云南省昆明市云南地礦局中學2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試卷（解析）

2024–2025學年下學期云南地礦局中學期中考試高一數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若A、B是全集的真子集，則下列四個命題中與命題等價的有（）①；②；③；④A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】畫出韋恩圖，對①②③④一一判斷，結(jié)合交集，并集，補集的概念得到答案.【詳解】A、B是全集的真子集，且，畫出韋恩圖如下：對于①，，等價于，①正確；對于②，，等價于，②錯誤；對于③，，等價于，故不一定能得到，③錯誤；對于④，，則，與A、B是全集的真子集矛盾，舍去.故選：B2.下列是全稱命題且是真命題的是()A.?x∈R，x2>0 B.?x∈Q，x2∈QC.?x0∈Z，x>1 D.?x，y∈R，x2＋y2>0【答案】B【解析】【詳解】主要考查全稱量詞和全稱命題的概念．解：A、B、D中命題均為全稱命題，但A、D中命題是假命題．故選B．3.設(shè)，，，則下列說法錯誤的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式證明選項AC正確，D錯誤；利用不等式證明選項B正確.【詳解】因為，，，則，當且僅當時取等號，所以選項A正確；因為，故，當且僅當時取等號,即最小值，所以選項B正確；，當且僅當且即，時取等號，所以選項C正確；，故，當且僅當時取等號，即最大值，所以選項D錯誤．故選：D．4.為了給地球減負，提高資源利用率，2019年全國掀起了垃圾分類熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時尚，假設(shè)某市年全年用于垃圾分類的資金為萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億元的年份是（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】C【解析】【分析】設(shè)后第年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億元，結(jié)合等增長率模型列出不等式計算即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)后第年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億元，因為該市年全年用于垃圾分類的資金為萬元，每年投入的資金比上一年增長，所以后第年該市全年用于垃圾分類的資金為，由已知所以，兩邊取常用對數(shù)可得又，所以.所以后第年，即年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過億.故選：C.5.已知復數(shù)是關(guān)于的一元二次方程的一個復數(shù)根，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用實系數(shù)方程的虛根特征，結(jié)合韋達定理求出，進而求得答案.【詳解】由復數(shù)是關(guān)于的一元二次方程的一個復數(shù)根，得該方程的另一個復數(shù)根為，則，，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為位于第二象限.故選：B6.已知，，滿足，，，則點依次是的（）A.重心，外心，垂心 B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，重心，內(nèi)心【答案】C【解析】【分析】根據(jù)和外心的性質(zhì)得到為外心；由重心的性質(zhì)得到為重心；利用向量數(shù)量積運算法則得到，所以，同理可得，所以為垂心【詳解】依題意，由得，到的三個頂點的距離相等，所以為外心；設(shè)的中點為，則由得，所以為重心；由得，所以，同理可得，所以為垂心．故選：C7.如圖，是由斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖，其中，點為線段的中點，對應原圖中的點，則在原圖中下列說法正確的是（）A.B.的面積為2C.在上的投影向量為D.與同向的單位向量為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出原圖，然后逐個分析判斷即可.【詳解】根據(jù)題意可知原圖如圖所示，其中，則，因為點為線段的中點，所以為的中點，則，對于A，因為，所以，所以A錯誤，對于B，，所以B錯誤，對于C，因為，所以在上的投影向量為，所以C錯誤，對于D，因為，所以與同向的單位向量為，所以D正確.故選：D8.已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知的最小正周期為，則下列說法正確的有（）A.B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.是函數(shù)圖象的一個對稱中心【答案】BD【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，根據(jù)周期求，然后再判斷三角函數(shù)的性質(zhì).【詳解】，，

