小學(xué)奧數(shù)之周期問題解法

學(xué)校奧數(shù)之周期間

題解法

周期問題

曲磔真船舉目

?.把握各種周期問題的求解方法.

2.培育同學(xué)觀看、分析和規(guī)律推理力量。

且M店魏

學(xué)問點(diǎn)說明:

周期問題：

周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)消滅；周期：我們把連續(xù)兩次消滅所經(jīng)過的

時(shí)間叫周期；解決有關(guān)周期性問題的關(guān)鍵是確定循環(huán)周期.

分類：1.圖形中的周期問題；

2.數(shù)列中的周期問題；

3.年月日中的周期問題.

周期性問題的基本解題思路是：首先要正確理解題意，從中找準(zhǔn)變化的規(guī)律，利用這些規(guī)律作為解

題的依據(jù)；其次要確定解題的突破口。主要方法有觀看法、逆推法、閱歷法等。主要問題有年月日、星

期心問題等。

⑴觀看、逆推等方法找規(guī)律，找出周期.確定周期后，用總量除以周期，假如正好有整數(shù)個(gè)周期，結(jié)

果就為周期里的最終一個(gè)；

例如：1,2,I,2,1,2,…那么第18個(gè)數(shù)是多少？

這個(gè)數(shù)列的周期是2,18-2=9,所以第18個(gè)數(shù)是2.

⑵假如比整數(shù)個(gè)周期多〃個(gè)，那么為下個(gè)周期里的第〃個(gè)；

例如：1,2,3,1,2,3,1,2,3,...那么第16個(gè)數(shù)是多少？

這個(gè)數(shù)列的周期是3,16+3=5…1,所以第16個(gè)數(shù)是1.

⑶假如不是從第一個(gè)開頭循環(huán)，可以從總量里減掉不是循環(huán)的個(gè)數(shù)后，再連續(xù)算.

例如：I,2,3,2,3,2,3,…那么第16個(gè)數(shù)是多少？

這個(gè)數(shù)列從其次個(gè)數(shù)開頭循環(huán)，周期是2,(16-1)+2=7…1,所以第16個(gè)數(shù)是2.

刖陽月例題精講

板塊一、圖形中的周期問題

【例1】小兔和小松鼠做玩耍，他們把黑、白兩色小球按下面的規(guī)律排列：

??oeeoeeo-

你知道它們所排列的這些小球中，第90個(gè)是什么球？第100個(gè)又是什么球呢？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】認(rèn)真觀看圖中球的排列，不難發(fā)覺球的排列規(guī)律是：2個(gè)黑球，1個(gè)白球；2個(gè)黑球，1個(gè)白

球；……也就是按“2個(gè)黑球，1個(gè)白球”的挨次循環(huán)消滅，因此，這道題的周期為3(2個(gè)黑

球，1個(gè)白球).再看看90、100里包含有幾個(gè)這樣的周期，若正好有整數(shù)個(gè)周期，結(jié)果為周期

里的最終一個(gè)，若是有整數(shù)個(gè)周期多幾個(gè)，結(jié)果就為下一個(gè)周期里的第幾個(gè).由于90+3=30,

正好有30個(gè)周期，第90個(gè)是白球.100+3=33-1,有33個(gè)周期還多1個(gè)，所以，第100個(gè)

是黑球.

【卷案】第90個(gè)是白球，第100個(gè)是黑球

【鞏固】美美有黑珠、白珠共102個(gè)，她想把它們做成一個(gè)鏈子掛在自己的床頭上，她是按下面的挨次排

列的:

oeoooeoooeooo……

那么你知道這串珠子中，最終一個(gè)珠子應(yīng)是什么顏色嗎？

美美怕這種顏色的珠子數(shù)量不夠，你能幫她算出這種顏色在這串珠子中共有多少個(gè)嗎？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】觀看可以發(fā)覺，這串珠子是按“一白、一黑、二白”4個(gè)珠子組成一組，并且不斷重復(fù)消滅的.我

們先算出102個(gè)珠子可及這樣排列成多少組，還余多少.我們可以依據(jù)排列周期推斷出最終一

個(gè)珠子的顏色，還可以求出有多少個(gè)這樣的珠子.由于102+4=25…2,所以最終一個(gè)珠子是第

26個(gè)周期中的其次個(gè)，即為黑色.在每一個(gè)周期中只有1個(gè)黑珠子，所以黑色珠子在這串珠子

中共有25+1=26（個(gè)）

【答案】最終一個(gè)珠子是黑色的，黑色珠子在這串珠子中共有26個(gè)

【鞏固】黑珠、白珠共101顆，穿成一串，排列如下圖。這串珠子中，最終一顆珠子應(yīng)當(dāng)是____色的，這

種顏色的珠子在這串中共有____顆.

oeoooeoooeooo

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】觀看圖形可知從其次個(gè)珠子開頭每隔3個(gè)消滅一個(gè)黑色的，即4個(gè)一循環(huán)。所以：（101-1）

:4=25,判定最終一個(gè)為黑色，共有25顆。

【答案】最終一個(gè)珠子是黑色的，黑色珠子在這串珠子中共有25個(gè)

【鞏固】……這樣的一排圖形中第87個(gè)是什么圖形，在87個(gè)圖形中一

共有多少個(gè)五角星？

【考點(diǎn)】周期問咫【淮度】2星【題型】解答

【解析】87+（2+3）=17...2,第87個(gè)圖形是圓形.17x2+1=35（個(gè)）.

