河南省許昌市部分校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析）

高一數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩都分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第二冊(cè)第六章～第八章第3節(jié)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.4 C. D.4i【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的減法及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念求解.【詳解】依題意，，其虛部為.故選：A2.已知，，點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)，，則，于是，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C3.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理得，所以故選：D.4.已知p，，復(fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則的值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，再利用韋達(dá)定理即可得解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，所以復(fù)數(shù)也是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則，所以，所以.故選：C.5.下列說法正確的是（）A.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐B.直角三角形繞一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C.如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐不可能為六棱錐D.用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體是棱臺(tái)【答案】C【解析】【分析】利用棱錐、圓錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征判斷ABD；利用側(cè)棱與其在底面內(nèi)的射影大小關(guān)系推理判斷C；【詳解】對(duì)于A，有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫做棱錐，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是共底面的兩個(gè)圓錐構(gòu)成的組合體，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假定是六棱錐，則該六棱錐的底面是正六邊形，所有側(cè)棱長(zhǎng)相等，各側(cè)棱在底面上的射影都相等，因此該六棱錐是正六棱錐，而正六邊形半徑等于其邊長(zhǎng)，則該六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)等于它在底面內(nèi)的射影，與平面的斜線段大于它在該平面內(nèi)的射影矛盾，從而該棱錐不可能是六棱錐，C正確；對(duì)于D，用一個(gè)與底面平行的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)，D錯(cuò)誤.故選：C6.已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.， C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解.【詳解】由，得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D7.已知點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用向量的減法，數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【詳解】由，得，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，則，即，所以是直角三角形.故選：A8.已知的外接圓的半徑為1，，點(diǎn)G滿足，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)可得點(diǎn)為的重心，根據(jù)，可得，從而可的，再利用正弦定理求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，所以，又為公共點(diǎn)，所以共線，且，所以點(diǎn)為的重心，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理得，所以，所以，所以故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】BCD【解析】【分析】利用基底的定義，逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，，A不可以；對(duì)于B，假定與共線，則，則且，矛盾，向量和不共線，B可以；對(duì)于C，不能由表示出，即向量和不共線，C可以；對(duì)于D，假定與共線，則，則且，矛盾，向量和不共線，D可以.故選：BCD10.已知，為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則為實(shí)數(shù)C. D.若，則【答案】BC【解析】【分析】舉例說明判斷AD；設(shè)出復(fù)數(shù)代數(shù)形式，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算求解判斷BC.【詳解】對(duì)于A，取，滿足，而不全是實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，由，得，則，，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，C正確；對(duì)于D，取，滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：BC11.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.的最小值為C.的最大值為D.若P在線段BC上，且，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】易得及的大小關(guān)系，即可判斷A；易得當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)在上時(shí)，進(jìn)而可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，取得最大值，即可判斷C；設(shè)，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由正八邊形的結(jié)構(gòu)特征可知：，則，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，由正八邊形的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)（不包含兩點(diǎn)），的夾角為銳角，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，則則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上所述，的最小值為，故B正確；對(duì)于C，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，在方向上的投影最大，最大值為，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)z滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等列式求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，則，解得，所以.故選：13.如圖，矩形是水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖，其中，，則原四邊形OABC的面積與周長(zhǎng)的數(shù)值之比為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的直觀圖，作出原四邊形，進(jìn)而求出其面積及周長(zhǎng).【詳解】在矩形，令交軸于點(diǎn)，由，，得為的中點(diǎn)，且，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出原四邊形，且四邊形為平行四邊形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，，，，因此四邊形的周長(zhǎng)為50，面積為，所以四邊形OABC的面積與周長(zhǎng)的數(shù)值之比為.故答案為：14.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則__________，的最小值為__________．【答案】①.3②.##【解析】【分析】利用余弦定理角化邊，再化簡(jiǎn)計(jì)算即得；利用余弦定理將用表示，再利用基本不等式求出最小值.【詳解】在中，由及余弦定理，得，因此；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：3；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)，已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求m的值和；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和純虛數(shù)的定義求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出即可；（2）先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【小問1詳解】,因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以，所以；【小問2詳解】，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.16.已知向量，．（1）求；（2）若向量，且，求m的值；（3）求與垂直的單位向量的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求出，再利用坐標(biāo)求出向量的模.（2）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量共線的坐標(biāo)表示求出值.（3）求出的坐標(biāo)，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示求出一個(gè)向量，結(jié)合單位向量的意義求得答案.【小問1詳解】由向量，，得，所以.【小問2詳解】向量，則，由，得，解得，所以m的值為.【小問3詳解】，設(shè)與垂直的向量，則，取，得，則，與向量共線的單位向量為，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)或.17.（1）已知正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和6，高為3，求該正四棱臺(tái)的體積；（2）已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求該圓錐的底面直徑；（3）已知棱長(zhǎng)為2的正方體的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，若圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球的表面積和圓柱的體積．【答案】（1）52；（2）1；（3）球的表面積為，圓柱的體積為.【解析】【分析】（1）利用棱臺(tái)的體積公式計(jì)算得解.（2）利用弧長(zhǎng)公式及圓錐表面積公式列式求解.（3）求出正方體的外接球直徑，進(jìn)而求出球的表面積及圓柱的體積.【詳解】（1）依題意，正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為和，所以該正四棱臺(tái)的體積為.（2）設(shè)圓錐的底面圓半徑為，母線長(zhǎng)為，由圓錐側(cè)面展開圖是半圓，得，則，由圓錐的表面積為，得，解得，所以該圓錐的底面直徑為1.（3）由棱長(zhǎng)為2的正方體的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，得球的直徑為，因此該球半徑，表面積為；圓柱的底面直徑和高都為，所以圓柱的體積為.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A大??；（2）若，，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且．求AD的長(zhǎng)；（3）若是銳角三角形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，求CE的取值范圍．【答案】（1）（2）；（3）.【解析】分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解.（2）由已知求出，再在中由余弦定理列式求出.（3）由已知結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍，再用正弦定理求出的范圍，進(jìn)而用含的表達(dá)式表示并求出范圍.【小問1詳解】在中，由，得，由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由（1）得，由點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，且，得，在中，由余弦定理得，即，所以.【小問3詳解】在銳角中，，則，，由正弦定理得，在中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，，由余弦定理得，所以CE的取值范圍是.19.設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，的夾角為，定義一種運(yùn)算“”．試求解下列問題：（1）已知向量，滿足，，，求的值；（2