，故A不正確；當時，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故B正確；當時，，，所以不是函數(shù)的對稱軸，故C不正確；、當時，，，所以是函數(shù)的一個對稱中心，故D正確.故選：BD【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，本題的思路是整體代入的思想，屬于基礎(chǔ)題型.10.對于有如下命題，其中正確的是（）A.若，則為鈍角三角形B.若，，，則的面積為C.在銳角中，不等式恒成立D.若，且，則為等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】A選項，變形后，由正弦定理得到，得到為鈍角三角形；B選項，由正弦定理得到或，根據(jù)三角形面積公式求出答案；C選項，由銳角三角形得到，由三角函數(shù)單調(diào)性和誘導公式得到；D選項，的角平分線與垂直，且，所以是等邊三角形.【詳解】選項A，中，若，即，所以由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，為鈍角三角形，正確；選項B，由正弦定理得，即，解得，所以或，所以或，當時，，當時，，故的面積為或，B錯誤：選項C，因為是銳角三角形，所以，所以，又，所以，則，又因在單調(diào)遞增，所以，C正確；選項D，表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，根據(jù)平面向量加法的幾何意義可知與的角平分線共線，由可知的角平分線與垂直，所以是等腰三角形，而，又，所以，所以是等邊三角形，D正確．故選；ACD11.如圖，在菱形中，,，為的中點，將沿直線翻折成，連接和，為的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.B.的長不為定值C.與的夾角為D.當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是【答案】AC【解析】【分析】對于A根據(jù)已知條件證明平面即可；對于B根據(jù)已知條件求出的長即可；對于C轉(zhuǎn)化為求與的夾角即可；對于D根據(jù)三棱錐的體積最大時的特征放入長方體中求解即可.【詳解】對于A，如圖1所示，因為在菱形中，,，所以易證是等邊三角形，又因為為的中點，所以，由翻折性質(zhì)知.又因為平面,,所以平面,因為平面,所以.故A正確.對于B，如圖1所示，取中點，由三角形中位線定理知,在菱形中易證，因為和的兩邊方向相同，則由等角定理易證，在中由余弦定理得，得，所以的長為定值，故B錯誤.對于C，如圖1所示，由已證知，所以與的夾角即為與的夾角，在中，由余弦定理得,因為，所以，由于空間中兩直線夾角范圍為，所以與的夾角為，即與的夾角為，故C正確.對于D，由題意可知當平面平面時三棱錐的體積最大.由A項已證知此時平面，因為，所以.如圖2所示,要求三棱錐外接球表面積即求如圖長方體外接球的表面積，由已知得長方體的長寬高分別為，則長方體外接球半徑，則表面積為，故D錯誤.故選:AC【點睛】一.求幾何體體積，要注意分割與補形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．二.幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，則___________．【答案】3【解析】【分析】分類討論，分別令，，求得后，繼續(xù)將作為函數(shù)值求自變量.【詳解】由題意，當時，，當時，，又，則，可得，再令，得，符合；故答案為：.【點睛】本題考查已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量，考查分類討論的思想，是基礎(chǔ)題.13.已知復平面上點對應的復數(shù)z滿足：存在模長為1的復數(shù)a，使得．那么所有滿足條件的點組成的圖形的面積為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題意可得，可求點組成的圖形的面積.【詳解】設(shè)，由，可得，所以所以，所以，因為復數(shù)a的模為1，所以，所以，所以是以為圓心，1為半徑的圓上的點，又是以原點為圓心，1為半徑的圓上的點，所以點形成的圖形是以為圓心，2為半徑的圓面，所以點組成的圖形的面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵在于利用復數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合利用復數(shù)的運算得到，進而可求解.14.已知函數(shù)，為偶函數(shù)，且當時，.記.給出下列關(guān)于函數(shù)的說法：①當時，；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)在上為增函數(shù)；④函數(shù)的最小值為，無最大值.其中正確的是______.【答案】①③【解析】【分析】g（x），F(xiàn)（x）＝max{f（x），g（x）}（x∈R）．畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可得出．【詳解】由偶函數(shù)，且當時，，∴令，則，則，即當時，，∴g（x），F(xiàn)（x）＝max{f（x），g（x）}（x∈R）．畫出圖象，由圖象可得：①當x≥6時，∵x2﹣4x≥2x，∴F（x）＝x2﹣4x，因此正確．②由圖象可得：函數(shù)F（x）不為奇函數(shù)，因此不正確．③﹣2≤x≤6時，2x＞x2﹣4x，可得函數(shù)F（x）＝2x，因此函數(shù)F（x）在[﹣2，6]上為增函數(shù)，所以函數(shù)F（x）在[﹣2，2]上為增函數(shù)是正確的．④x≤﹣2時，g（x）＝x2+4x≥2x，可得F（x）＝x2+4x≥﹣4，綜合可得函數(shù)F（x）的最小值為﹣4，無最大值，④不正確．其中正確的是①③．故答案為①③．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，設(shè)，若__________，是否存在使得存在最大值？【答案】當時，取得取大值為【解析】【分析】若選擇①，利用正弦定理化角為邊可得，利用余弦定理可得，化簡，結(jié)合，可得解；若選擇②，化切為弦，化簡可得，，后續(xù)同①.【詳解】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若選擇①:，則，即，由正弦定理可得，∴，∵，∴.由，，已知，所以，所以，∴，∴，當，即時，取得取大值為.若選擇②：∵，∴，∴，∴.在三角形中，，∴，，所以，所以，∴，∴，當，即時，取得最大值為.16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，角，，所對的邊分別是，，，且滿足求的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、降冪公式、輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，最后利用正弦型三角函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性求解即可；（2）利用余弦定理結(jié)合已知可以求出的取值范圍，最后利用正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍.【詳解】（1），∴，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：，因此最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）∵，∴∴，又因為∴，∴∴，即的取值范圍為.【點睛】本題考查了二倍角的正弦公式、降冪公式、輔助角公式、余弦定理，考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性和最小正周期公式.17.如圖，已知正方形的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊分別交于交于點M、N．（1）求的值；（2）若Q是的中點，求的取值范圍；（3）若P的平面上一點，且滿足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）將向量分解為，利用向量垂直和數(shù)量積的運算即可求解；

（2）由O為中點可得，再由和的范圍計算即可；

（3）令，由向量共線的判斷可得點T在BC上，即可得的范圍，再由結(jié)合的范圍計算即可．【詳解】解：（1）由正方形可得

所以；（2）因為直線l過中心O且與兩邊分別交于交于點．

所以O(shè)為中點，所以

所以．

因為Q是BC的中點，所以，

所以，即的取值范圍為；

（3）令，由知點T在BC上，又因為O為中點，

所以，從而，

因為，

所以，即的最小值為【點睛】本題考查了向量的幾何應用，向量的數(shù)量積，向量的基本運算，向量的模及向量共線的判定與證明，向量的幾何運用．18.如圖，在三棱柱中，底面，，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面；（2）求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判斷定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用向量公式，即可求解二面角的正切值.【小問1詳解】連結(jié)，因為點是的中點，則，則點是的中點，且是的中點，所以，且平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，建立空間直角坐標系，，，，，，設(shè)平面的法向量，，令，則，，則平面的法向量，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，所以.二面角的平面角的正切值為19.函數(shù).（1）根據(jù)不同取值，討論函數(shù)的奇偶性；（2）若，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若已知，.