【客案】35

【例2】甲、乙、丙三個(gè)網(wǎng)站定期更新，甲網(wǎng)站每隔一天更新1次；乙網(wǎng)站每隔兩天更新1次，丙網(wǎng)站

每隔三天更新1次。在一個(gè)星期內(nèi)，三個(gè)網(wǎng)站最多更新次。

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】期望杯，五班級，二試

【解析】甲最多4次，乙最多3次，丙最多2次，和為9次

【客案】35

【例3】小倩有一串彩色珠子，按紅、黃、藍(lán)、綠、白五種顏色排列.

⑴第73顆是什么顏色的？

⑵第10顆黃珠子是從頭起第幾顆？

⑶第8顆紅珠子與第II顆紅珠子之間（不包括這兩顆紅珠子）共有幾顆珠子？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】⑴這些珠子是按紅、黃、藍(lán)、綠、白的挨次排列，每一組有5顆.73+5=14（組）……3（顆），第

73顆是第15組的第3顆，所以是藍(lán)色的.

⑵第10顆黃珠子前面有完整的9組，一共有5x9=45（顆）珠子.第10顆黃珠子是第/0組的第2

顆，所以它是從頭數(shù)的第47顆.列式：5x9+2=43+2=47（顆）

（3）第8顆紅珠子與第II顆紅珠子之間一共有14顆珠子.第8顆紅珠子與第II顆紅珠子之間有

完整的兩組（第9、10組），共/0顆珠子，第8顆紅珠子后面還有4顆珠子，所以是14顆.列式：

5x2+4=10+4=14（顆）.

【客案】⑴藍(lán)色（2）47（3）14

【鞏固】在一根繩子上依次穿2個(gè)紅珠、2個(gè)白珠、5個(gè)黑珠，并按此方式反復(fù)，假如從頭開頭數(shù)，直到

第5（）顆，那么其中白珠有多少顆？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】50-5-（2+24-5）=5…5.5x2+2=12（個(gè)）.

【各案】12

【例4】節(jié)日的夜景真秀麗，街上的彩燈依據(jù)5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接1盞黃燈，然后又是5

盞紅燈、4盞藍(lán)燈、1盞黃燈......這樣排下去.問：

⑴第150盞燈是什么顏色？

⑵前200盞彩燈中有多少盞藍(lán)燈？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】⑴街上的彩燈依據(jù)5盞紅燈、再接4盞藍(lán)燈、再接1盞黃燈，這樣一個(gè)周期變化的，實(shí)標(biāo)上一個(gè)

周期就是5+4+1=】0（盞）燈.150+（5+4+1）=15,150盞燈剛好15個(gè)周期，所以第150盞應(yīng)

當(dāng)是這個(gè)周期的最終一盞，是黃色的燈.

⑵假如是200盞燈，就是200+（5+4+1）=20的周期.每個(gè)周期都有4盞籃燈，20x4=80（盞）

前200盞彩燈中有80盞藍(lán)燈.

【率案】⑴黃色（2）80

【鞏固】節(jié)日的校內(nèi)內(nèi)掛起了一盞盞小電燈，小明看出每兩個(gè)白燈之間有紅、黃、綠各一盞彩燈.也就是

說，從第一盞白燈起，每一盞白燈后面都緊接著有3盞彩燈.那么第73盞燈是什么顏色的燈？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】從第一盞白燈開頭，每隔三盞彩燈就又消滅一盞白燈，不難看出白燈的編號依次是：

1,5,9,13,……，這些編號被4除所得的余數(shù)都是1.73=4x18+1,即73被4除的余數(shù)是

1,因此第73盞燈是白燈.

【答案】白燈

【鞏固】按下面的擺法，擺一百個(gè)三角形，請問第100個(gè)三角形是什么顏色的？在這100個(gè)三角形中有

多少個(gè)白色的三角形？

……

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】從圖中可以看出，依據(jù)6個(gè)為一個(gè)周期，由于100+6=16…4,所以第100個(gè)三角形應(yīng)當(dāng)是這一

個(gè)周期當(dāng)中的第四個(gè)，應(yīng)當(dāng)是黑色的.每個(gè)周期里有3個(gè)白色的，一共有16個(gè)周期就有48個(gè)

白色三角形，余下的4個(gè)三角形中還有3個(gè)白色的，所以一共有16x3+3=51個(gè).

