內(nèi)蒙古名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁高一數(shù)學(xué)考試注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊到必修第二冊第七章占20%，必修第二冊第八章占80%.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.九棱錐共有（）A.9條棱 B.10條棱 C.12條棱 D.18條棱【答案】D【解析】【分析】九棱錐有9條底邊，棱也為9，即得答案.【詳解】九棱錐共有條棱．故選：D2.半徑的球的表面積（）A.6π B.8π C.10π D.12π【答案】B【解析】【分析】利用球的表面積公式即可求解.【詳解】半徑球的表面積．故選：B3.若，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A.3＋i B.3－i C.1＋3i D.1－3i【答案】A【解析】【分析】計算出，利用復(fù)數(shù)乘法法則計算出，利用共軛復(fù)數(shù)的定義得到答案.【詳解】，故，．故選：A4.已知為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，且平面平面，則是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】如圖所示：滿足，而相交，故不充分；滿足則，但異面，故不必要，故選：D5.若正六棱臺的高為6，且，，則該正六棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正六棱臺的性質(zhì)求得上下底面，再利用棱臺的體積公式計算即可.【詳解】設(shè)正六棱臺上、下底面的面積分別為、，因為，，高為，所以，，所以該棱臺的體積.故選：C.6.如圖，四邊形表示水平放置的四邊形根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，，則（）A. B.4 C.6 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測的性質(zhì)還原圖形，再由勾股定理求解.【詳解】還原四邊形，如圖所示，依題意可得．取的中點，連接，則，且，故．故選：C7.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面BCD，，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，過EF的截面與AC交于點G，與BD交于點H，，若截面，且截面，四邊形GEHF是正方形，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】本題首先把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，再利用空間平行的傳遞性，三角形中位線定理即可求解.【詳解】如圖所示：過EF的截面α與AC交于點G，與BD交于點H，則截面α即為四邊形GEHF，又因AB//截面α，平面，平面平面，平面，平面平面，所以，又CD//截面α，同理可得，，因為在中，E為線段BC的中點，所以線段GE是的中位線，因為在中，F(xiàn)為線段AD的中點，所以線段HF是的中位線，所以點E，H分別是線段BC，BD的中點，所以線段EH是的中位線，所以，又四邊形GEHF是正方形，所以.故選：B.8.若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先設(shè)fa=a2+a3a>0，得到函數(shù)的單調(diào)性和的解為a【詳解】設(shè)函數(shù)fa=a因為，所以的解為a＝5，，所以，．因，所以．故選：B【點睛】方法點睛：對數(shù)比較大小的方法有：（1）對于真數(shù)相同的對數(shù)，可利用倒數(shù)法加以解決，有時也可把對數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)式進行比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)都不相同時，一般可選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤保ㄍǔＲ浴?”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較大小，從而間接地得出要比較的數(shù)的大小關(guān)系；（3）作差（商）比較法是比較兩個數(shù)值大小的常用方法，即對兩值作差（商），看其值與0（1）的關(guān)系，從而確定所比兩值的大小關(guān)系．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)l，m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列判斷錯誤的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若直線，，且l⊥m，l⊥n，則D.若l，m是異面直線，，，且，，則【答案】ABC【解析】【分析】ABC可舉出反例；D選項，作出輔助線，由線面平行得到線線平行，進而得到面面平行.【詳解】對于A，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，A錯誤．對于B，若，，，則l與m可能平行，可能相交，也可能異面，B錯誤．對于C，沒有說m，n是相交直線，所以不能得到，C錯誤．對于D，因為，設(shè)平面平面，，所以，因為l，m是異面直線，，所以l，a相交，因為，，，所以，因為，，l，a相交，所以，D正確．故選：ABC10.在中，的對邊分別為，若，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用正弦定理角化邊得到，利用余弦定理后，即可求得的范圍.【詳解】由及正弦定理，得，由余弦定理得，所以．故選：AB11.已知三棱錐的所有棱長都是分別是三棱錐外接球和內(nèi)切球上的點，則（）A.三棱錐的體積是B.三棱錐內(nèi)切球的半徑是C.長度的取值范圍是D.三棱錐外接球的體積是【答案】ACD【解析】【分析】作出棱錐的高，利用體積公式處理A，利用內(nèi)切球的半徑公式處理B，利用勾股定理建立方程求解外接球半徑，進而求出體積判斷D，C即可.【詳解】如圖，取BC的中點M，連接AM，PM，作平面ABC．易證H在AM上，且，則，從而三棱錐P—ABC的體積，故A正確.設(shè)三棱錐P—ABC內(nèi)切球的半徑為r，則，所以，故B錯誤.設(shè)三棱錐P—ABC外接球的半徑為R，球心為O，則，即，解得，所以，則三棱錐P—ABC外接球體積是，顯然長度的取值范圍是，故C，D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求立體幾何，解題關(guān)鍵是利用勾股定理求出外接球的半徑，然后求解體積和邊的取值范圍即可．