重慶市復旦中學教育集團2024-2025學年高一下學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

重慶復旦中學教育集團2024-2025學年度下期期中考試高2027屆數(shù)學試題尊重自己！愛護復旦！復旦過去的光榮，將來的燦爛，全賴我們共同愛護，共同發(fā)展！同學：今天在考試的時候，不要忘記自己！不要忘記復旦！考場秩序井然，人人潔身自愛.本試卷分為I卷和Ⅱ卷，考試時間90分鐘，滿分100分.請將答案工整地書寫在答題卡上I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)復數(shù)的乘法運算求出，再根據(jù)復數(shù)模的計算公式求出結果.【詳解】因為，所以.故選：D.2.已知向量，則（

）A. B.0 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積坐標公式計算即可.【詳解】因為向量，，則.故選：D.3.在中，已知，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理得出，再根據(jù)大邊對大角求解即可．【詳解】設，則，由正弦定理得，，解得，因為，所以，則或，故選：C．4.如圖所示，在直角坐標系中，已知，對于任意點M，它關于點A的對稱點為S，點S關于點B的對稱點為N，則向量用表示為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得為的中點，為的中點，即可得到是的中位線，從而得到，即可得解；【詳解】解：，，任意點關于點的對稱點為，點關于點的對稱點為，即為的中點，為的中點，是的中位線，．故選：B．5.眾數(shù)?平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關系和數(shù)據(jù)的分布形態(tài)有關.根據(jù)某小區(qū)1000戶居民的月均用水量數(shù)據(jù)（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖，記該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為，平均數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由頻率分布直方圖結合中位數(shù)以及眾數(shù)的計算即可比較大小.【詳解】觀察頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)是屬于右邊“拖尾”，所以平均數(shù)大于中位數(shù)為，由于第一個小矩形面積為，前2個小矩形面積之和為，所以中位數(shù)位于之間，故可得，解得，由頻率分布直方圖可知眾數(shù)，故，故選：D.6.在銳角中，角所對的邊分別為.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】用射影定理即可化簡求值.【詳解】如圖所示，過點A作于點D，則，同理可證，因為，所以，整理得，因為為銳角三角形，所以，所以，即，故選：D7.若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則（

）A.5 B.8 C.7或8 D.5或8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量運算律計算即得.【詳解】由向量，，兩兩的夾角相等，得或，當時，，當時，.故選：D8.已知中內角滿足，則角()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】通過正弦定理將已知條件轉化為邊角關系，結合基本不等式和三角函數(shù)的最值可求.詳解】由正弦定理邊角互化得到.由余弦定理，可得，即.即因為（當且僅當時取等號），所以.根據(jù)輔助角公式可得.所以，即.又因，所以.因為，所以，解得.故選：A.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選得部分分，有選錯得0分．9.已知復數(shù)，z在復平面內對應的點記為M，則下列結論正確的是（

）A.若z為純虛數(shù)，則 B.若，則C.若點M在第一象限，則 D.若為z的共軛復數(shù)且，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)、復數(shù)的模、共軛復數(shù)的定義以及復平面內點所在象限的特征，分別對各選項進行分析判斷.【詳解】對于A選項，已知為純虛數(shù)，則，則，A選項正確.對于B選項，已知，即，這說明是一個非正實數(shù)，即，由可得，此時，滿足條件，所以若，則，B選項正確.對于C選項，若點在第一象限，則m?2>0m?1>0，得，所以若點在第一象限，則，而不是，C選項錯誤.對于D選項，已知，則，即，所以，解得，而不是，D選項錯誤.故選：AB.10.重慶復旦中學化學選修課的“化學有機小組”對學校周邊2000米范圍內的19家奶茶店出售的各種標注為“半糖”的現(xiàn)制奶茶進行含糖量抽樣調查，他們發(fā)現(xiàn)含糖量數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)大很多，則下面敘述可能正確的是（