【答案】51

【鞏固】流水線上給小木球涂色的次序是：先5個(gè)紅、再4個(gè)黃、再3個(gè)綠、在2個(gè)黑、再1個(gè)白，然后

又依次是5紅、4黃、3綠、2黑、1白……如此連續(xù)涂下去，到第2003個(gè)小球該涂什么顏色？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】小木球的涂色挨次是：“5紅、4黃、3綠、2黑、1白”，也就是每涂過“5紅、4黃、3綠、2

黑、1白”循環(huán)一次，給小木球涂色的一個(gè)周期是5+4+3+2+1=15,因此只要用2003除以

15,

2003?15=133…8依據(jù)余數(shù)是8就可以推斷：第2003個(gè)小木球消滅在上面所列一個(gè)周期中第8

個(gè)，所以第2003個(gè)小球是涂黃色.

【客案】涂黃色

【例5】奧運(yùn)會就要到了，京京特意做了一些“北京歡迎你”的條幅，這些條幅連起來就成了：“北京歡

迎你北京歡迎你北京歡迎你……”依次排列，第28個(gè)字是什么字？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】這道題是按“北京歡迎你”的規(guī)律重復(fù)排列，即5個(gè)字為一個(gè)周期.由于28+5=5…3,所以28

個(gè)字里含有5個(gè)周期還多3個(gè)字，即第28個(gè)字就是所列一個(gè)周期中的第3個(gè)字，所以第28個(gè)

字是“歡”字.

【客案】“歡”

【鞏固】在圖所示的表中，將每列上、下兩個(gè)字組成一組，例如第一組為（新奧），其次組為（北林），

那么第50組是什么？

新北京新奧運(yùn)新北京新奧運(yùn)新北京新奧運(yùn)…="

奧林匹克運(yùn)動(dòng)會奧林匹克運(yùn)動(dòng)會奧林匹克運(yùn)動(dòng)會……一

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】要知道第50組是哪兩個(gè)教，我們首先要弄清楚第一行和其次行的第50個(gè)字分別應(yīng)當(dāng)是什么.第

一行“新北京新奧運(yùn)”是6個(gè)字一個(gè)周期，50+6=8…2,第50個(gè)字就是北.再看其次行“奧林匹

克運(yùn)動(dòng)會”是7個(gè)字一個(gè)周期，50^7=7...1,第50個(gè)字就是奧.把第一行和其次行合在一起，

第50組就是“北奧”.

【答案】“北奧”

【例6】小莉把平常積存下來的200枚硬幣按3個(gè)1分，2個(gè)2分，1個(gè)5分的挨次排列起來.

⑴最終1枚是幾分硬幣

⑵這200枚硬幣一共價(jià)值多少錢？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】（1）每個(gè)周期有3+2+1=6枚硬幣，要求最終一枚，用這個(gè)數(shù)除以6,依據(jù)余數(shù)來推斷

200+6=33.......2,所以最終一枚是1分硬幣

⑵每個(gè)周期中6枚硬幣共價(jià)值1x3+2x2+1x5=12（分），用這個(gè)數(shù)乘以周期次數(shù)再加上余下

的，就可以得到一共價(jià)值多少了12x33+2=398（分），所以，這200枚硬幣一共價(jià)值398

分.

【察案】（1）1分硬幣（2）398分

【鞏固】桌子上擺了很多硬幣，按一個(gè)一角，兩個(gè)五角，三個(gè)一元的次序排列，一共19枚硬幣.問：最

終一個(gè)是多少錢的？第十四個(gè)是多少錢的？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】19+6=3…1,14+6=2…2,所以，第19枚硬幣是一角的，第14枚硬幣是五角的.

【答案】最終一個(gè)是一角的，第十四個(gè)是五角的

【例7】有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的挨次輪番排列，最終一朵是什么顏色的花?

這249朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少幾朵？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】這些花按5紅、9黃、13綠的挨次輪番排列，它的一個(gè)周期內(nèi)有5+9+13=27（朵）花.由于

249?27=9……6,所以，這249朵花中含有9個(gè)周期還余下6朵花.按花的排列規(guī)律，這6朵

花中前5朵應(yīng)是紅花，最終一朵應(yīng)是黃花.在這一個(gè)周期里，綠花最多，紅花最少，所以在249

朵花中，自然也是綠花最多，紅花最少.少幾朵呢？有兩種解法：

(方法1)249+(5+9+13)=9........6

紅花有：5x9+5=50（朵）綠花有：13x9=117（朵）紅花比綠花少：117-50=67（朵）

（方法2）249+（5+9+13）=96,一個(gè)周期少的：13-5=8（朵），9x8=72（朵），余下的6

朵中還有5朵紅花，所以72-5=67（朵）.

【答案】紅花最少，少67朵

【鞏固】如圖所示，每列上、下兩個(gè)字（字母）組成一組，例如，第一組是“我，A”，其次組是“們,

8”

我們愛科學(xué)我們愛科學(xué)我??????

ABCDEFGABCD...

