求的面積.解：（1）因?yàn)?，，則，由可得，即，，因?yàn)椋瑒t，解得，故，則.（2）因?yàn)?，所?所以由正弦定理得：，由余弦定理知，解得.因?yàn)椋?16.如圖，棱長為的正方體中，平面與直線交于點(diǎn).（1）證明：為的重心；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱錐外接球的體積.（1）證明：連接、、、，如下圖所示：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?、平面，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，，同理可得，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，、、平面，則，，，因?yàn)?，則，即，則為的外心，易知為等邊三角形，故為的重心.（2）解：以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.所以、、、、.因?yàn)闉榈闹匦?，故，所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取可得，易知平面的一個(gè)法向量為.所以.因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的余弦值為.（3）解：設(shè)球心為，由，可得，解得，即球心為，所以三棱錐的球心為線段中點(diǎn)，且外接球半徑為.故其外接球體積為.17.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（1）求的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：因?yàn)?，則，由于，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或（舍），故.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)不等式成立.下面證明時(shí)的情況，設(shè)，滿足，則原不等式等價(jià)于.考慮到三次函數(shù)圖象極值點(diǎn)附近的非對(duì)稱性：令，則，故在上單調(diào)遞減，.，故只需證，令，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.所以，故原不等式得證.18.已知拋物線，點(diǎn)P是W上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過P作W