山東省濟(jì)南市萊蕪鳳城高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第四次單元檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁鳳城高中2023級高一下學(xué)期第四次單元檢測數(shù)學(xué)試題（試卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題；每小題5分，共40分．每小題給出四個選項(xiàng)，只有一個選項(xiàng)符合題目要求，把正確選項(xiàng)的代號涂在答題卡1.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為6,8，位于第一象限.故選：A.2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.7 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以，解得，故選：C.3.已知，，，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【分析】依題意根據(jù)計算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，則，所以事件與事件不相互獨(dú)立，．故選：B4.已知四邊形是平行四邊形，，，記，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在中，，，，，所以.故選：A5.在正四面體中，，分別是，中點(diǎn)，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)四面體棱長為2，取取中點(diǎn)，連結(jié)，，利用三角形中位線性質(zhì)作出異面直線所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，，，，設(shè)正四面體的棱長為2，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，所以或其補(bǔ)角是與所成角.又，是中點(diǎn)，在中，，因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，又，在中，由余弦定理可知，又，所以.與所成角.故選：B6.若一個圓錐的體積為，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的頂角為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由體積求出圓錐的底面圓半徑和高，母線長，即可計算圓錐的側(cè)面積．詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為，高為，由軸截面三角形的頂角為，得，所以圓錐的體積為，解得，所以圓錐的母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為．故選：C．7.已知，，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先算，再求與向量同向的單位向量和在上的投影，然后由投影向量定義可得.【詳解】由題知，與向量同向的單位向量為因，所以，得所以向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量為.故選：D8.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時間均值為８小時，方差為0.5，則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75【答案】B【解析】【分析】利用抽樣中樣本平均數(shù)、方差與總體平均數(shù)、方差之間的關(guān)系式即可算出．【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為：（小時），該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為：．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題；每小題6分，共18分．每小題給出四個選項(xiàng)，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知、為兩個不同平面，、為兩條不同的直線，下列結(jié)論正確的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)已知條件判斷線面位置關(guān)系，可判斷C選項(xiàng)；利用面面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，若，則取內(nèi)任意兩條相交直線、，使得，，又，則，，由線面垂直的判定定理得，故A正確；對于B，垂直于同一條直線的兩個平面平行，故B正確；對于C，若，，則或，故C錯誤；對于D，若，，則，故D正確.故選：ABD．10.如圖是一個古典概型的樣本空間和事件和，其中，，，，則（）A. B.C.事件與互斥 D.事件與相互獨(dú)立【答案】AD【解析】【分析】依題意，計算出與，從而求得對應(yīng)概率即可判斷AB；由判斷C；分別計算的值，從而判斷D.【詳解】對于A，由，得，則，所以，故A正確；對于B，，所以，故B錯誤；對于C，與不互斥，故C錯誤；對于D，，，事件A與相互獨(dú)立，故D正確.故選：AD.11.如圖，正方體中，是線段上的動點(diǎn)（不含兩端點(diǎn)），則（）A直線與平面相交B.三棱錐的體積不變C.平面平面D.設(shè)直線與平面所成的角為，則取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證得平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)三棱錐體積轉(zhuǎn)化思想分析三棱錐的體積即可判斷B；由面面垂直的判斷定理證明平面平面即可判斷C；利用線面夾角的定義確定的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)確定其取值范圍.【詳解】對于A，如圖連接在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，故A不正確；對于B，由A可知平面，又，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，在正方體中，可得為等邊三角形，其面積為定值，故三棱錐的體積為定值，所以三棱錐的體積也為定值，故B正確；對于C，如圖，連接在正方體中，四邊形為正方形，所以又平面，平面，所以因?yàn)槠矫妫云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以，同理可得又平面，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，故C正確；對于D，如圖過作交于，連接因?yàn)槠矫?，，所以平面，則為直線與平面所成的角為，則不妨設(shè)正方體棱長為，設(shè)，則所以，則，所以因?yàn)?