⑴寫出第62組是什么？

⑵假如“愛，C”代表1991年，那么“科，?！贝?992年……問2008年對應(yīng)怎樣的組？

【考點(diǎn)】周期問題【理度】2星【題型】解答

【解析】⑴要求第62組是什么數(shù)，我們要分別求出上、下兩行是什么字（字母），上面一行是以“我們愛科

學(xué)”五個(gè)字為一個(gè)周期，下面一行則是以“ABCDEFG”七個(gè)字母為一個(gè)周期

62+5=12……2,62+7=8……6,所以第62組是“們，尸'

⑵2008是1991之后的第17組，現(xiàn)在上面一行按“科學(xué)我們愛”五個(gè)字為一個(gè)周期，下面一行則

按“DEFGABC”七個(gè)字母為一個(gè)周期：2008-1991=17（組），17+5=3......2

17+7=2……3,所以2008年對應(yīng)的組為“學(xué),尸

【答案】⑴第62組是“們，尸‘⑵2008年對應(yīng)的組為“學(xué)，F(xiàn)”

【例8】如右圖，是一片剛剛收割過的稻田，每個(gè)小正方形的邊長是

1米，A、5、。三點(diǎn)四周的陰影部分是圓形的水洼。一只小

鳥飛來飛去，四處覓食，它最初停留在0號位，過了一會

兒，它躍過水洼，飛到關(guān)于4點(diǎn)對稱的1號位；不久，它

又飛到關(guān)于8點(diǎn)對稱的2號位；接著，它飛到關(guān)于C點(diǎn)對

稱的3號位，再飛到關(guān)于A點(diǎn)對稱的4號位，……，如此

連續(xù)，始終對稱地飛下去。由此推斷，2004號位和0號位

之間的距離是多少米？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】。米。依據(jù)題上給出的條件，動(dòng)手畫出，就可以了！四次再次回到（）號位置！2004是4的倍數(shù),

所以第2004號位和0號位之間的距離是。米。

【客案】0米

板塊二、數(shù)列中的周期問題

【例9】小和尚在地上寫了一列數(shù)：7,0,2,5,3,7,0,2,5,3...

你知道他寫的第81個(gè)數(shù)是多少嗎？

你能求出這81個(gè)數(shù)相加的和是多少嗎？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】（1）從排列上可以看出這組數(shù)按7,0,2,5,3依次重復(fù)排列，那么每個(gè)周期就有5個(gè)數(shù).81個(gè)

數(shù)則是16個(gè)周期還多1個(gè)，第1個(gè)數(shù)是7,所以第81個(gè)數(shù)是7,81-5=16...1

⑵每個(gè)周期各個(gè)數(shù)之和是：7+0+2+5+3=17.再用每個(gè)周期各數(shù)之和乘以周期次數(shù)再加上余下

的各數(shù)，即可得到答案.17x16+7=279,所以，這81個(gè)數(shù)相加的和是279.

【答案】⑴第81個(gè)數(shù)是7⑵這81個(gè)數(shù)相加的和是279

【鞏固】依據(jù)下面一組數(shù)列的規(guī)律求出51是第幾個(gè)數(shù)？

1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17.......

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】觀看題目可知數(shù)列個(gè)位數(shù)字每九個(gè)數(shù)一組，十位數(shù)字依次增加，0?4共五個(gè)數(shù)，則可列式為：5x9

+1=46,即51為第46個(gè)數(shù)。

【零案】第46個(gè)數(shù)

【鞏固】如右圖所示的數(shù)表中，從左往右依次看作五列，第99行右邊第一個(gè)數(shù)是幾？

024

121086

141618

26242220

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】每7個(gè)數(shù)，分成兩行一個(gè)周期，99+2=49……1,第98行中最大的那個(gè)數(shù)為:（49x7-1）x2=684,

所以第99行從左到右的數(shù)依次為：686、688、690,第99行右邊第一個(gè)數(shù)是690

【答案】690

【鞏固】某個(gè)早晨，容器中有200個(gè)細(xì)菌，白天有光照，容器中的細(xì)菌將削減65個(gè)，夜間無光照，容器中的細(xì)

菌將增加40個(gè).則在第幾個(gè)白天，容器中的細(xì)菌全部死亡！

【考點(diǎn)】周期問題【難度】2星【題型】解答

【解析】該題屬于周期中的削減問題，即不完全依據(jù)周期回一晝夜細(xì)菌削減65—40=25個(gè)，200-25=8

天，該解法有誤.第6天的時(shí)候剩余細(xì)菌：200-25x6=50,則第7天就可.

【答案】第7天

【例10］（D4x4x........x4（25個(gè)4）,積的個(gè)位數(shù)是幾？

⑵24個(gè)2相乘，積末位數(shù)字是幾？

【考點(diǎn)】周期問題【痛度】3星【題型】解答

【解析】⑴依據(jù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)，積的末位數(shù)字的規(guī)律是：4,6,4,6,4,6,.........奇數(shù)個(gè)4用乘得數(shù)的

末位數(shù)字是4,偶數(shù)個(gè)4相乘得數(shù)的末位數(shù)是6,所以25+2=12-1,25個(gè)4相乘，積的末位

數(shù)字是4.