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12.已知向量．若，則______；若，則向量與的夾角為______.【答案】①3②.##【解析】【分析】利用向量共線的充要條件即得；利用向量垂直的充要條件求得，再由向量夾角的坐標(biāo)公式計算即得向量與的夾角.【詳解】若，則，解得．若，則，即，解得，則，．設(shè)向量與的夾角為，則，因，故．故答案為：3；.13.某同學(xué)將一張圓心角為的扇形紙殼裁成扇環(huán)（如圖1）后，制成了簡易筆筒（如圖2）的側(cè)面，已知，則制成的簡易筆筒的高為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓臺的上下底面圓半徑，再利用等腰梯形的性質(zhì)求出高.【詳解】依題意，圓臺上底面圓周長為，則圓臺上底半徑，圓臺下底面圓周長為，則圓臺下底半徑，圓臺軸截面是等腰梯形，上下底邊長分別為，腰長為，所以圓臺的高，即等腰梯形的高為（cm）.故答案為：14.如圖所示，在直三棱柱中，，，P是線段上一動點，則的最小值為__________.【答案】7【解析】【分析】連接，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，設(shè)點的新位置為，則可得當(dāng)A，P，三點共線時，的長為的最小值.【詳解】連接，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到與平面重合，設(shè)點的新位置為，連接，則有，如圖所示.當(dāng)A，P，三點共線時，的長為的最小值，因為，，所以.又，所以是邊長為的正三角形，.又，所以，所以，由勾股定理可得.故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，這是由一個半圓柱和一個長方體組合而成的幾何體，其中，．（1）求該幾何體的體積；（2）求該幾何體的表面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用長方體和半圓柱的體積公式計算即可；（2）直接算各個面的面積相加即可.【小問1詳解】長方體的體積為，半圓柱的底面積為，半圓柱的體積為，該幾何體的體積為.【小問2詳解】長方體去掉上底面后的表面積為，由（1）得半圓柱的底面積為，半圓柱的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形．，分別為的中點，且．（1）證明：．（2）若，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，從而得證；（2）先求得，進而求得，利用等體積法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】連接．因為底面是菱形，分別為的中點，所以，，所以．又，，所以平面．因為平面，所以．【小問2詳解】因為，是的中點，所以．又，，所以平面．由題意得是邊長為2的等邊三角形，且為的中點，所以，又，所以．在中，可得，，所以．設(shè)點到平面的距離為，則．因為，所以，解得．所以點到平面的距離為.17.如圖，在六面體中，，正方形的邊長為2，．（1）證明：平面平面．（2）求直線EF與平面所成角的正切值．（3）求多面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的條件，利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.（2）借助勾股定理的逆定理，結(jié)合線面垂直的判定證得平面，進而確定直線在平面的射影即可求解.（3）利用（2）中信息，利用割補法，結(jié)合錐體的體積公式計算即得.【小問1詳解】由，平面，平面，得平面，由正方形，得，又平面，平面，得平面，而平面，所以平面平面.【小問2詳解】連接，在正方形中，，則，而，即有，于是，而平面，則平面，由，得平面，因此在平面內(nèi)的射影是，令直線EF與平面所成的角為，在直角梯形中，，所以直線EF與平面所成角的正切值為.【小問3詳解】由（2）知，平面，而平面，則，又，平面，于是平面，四棱錐的體積，由平面，得三棱錐的體積，所以多面體的體積.18.在中，．（1）證明：為△ABC的重心．（2）設(shè)．①證明：為定值．②求的最大值，并求此時AB的長．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析，②，此時【解析】【分析】（1）作出輔助線，利用得到G為△ABC三條中線的交點，即G為△ABC的重心；（2）①在（1）基礎(chǔ)上，求出EG＝2，BE＝CE＝3，設(shè)，則，，又余弦定理得到；②設(shè)，，，利用三角恒等變換得到，故時，取得最大值，且最大值為，并求出，此時AB的長．【小問1詳解】證明：設(shè)BC的中點為E，則，因為，所以．設(shè)AC的中點為F，AB的中點為H，同理可得，，所以A，G，E三點共線，B，G，F(xiàn)三點共線，C，G，H三點共線，從而G為△ABC三條中線的交點，即G為△ABC的重心．【小問2詳解】①證明：由（1）知，因為，所以．因為，所以，設(shè)，則，，由余弦定理，得，，則，為定值．②設(shè)，，，所以，當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為，此時，解得，此時．19.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，點A的曲率為，N，M分別為AB，的中點，且．（1）證明：平面．（2）證明：平面平面．（3）若，求二面角的正切值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）由題意可得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）如圖，易證，由（1）得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（3）如圖，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則，易證，則∠AHF為二面角的平面角的補角．結(jié)合等面積法求得FH，即可求解.【小問1詳解】在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，則，，所以點A的曲率為，所以．因為，所以△ABC為正三角形．因為N為AB的中點，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面，所以平面．【小問2詳解】取的中點D，連接DM，DN．因為N為AB的中點，所以且．又且，所以且，所以四邊形CNDM為平行四邊形，則．由（1）知平面，則平面．又平面，所以平面平面．【