，所以，則，故取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題；每小題5分，共15分．12.抽取某校高一年級10名女生，測得她們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)如下：163165161157162165158155164162，據(jù)此估計該校高一年級女生身高的第25百分位數(shù)是__________.【答案】【解析】【分析】計算，確定從小到大第個數(shù)即可.【詳解】，第25百分位數(shù)是從小到大第個數(shù)為.故答案為：13.正邊長為2，點(diǎn)滿足，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)基底法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：214.已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，則四棱錐的體積為______，其外接球表面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而求出錐體的體積，設(shè)外接圓的圓心為，外接球球心為，先分別求得外接圓的半徑與，再利用勾股定理求得外接球的半徑，從而得解．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，連接，設(shè)外接圓的圓心為，半徑為，所求外接球球心為，半徑為，連接，如圖，因?yàn)闉榈冗吶切?，，所以，且圓的半徑，因?yàn)闉榈冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，所以，因?yàn)榈酌媸蔷匦?，所以是底面外接圓的圓心，故平面，所以，同理，所以四邊形是矩形，所以，所以球的半徑，所以外接球的表面積為．故答案為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或步驟．15.某高校承辦了2024年上海帆船公開賽的志愿志選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求、的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；（2）在第四、五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩個來自同一組概率．【答案】（1），平均數(shù)為69.5（2）【解析】【分析】（1）由每個小矩形面積代表頻率，所有頻率之和為1，可得，；根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算公式即可求解.（2）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型的概率即可．【小問1詳解】因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；平均數(shù)為，【小問2詳解】第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，故按照分層抽樣抽得的第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為，，，，第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人中選出2人，所有情況有，，，，，．，，，，共有10種情況，其中選出的兩人來自同一組的有，，，，，共6種情況，故選出的兩人來自同一組的概率為．16.在中，已知角的對邊分別是，且．（1）求角的大?。唬?）若邊上的中線為，求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析可得，即可得結(jié)果；（2）先利用余弦定理可得，再根據(jù)向量分析可得，進(jìn)而可得，即可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：，又因?yàn)?，即，可得在中，，則，可得，且，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理可得，即，因?yàn)檫吷系闹芯€為，則，可得，即，可得，所以.17.如圖，在正三棱柱中，是中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可得結(jié)論；（2）利用體積橋可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，又平面，平面，平面【小問2詳解】設(shè)，到平面的距離為，，，，又為中點(diǎn)，，又為等邊三角形，，解得：，，，，解得：，即到平面的距離為.18.甲、乙兩人組成“九章隊(duì)”參加青島二中數(shù)學(xué)學(xué)科周“最強(qiáng)大腦”比賽，每輪比賽由甲、乙各猜一個數(shù)學(xué)名詞，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪比賽中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．（1）求甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞的概率；（2）求“九章隊(duì)”在兩輪比賽中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法概率公式計算即可；（2）兩人分別猜兩次，總共四次中有一次沒猜對，分四種情況計算可得答案.【小問1詳解】設(shè)甲兩輪至少猜對一個數(shù)學(xué)名詞為事件，.【小問2詳解】設(shè)事A＝“甲第一輪猜對”，B＝“乙第一輪猜對”，C＝“甲第二輪猜對”，D＝“乙第二輪猜對”，E＝““九章隊(duì)”猜對三個數(shù)學(xué)名詞”，所以，則，由事件的獨(dú)立性與互斥性，得，故“九章隊(duì)”在兩輪活動中猜對三個數(shù)學(xué)名詞的概率為．19.如圖1，在四邊形中，，，.為中點(diǎn)，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體.（1）證明：平面；（2）若為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位線等圖形關(guān)系得到四邊形為平行四邊形，得到，根據(jù)線面垂直得到，結(jié)合，再轉(zhuǎn)化后結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)圖形關(guān)系作出所求二面角的平面角，根據(jù)三角形面積相等得到，在直角三角形中運(yùn)算即可求解角的余弦值.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)椋?，且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槊?，所以平面．因?yàn)槠矫妫?/p>