⑵依據(jù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)，末殳數(shù)字的規(guī)律是2,4,8,6,2,4,8,6............4個(gè)一組24?4=6,

所以24個(gè)2相乘，積末位數(shù)字是6.

【答案】⑴末位數(shù)字是4⑵末位數(shù)字是6

【鞏固】緊接著1989后面寫一串?dāng)?shù)字，寫下的每一個(gè)數(shù)字都是它前面兩個(gè)數(shù)字的乘積的個(gè)位數(shù).例

如，8x9=72,在9后面寫2,9x2=18,在2后面寫8........得到一串?dāng)?shù)字：19892868…，

問：這串?dāng)?shù)字從1開頭，往右數(shù)，第Z999個(gè)數(shù)字是幾？這1999個(gè)數(shù)字的和是多少？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴依據(jù)題意，寫出這列數(shù)的前面部分?jǐn)?shù)字：19892868842868842……“286884”這6個(gè)數(shù)字重復(fù)消

滅，周期是6.

（2）第1999個(gè)數(shù)字是：由于（1999—4）+6=332…3,所以，第/999個(gè)數(shù)字是6.

⑶這1999個(gè)數(shù)字的和是：

（1+9+8+9）4-（2+84-64-8+8+4）x332+（2+8+6）=27+11952+16=11995

【答案】第/999個(gè)數(shù)字是6;這1999個(gè)數(shù)字的和是11995

【例11】12個(gè)同學(xué)圍成一圈做傳手絹的玩耍，如圖.

⑴從1號同學(xué)開頭，順時(shí)針傳/00次，手絹應(yīng)在誰手中？

⑵從1號同學(xué)開頭，逆時(shí)針傳/00次，手絹又在誰手中？

⑶從1號同學(xué)開頭，先順時(shí)針傳/56次，然后從那個(gè)同學(xué)開頭逆時(shí)針傳143次，再順時(shí)針傳107

次，最終手絹在誰手中？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】（D由于一圈有/2個(gè)I可學(xué)，所以傳一圈還回到原來I可學(xué)手中，現(xiàn)在，從I號開頭，順忖針傳/00

次，我們先用除法求傳了幾圈、還余幾次.100+12=8（圖）……4（次）從1號同學(xué)順時(shí)針傳4次

正好傳到5號同學(xué)手中.

⑵與第一小題的道理一樣，先做除法.100+12=8（圉）...4（次）這4次是逆時(shí)針傳，正好傳到9

號同學(xué)手中（如圖）.

⑶先順時(shí)針傳156次，然后逆時(shí)針傳/43次，相當(dāng)于順時(shí)針傳156-143=13（次）；再順時(shí)針傳/07

次，與13次合并，相當(dāng)于順時(shí)針傳13+107=120（次），1204-12=10（?）,手絹又回到/號同學(xué)手

中.

【卷案】（1）5號同學(xué)（3）/號同學(xué)

【鞏固】8個(gè)隊(duì)員圍成一圈做傳球玩耍，從⑴號開頭，按順時(shí)針方向向下一個(gè)人傳球.在傳球的同時(shí)，按

挨次報(bào)數(shù).當(dāng)報(bào)到72時(shí)，球在幾號隊(duì)員手上？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】將8名隊(duì)員看作一組，每組報(bào)8個(gè)數(shù)，72個(gè)數(shù)可以分成幾組：72+8=9組，沒有余數(shù)，球正好在

一組的最終一位隊(duì)員手中，因此球應(yīng)當(dāng)在8號隊(duì)員手上.

【客案】8號隊(duì)員

【鞏固】如圖，電子跳蚤每跳一步，可從一個(gè)圓圈跳到相鄰的圓圈.現(xiàn)在，一只紅跳蚤從標(biāo)有數(shù)字.的圓

圈按順時(shí)針方向跳了1991步，落在一個(gè)圓圈里.一只黑跳蚤也從標(biāo)有數(shù)字.的圓圈起跳，但它

是沿著逆時(shí)針方向跳了1949步，落在另一個(gè)圓圈里.問：這兩個(gè)圓圈里數(shù)字的乘積是多少？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】解答此類問題時(shí)，只要能發(fā)覺旋轉(zhuǎn)周期現(xiàn)象，并充分加以利用，就能較快找到解題的關(guān)鍵.本題

中，不難看出這是一個(gè)與周期性有關(guān)的問題，電子跳蚤每跳12步就回到了原來的位置，如此循

環(huán)，周期為12.

⑴由于1991+12=165II,所以，紅跳蚤跳了1991步后落到了標(biāo)有數(shù)字II的圓圖.