）A.這組數(shù)據(jù)中可能有異常值 B.這組數(shù)據(jù)是近似對稱的C.這組數(shù)據(jù)中可能有極端大的值 D.這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)與平均數(shù)與整體的關系進行判斷即可得答案.【詳解】一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)大很多，說明數(shù)據(jù)中可能有偏大或偏小的值，即可能有異常值，故正確；當數(shù)據(jù)近似對稱時，平均數(shù)與中位數(shù)應接近相等，故錯誤；一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)大很多，眾數(shù)可能和中位數(shù)相同，故正確.故選：.11.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口ABCDEF，它的邊長為1，點P是△DEF內部（包括邊界）的動點，則（）A.B.C.若P為EF中點，則在上的投影向量為D.的最大值為【答案】AD【解析】【分析】對于A：根據(jù)正六邊形的性質結合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)結合投影向量的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標運算求解.【詳解】對于選項A：因為，故A正確；對于選項C：由題意可知：，若P為EF的中點，所以在上的投影向量為，故C錯誤；對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標系，則，可得，所以，故B錯誤；設，可知，則，可得，則，可知當，即點與點重合時，的最大值為，故D正確；故選：AD.II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】【分析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對變形可得：，問題得解.【詳解】因為為單位向量，所以所以解得：所以故答案為：【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.13.如圖，在四邊形ABCD中，，，，，．若P為線段AB上一動點，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】以點為原點建立直角坐標系，設，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式結合二次函數(shù)的性質即可得解.【詳解】如圖，以點為原點建立直角坐標系，則，設，故，所以，則當時，取得最小值.故答案為：.14.在等邊三角形的邊上各取一點，滿足，，則三角形的面積的最大值是__________.【答案】##.【解析】【分析】中，由余弦定理得，從而得，，設，用正弦定理表示出，求出的最大值后可計算出三角形面積的最大值．【詳解】中，由余弦定理得，所以，所以，從而設，則，，，中，由正弦定理得，得，中，由正弦定理得，，，其中，取為銳角，所以的最大值為，當時取得最大值，而．故答案：．四?解答題：本題共5小題，77分．解答時寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）當為何值時，與垂直？（2）若，且、、三點共線，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用向量坐標運算求出與的坐標，再利用垂直可求；（2）先利用向量坐標運算求出，利用向量平行可求.【小問1詳解】，，，又與垂直，得，即；【小問2詳解】，，、、三點共線，，則，解得：．16.在重慶復旦中學“復旦好聲音”校園歌手決賽中，由9名專業(yè)人士和9名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一名選手的打分：小組A：85

86

92

87

89

95

82

91

85小組B：95

93

51

88

90

89

91

92

94（1）分別求兩組評委打分的平均分．（2）判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業(yè)人士組成，根據(jù)所學的統(tǒng)計知識，說明理由.【答案】（1）88，87（2）A組更像，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義計算即可求解；（2）分別求出兩組的方差，比較大小，結合方差的表示意義即可下結論.【小問1詳解】記小組A的數(shù)據(jù)依次為，小組B的數(shù)據(jù)依次為，，由題意可得：每組的平均數(shù)分別為：，.【小問2詳解】A組更像是由專業(yè)人士組成，兩組的方差分別為：，.由于專業(yè)人士給分更符合專業(yè)規(guī)則，相似程度更高，，，因而，根據(jù)方差越大數(shù)據(jù)波動越大，因此A組更像是由專業(yè)人士組成的．17.在中，角的對邊為，已知，且，.（1）求角的大小：（2）求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先應用正弦定理化簡，最后應用余弦定理結合角的范圍計算求解；（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義結合余弦定理計算求解，即可得出周長.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，由余弦定理可得，且，所以.【小問2詳解】因為，即，可得，由（1）知，可得，且，可得，解得，所以的周長為.18.記的內角、、所對的邊分別是、、，直線與的邊、交于、兩點．（1）已知，，記，，①用、表示、；②若，，則、有什么關系？用向量方法證明你的結論；（2）記，用向量方法證明：．【答案】（1）①，；②，證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）①易知分別為的中點，則，根據(jù)平面向量的線性運算即可求解；②根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算律證明即可；（2）設單位向量，根據(jù)數(shù)量積的定義求出，代入計算即可證明.【小問1詳解】①因為，所以分別為的中點，故，因為，所以；又因為，則.②，證明如下：因為，，則，所以，且、均為非零向量，則，即；【小問2詳解】在中，，設單位向量，則，（*）又根據(jù)數(shù)量積的定義得，，，，代入（*）式得，，所以．19.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，，為等邊三角形，記，.（1）若，求的面積；（2）證明：；（3）若，求的面積的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根據(jù)為等邊三角形，利用三角形面積公式即可求解；（2）在中，利用正弦定理，結合三角恒等變換即可求解，（3）利用余弦定理得，正弦定理得，