天津市河西區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題（解析版）

河西區(qū)2024—2025學(xué)年度第二學(xué)期高一年級期中質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至7頁.祝各位考生考試順利!第Ⅰ卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2.本卷共9小題，每小題4分，共36分.一?選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】求得對應(yīng)的坐標，由此得出正確選項.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標為，在第三象限.故選：C.2.設(shè)，是兩個非零向量，則“與的夾角為鈍角”是“·<0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義，根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)與的夾角為鈍角時，，充分性滿足，但當(dāng)與的夾角時，，必要性不滿足，因此是充分不必要條件，故選：A.3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因為，可得，解得.故選：A.4.如圖，已知，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的三角形法則和數(shù)乘運算法則即可求出．【詳解】由，得，而，所以.故選：B5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，一個周期為，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式，周期的定義逐項判斷即可.【詳解】對于A，，，此時函數(shù)是奇函數(shù)，又最小正周期，故A正確；對于B，因為，所以不是的周期，故B不正確；對于C，，，此時函數(shù)是偶函數(shù)，故C不正確；對于D，因為函數(shù)的最小正周期，所以不是的周期，故D不正確；故選：A.6.已知向量且在上的投影向量為則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求出，再由即可判斷.【詳解】由可得，，，因在上投影向量為，故，則，因，則，即與的夾角為.故選：C.7.在中，角，，所對邊的長分別為，，．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理表示出,將已知等式代入求出的值,進而求出的值,原式利用誘導(dǎo)公式化簡后將的值代入計算即可求出值.【詳解】,

,

為三角形的內(nèi)角,

,

則.

故選：B.8.已知，，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)平面向量平行的坐標表示可知，再根據(jù)余弦二倍角公式化簡、解方程可得,進而可得，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，所以或，又，所以，所以，所以，故選：B.9.函數(shù).的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱：②函數(shù)的解析式可以為③函數(shù)在上的值域為；④若將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位，則所得函數(shù)的解析式為是A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷各結(jié)論．【詳解】由已知，．∴，，又，∴，∴．，①錯；又，②正確；時，，因此，③錯誤；若將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得的圖象，再向右平移個單位，則所得函數(shù)的解析式為是，④錯，所以正確的只有一個，故選：A．第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共9小題，共64分.二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，多空題只答對一空得3分，共30分.10.是虛數(shù)單位，__________.【答案】1【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模的運算性質(zhì)計算或者先運用復(fù)數(shù)的除法計算，再求其模長即可.【詳解】方法一：由.方法二：因，故故答案為：1.11.化簡：___________．【答案】【解析】【分析】利用向量的加減運算法則即可求解.【詳解】.故答案為：．12.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算的性質(zhì)，解方程即可.【詳解】由題意得，則.故答案為：13.若，則___________.【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式，倍角公式求解即可.【詳解】故答案為：【點睛】本題主要考查了誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡求值，屬于中檔題.14.如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點測得海面上油井在南偏東，向北航行后到達點，測得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達點，則，間的距離是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長，得出,求出的長，由勾股定理可得答案.【詳解】海輪向北航行后到達點，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案：15.在中，,點是線段上的動點，則的最小值為__________；當(dāng)取得最小值時,__________.【答案】①②.【解析】【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，確定兩點坐標，設(shè)設(shè)，用坐標法求得數(shù)量積，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)得最小值，并由數(shù)量積的坐標表示求得，然后由平方關(guān)系得正弦值．【詳解】以為坐標原點，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，又中，，從而，所以，即，設(shè)，則，所以時，取得最小值，此時，則，，又，所以，故答案為：；三?解答題：本大題共3小題，共34分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知、、分別為三個內(nèi)角、、的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求、.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A；（2）由三角形面積公式結(jié)合余弦定理可得．【小問1詳解】根據(jù)正弦定理，變?yōu)?，即，也即，所以．整理，得，即，所以，所以，則．【小問2詳解】由，，得．由余弦定理，得，則，所以．則．17.如圖，在平行四邊形中，.分別為上的點，且（1）若求的值；（2）求的值；（3）求【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面基本定理求解：用表示出即可得；（2）用為基底表示其它向量后，由數(shù)量積的運算律及定義計算；（3）即為與的夾角，由數(shù)量積的定義可求得其余弦值．【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】，所以.【小問3詳解】，，，，則.18.已知函數(shù)．（1）求最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象的橫坐標縮小為原來的，再將得到的函數(shù)圖象向右平移個單位，最后得到函數(shù)，求函數(shù)的對稱中心；（3）若在上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，輔助角公式化簡，再結(jié)合正弦型函數(shù)周期公式求最小正周期；（2）根據(jù)函數(shù)圖象變換法則求函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其對稱中心；（3）由已知可得在上恒成立，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求的值域，結(jié)合恒成