⑵由于1949+12=1625,所以，黑跳蚤跳了1949步后落到了標(biāo)有數(shù)字7的圓圖.

⑶所求的乘積是11x7=77.

【客案】77

【鞏固】如下圖，把1?8八個(gè)號碼擺成一個(gè)圓圈，現(xiàn)有一個(gè)小球，第一天從1號開頭按順時(shí)針方向前進(jìn)

329個(gè)位置，其次天接著按逆時(shí)針方向前進(jìn)485個(gè)位置，第三天又順時(shí)針前進(jìn)329個(gè)位置，第四

天再逆時(shí)針前進(jìn)485個(gè)位置……如此連續(xù)下去，問至少經(jīng)過幾天，小球又回到原來的1號位置？

1

82

13

654

【考點(diǎn)】周期問題【痛度】3星【題型】解答

【解析】依據(jù)題意，小球按順時(shí)針、逆時(shí)針、順時(shí)針、逆時(shí)針……兩天一個(gè)周期循環(huán)變換方向.每一個(gè)周期

中，小球?qū)嶋H上是按逆時(shí)針方向前進(jìn)485-329=156（個(gè)）位置.156-8=19……4,就是說，每個(gè)周

期（2天）中，小球是逆旋轉(zhuǎn)了19周后再逆時(shí)針前進(jìn)4個(gè)位置.要使小球回到原來的1號位，至

少應(yīng)逆時(shí)針前進(jìn)8個(gè)位量.8:4=2（個(gè)）周期，2x2=4（天），所以至少要用4大，小球才又回到

原來“1”號位置.

【答案】4天

【鞏固】如下圖，有16把椅子擺成一個(gè)圓圈，依次編上從1到16的號碼.現(xiàn)在有一人從第I號椅子順時(shí)

針前進(jìn)328個(gè)，再逆時(shí)針前進(jìn)485個(gè)，又順時(shí)針前進(jìn)328個(gè)，再逆時(shí)針前進(jìn)485個(gè)，又順時(shí)針

前進(jìn)136個(gè)，這時(shí)他到了第幾號椅子？

162

15

3

14

V.J

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】這個(gè)人順時(shí)針前進(jìn)了328+328+136=792個(gè)位置，由于792X6=49…8,所以他走到9號位置.又這

個(gè)人逆時(shí)針共退回485+485=970個(gè)位置，由于970+16=60…10,因此這個(gè)人到了第15(=9+16-10)

號椅子.

【答案】15

【列12】甲、乙兩人對一根3米長的木棍涂色。首先，甲從木棍的端點(diǎn)開頭涂黑色5厘米，間隔5厘米

不涂色，再涂5厘米黑色，這樣交替做到底。然后，乙從木棍同一端點(diǎn)開頭留出6厘米不涂色，

然后涂6厘米黑色，再間隔6厘米不涂色，交替做到底，最終木棍上沒有被涂黑色部分的總長

度是多少？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】此題最好畫圖為同學(xué)們示意：在前30厘米內(nèi)未被涂黑的是：I,3,5,在31-60厘米內(nèi)的是：4,

2,因此60厘米一個(gè)周期：(1+3+5+4+2)X300/6075厘米.

【咨案】75厘米

【例13】右圖中，任意三個(gè)連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個(gè)數(shù)的連乘積都是891,那么8代表多少？

O°O

?0

°00

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】依據(jù)“任意三個(gè)連續(xù)的小圓圈內(nèi)三個(gè)數(shù)的連乘積都是891”，可知任意一個(gè)小圓圈中的數(shù)和與它相

隔2個(gè)小圓圈的小圓圈中的數(shù)是相同的.

于是：5=891+(9x9)=11.

【客案】11

【鞏固】課外活動(dòng)時(shí)，甲、乙、丙、丁四人排成一個(gè)圓圈依次報(bào)數(shù).甲報(bào)“I”，乙報(bào)“2%丙報(bào)“3”，丁報(bào)

“4”，這樣每人報(bào)的數(shù)總比前一個(gè)人多1.問“34”是誰報(bào)的？“71”是誰報(bào)的？

【考點(diǎn)】周期問題【淮度】3星【題型】解答

【解析】依據(jù)題意，甲從力”開頭報(bào)數(shù)，一共報(bào)了34次.由于是4個(gè)人在報(bào)數(shù)，所以報(bào)4次就要重復(fù)一遍，

也就是說是以4為一個(gè)周期重復(fù)的.34里面有8個(gè)周期還余2次，所以“34”應(yīng)是重復(fù)8遍以后其

次個(gè)人報(bào)的,即乙報(bào)的.71+4=17-3.所以“71”應(yīng)是第三個(gè)人報(bào)的,即丙報(bào)的.

