湖南省衡陽市衡陽縣第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

衡陽縣四中2025年上學(xué)期期中考試高一平行班數(shù)學(xué)試卷（本試題卷滿分150分，考試時間120分鐘，命題人：杜超群）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算，即可求解.【詳解】由向量，，可得.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，以下說法不正確的是（

）A.的實部是5B.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義，性質(zhì)，幾何意義，即可判斷選項.【詳解】由復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)可知，的實部是5，故A正確；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，為第四象限的點，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：B3.下列各組向量中，可以作為基底的是（）．A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】不共線的非零向量可以作為向量的基底.【詳解】因為與不共線，其余選項中、均共線，所以B選項中的兩向量可以作為基底．故選：B【點睛】本題考查平面向量的基本定理及其意義，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)中真數(shù)為正，列不等式可解.【詳解】令，解得.故函數(shù)的定義域是.故選：B.5.如圖，在正方體中，異面直線與所成的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)異面直線所成的角的定義，利用平行線轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，即可求解.【詳解】因為，所以異面直線與所成的角為.故選：B6.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象，依次利用最值、周期、點在圖象上求得，從而得解.【詳解】依題意，由圖象中最值可知，周期滿足，又，則，故，所以，又點在圖象上，所以，即，所以，即，而，所以，所以.故選：C.7.若球被一個平面所截，所得截面的面積為，且球心到該截面的距離為2，則球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出截面圓的半徑，再利用勾股定理求得球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得出答案.【詳解】因為球的一截面的面積為，所以截面圓的半徑為，又因為球心到該截面的距離為2，所以球的半徑為，所以球表面積為.故選：C.8.如圖，已知正方體的棱長為3，點分別在棱上，滿足，點在正方體的面內(nèi)，且平面，則線段長度的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】在上取點，使得，證得平面平面，得到點的軌跡為線段，在等腰三角形中，求得底邊上的高，即可求解.【詳解】在上取點，使得，分別連結(jié)，因為，可得，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，由且，可得，又由且，所以，在正方體中，可得，所以因為平面，且平面，所以平面，同理可證平面，又因為，且平面，所以平面平面，因此點的軌跡為線段，在等腰三角形中，，可得底邊上的高為，此即為長度的最小值.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.“，使得”的否定是“，都有”B.已知x>0，則x＋的最小值為8C.若，則“”的充要條件是“”D.若命題“”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對A，根據(jù)特稱命題的否定判斷即可；對B，根據(jù)基本不等式判斷即可；對C，舉反例判斷即可；對D，根據(jù)特稱命題與二次方程的解判斷即可.【詳解】對于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正確；對于B，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故B正確；對于C，若，則由不能推出，故“”不是“”的充要條件，故C錯誤；對于D，若命題“”為假命題，則無實根，則，得，則實數(shù)m的取值范圍是，故D正確.故選：ABD10.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?，?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測量一個的屋頂，得到圓錐（其中為頂點，為底面圓心），母線的長為10m，底面半徑長為6m．下面說法正確的是（

）A.圓錐SO的高為8m B.圓錐SO的側(cè)面積為C.圓錐SO的體積為 D.圓錐SO外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】首先求圓錐的高，再代入圓錐的側(cè)面積，體積公式，即可判斷ABD，利用圓錐與外接球的幾何關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的方程，即可求解外接球的表面積，判斷D.【詳解】對A，母線的長為10m，底面半徑OA長為6m，圓錐SO的高為，A選項正確；對B，圓錐SO的側(cè)面積，B選項正確；對C,圓錐的體積,C選項錯誤，對D，設(shè)圓錐SO的外接球半徑為，則，解得，所以圓錐SO外接球的表面積為，D選項正確.故選：ABD11.如圖.為內(nèi)任意一點，角的對邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（）A.若是的重心，則有B.若成立，則是的內(nèi)心C.若，則D.若是的外心，，，則【答案】AB【解析】【分析】對于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；對于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點到的距離相等.對于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.對于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.【詳解】對于A：如圖所示：因為分別為的中點，所以，，同理可得、，所以，又因為，所以.正確；對于B：記點到的距離分別為，，因為，則，即，又因為，所以，所以點是的內(nèi)心，正確；對于C：因，所以，所以，所以，所以，化簡得：，又因為不共線，所以，所以，所以，錯誤；對于D：因為是的外心，，所以,，所以，因為，則，化簡得：，由題意知同時為負，記，，則，因為，所以，所以，所以，錯誤.故答案為：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則________.【答案】【解析】【分析】設(shè)冪函數(shù)，再求出的值得到冪函數(shù)的解析式，再求.【詳解】設(shè)冪函數(shù),由題得.所以.故答案為2【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的求法，考查冪函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.13.如圖，在中，P為線段AB上一點，則，若，，，且與的夾角為，則的值為_______.【答案】-3【解析】【分析】利用向量線性運算及平面向量基本定理，用表示與，然后利用數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】因為，所以，所以，即，故答案為：-314.已知函數(shù)，則________.【答案】42【解析】【分析】計算為定值即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律并求解.【詳解】，

.故答案為：42.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.15.已知向量，的夾角為，且．（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）-4（2）或3.【解析】【分析】（1）代入向量數(shù)量積的定義，即可求解；（2）根據(jù)模長，轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的運算，即可求解.【小問1詳解】由向量，的夾角為，且，得.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，即，整理得，解得或，所以的值是或3.16.已知角終邊上的一點.（1）求值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再由誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）構(gòu)造齊次分式，同除，轉(zhuǎn)化為含有的式子求解.【小問1詳解】因為角終邊上的一點，所以，所以；【小問2詳解】因為，所以.17.在中，角，，的對邊長分別為，，，的面積為，且．（1）求角的大??；（2）若，且當(dāng)時，取得最大值，試求的值．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意，，即，所以；（2）化簡得，所以，，由正弦定理得，所以．試題解析：（1）由已知得，即，又因為，所以．（2）．當(dāng)（），即（）時，．又因為，所以，，故，，，所以．18.如圖，在三棱錐中，底面．點分別為棱，的中點，是線段的中點，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)、平行公理得到，然后利用線面平行的判定定理證明；（2）利用線面垂直判定定理可得平面，進而得到底面，利用中位線定理得到到底面的距離，利用體積轉(zhuǎn)化法計算體積.【小問1詳解】證明：分別是中點，，同理，又平面平面，平面．【小問2詳解】解：底面平面，平面，平面，分別為中點，，平面，點到平面的距離為，，即三棱錐的體積為．19.某動力電池生產(chǎn)企業(yè)為提高產(chǎn)能，計劃投入7200萬元購買一批智能工業(yè)機器人，使用該批智能機器人后前年維護成本為萬元，每年電池銷售收入為7600萬元，設(shè)使用該批智能機器人后前x年的總盈利額為y萬元（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該電池生產(chǎn)企業(yè)從第幾年開始盈利；（2）使用若干年后對該批智能機器人處理方案有兩種方案一：當(dāng)總盈利額達到最大值時，將該批智能機器人以2000萬價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達到最大值時，將該批智能機器人以5200萬元的價格處理問哪種方案更合理？并說明理由.【答案】（1）解析式為，該企業(yè)從第2年開始盈利；理由見解析（2）方案二更合理；理由見解析【解析】【分析】（1）先寫出相應(yīng)的解析式，再解不等式，求出該企業(yè)從第2年開始盈利；（2）方案一：配方得到時y取到最大值12800，進而得到總利潤為萬元；方案二：年平均盈利額為，由基本不等式求