【客案】“34”是乙報(bào)的；“71”是丙報(bào)的

【鞏固】同學(xué)們在科技館參與活動(dòng),誰最先參與玩耍呢？同學(xué)們想了個(gè)好方法，大家排成一排I?2報(bào)數(shù)，

報(bào)2的同學(xué)再I?2報(bào)數(shù)，這樣依次進(jìn)行下去，最終報(bào)2的這名同學(xué)先玩，假如這列一共有12

人，最先玩的同學(xué)是這一列中的第幾個(gè)？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】第一次1?2報(bào)數(shù)，報(bào)2的是第2,4,6,8,10,12這幾個(gè)同學(xué)，這些同學(xué)再1?2報(bào)數(shù)，報(bào)2的

是第4,8,12這三名同學(xué)，最終這三名同學(xué)再I?2報(bào)數(shù)，就只剩下第8個(gè)同學(xué)是報(bào)2,所以最

先玩的這個(gè)同學(xué)是這列中的第8個(gè).

【卷案】第8個(gè)

【鞏固】1999名同學(xué)從前往后排成一列，按下面的規(guī)章報(bào)數(shù)：假如某名同學(xué)報(bào)的數(shù)是一位數(shù)，那么后一

個(gè)同學(xué)就要報(bào)出這個(gè)數(shù)與9的和；假如某名同學(xué)報(bào)的數(shù)是兩位數(shù)，那么后一個(gè)同學(xué)就要報(bào)出這

個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)與6的和。現(xiàn)讓第一個(gè)同學(xué)報(bào)1,那么最終一名同學(xué)報(bào)的數(shù)是（）o

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】填空

【解析】列出前幾個(gè)數(shù)：1、10、6、15、II、10、6、15、I、10、6、…

可以看出除去第一個(gè)數(shù)之外后面每四個(gè)數(shù)一循環(huán)，所以（1999-1）-4=49丈..2,那么最終一

名同學(xué)報(bào)的數(shù)是6。

【答案】6

【例14】某班43名同學(xué)圍成一圈。由班長起從1開頭連續(xù)報(bào)數(shù)，誰報(bào)到100,誰就表演一個(gè)節(jié)目；然后

再由這個(gè)同學(xué)起從1開頭連續(xù)報(bào)數(shù)，結(jié)果第一個(gè)表演節(jié)目的是小明，其次個(gè)演節(jié)目的是小強(qiáng)。

那么小明和小強(qiáng)之間有名同學(xué)。

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】填空

【關(guān)鍵詞】迎春杯，中班級，初賽

【解析】100+43=2…14。小明和小強(qiáng)之間有同學(xué)14一2=121名）或43—14=29。

【答案】29

15］試驗(yàn)室里有一只特殊的鐘，一圈共有20個(gè)格.每過7分鐘，指針跳一次，每跳一次就要跳過9個(gè)

格，今日早晨8點(diǎn)整的時(shí)候，指針恰好從0跳到9,問：昨天晚上8點(diǎn)整的時(shí)候指針指著幾？

【考點(diǎn)】周期問題【世度】3星【題型】解答

【解析】昨晚8點(diǎn)至今早8點(diǎn)，頭經(jīng)受60x12=720（分鐘），720+7=1026,說明從今早8點(diǎn)整起，7分

鐘，7分鐘…往回?cái)?shù)，昨晚8點(diǎn)后，第1次指針跳是8點(diǎn)6分，直到今早7點(diǎn)53分，指針正好跳

到“0”位，指針共跳了102次.

由于每次跳9格，所以共跳了9x102=918（格）.每20格一囤，918?20=4518,因此從“0”位

開頭，往回倒45圈，還要倒回18格，正是昨晚8點(diǎn)時(shí)指針?biāo)柑帲?0-18=2,因此昨晚8點(diǎn)

整時(shí)指針正指著2.

【客案】2

【鞏固】有A、B、C三個(gè)蜂鳴器，每次持續(xù)鳴叫的時(shí)間比例是3:4:5.每個(gè)蜂鳴器每次鳴叫完后停8秒

鐘又開頭鳴叫.最初三個(gè)螺鳴器同時(shí)開頭鳴叫，14分鐘后其次次同時(shí)開頭鳴叫，此時(shí)8蜂鳴器

已是第43次鳴叫了.問：最初同時(shí)開頭鳴叫后的多少秒A與。第一次同時(shí)結(jié)束鳴叫？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】14分鐘即14x60=840秒，依據(jù)題意可知在840秒內(nèi)6蜂鳴器已經(jīng)鳴叫了42次，也停了42次，

那么8蜂鳴器每一次鳴叫加停止的時(shí)間為840+42=20秒，所以8蜂鳴器每次鳴叫持續(xù)的時(shí)間為：

20-8=12秒，那么A蜂鳴器每次鳴叫持續(xù)9秒，C蜂鳴器每次鳴叫持續(xù)15秒，

則A、C兩個(gè)蜂鳴器每次鳴叫加停止的時(shí)間分別為9+8=17秒和15+8=23秒，

由于［17,23］=391,所以經(jīng)過391秒之后A與。要其次次同時(shí)開頭鳴叫，由于在此時(shí)A與C都停

止鳴叫了8秒，所以A與C第一次同時(shí)結(jié)束鳴叫是在最初開頭鳴叫之后的第391-8=383秒.

【客案】383秒

【例16】有一個(gè)111位數(shù)，各位數(shù)字都是1,這個(gè)數(shù)除以6,余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？

【考點(diǎn)】周期問題【舉度】3星【題型】解答

【解析】我們可以用列表的方法尋求周期.

被除數(shù)中“1”的個(gè)數(shù)1234567???

除以6后余數(shù)的末位數(shù)字1531531???

除以6后商的末位數(shù)字0185185?..

通過表格我們可以發(fā)覺，余數(shù)消滅的周期為3（1,5,3）;第1個(gè)“1”上相對應(yīng)的商為“0”，從其

次個(gè)“1”開頭，商的未位數(shù)字的周期為3（I,8,5）

由于111+3=37,所以這個(gè)數(shù)除以6后余數(shù)的末位數(shù)字是3;

由于（111—1）+3=36-2,所以這個(gè)數(shù)除以6后商的末位數(shù)字是8.

【客案】8

【鞏固】有一個(gè)1111位數(shù)，各位數(shù)字都是1,這個(gè)數(shù)除以6,余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾?

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】余數(shù)消滅的周期為3（1,5,3）：第1個(gè)“1”上相對應(yīng)的商為“0”，從其次個(gè)“1”開頭，商的末位數(shù)

字的周期為3（1,8,5）,由于1111+3=370-1,所以這個(gè)數(shù)除以6后余數(shù)的末位數(shù)字是1：由

于（1111-1）+3=370,所以這個(gè)數(shù)除以6后商的末尾數(shù)字是5.

【答案】5

【例17】求28磔一29加的個(gè)位數(shù)字.

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】由128:4=32知，28⑵的個(gè)位數(shù)與8,的個(gè)位數(shù)相同，等于6。由29:2=14……1知，29?。的個(gè)

位數(shù)與葉的個(gè)位數(shù)相同，等于9.由于6V9,在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為16一

9=7.

【答案】7

【鞏固】算式G67367+762762）X123123的得數(shù)的尾數(shù)是幾？

【考點(diǎn)】周期問題【津度】3星【題型】解答

【解析】這是一道很經(jīng)典的題目，分別找規(guī)律，我們只看個(gè)位數(shù)就夠了：

7:7,9,3,1...,367/4=91…3,個(gè)位數(shù)是3;

2:2,4,8,6....762/4=190...2,個(gè)位數(shù)是4：

3:3,9,7,1……，123/4=30...3,個(gè)位數(shù)是7：

因此個(gè)位數(shù)：（3+4）x7=49.

【率案】49

板塊三、日期中的周期問題

【例18】陽歷1978年I月I日是星期日，陽歷2000年1月I日是星期幾？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】每四年有一個(gè)閏年，閏年的年份被4整除，所以從1978年至1999年共有17個(gè)平年，5個(gè)閏

年，由此可以算出總天數(shù)，用總天數(shù)除以7,余1是星期一，余2是星期二，依次類推

365x17+366x5=8035（天），8035+7=1147（星期）......6（天），所以，陽歷20（）0年1月

1日是星期六.

【答案】星期六

【鞏固】1999年的元旦是星期王，那么據(jù)此你知道2005年的元旦是星期幾嗎？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】00、04是閏年，01、02、03、05是平年，一共度過了：365x6+2=2192（大），2192-7=313...1,

2005年的元旦是星期六

【咨案】星期六

【鞏固】小童的生日是6月27日，這一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期幾呢？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】從日歷上可以看到，每個(gè)星期有7天，就是以7天為一個(gè)周期不斷地重復(fù).6月I日是星期六，

那么再過7天，即6月8日，還是星期六；假如再過14天，即6月15日，還是星期六，所以要

知道6月27日是星期幾，首先要求出6月27日是6月1日后的第幾天，27-1=26（大）；由于

每個(gè)星期都是7天，也就是周期為7,所以26+7=3（星期）…5（天）.這樣，從6月1日開頭

經(jīng)過3個(gè)星期，最終一天是星期六，從這最終一天再過5天就是星期四.

【客案】星期四

【鞏固】今日是星期三，那么從明天起第365天是星期幾？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】題中所說的第365天，不包括今日在內(nèi)，是說“從今日之后的第365天

365+7=52（星期）...1（天），所以，從明天起，到第365天是星期三.

【客案】星期三

[例19]2002年的6月1日是星期六，那么這一年的10月1日是星期幾呢？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】我們只要算出6月1日到10月1日要經(jīng)過多少天，然后依據(jù)7天為一個(gè)周期，運(yùn)用周期變化規(guī)

律解答.由于6月1日與10月1日這兩個(gè)日子不在同一個(gè)月里，就要考慮經(jīng)過月份是什么月？

一共有多少天？由于6月有30天，7月有31天，8月有31天，9月有30天，所以6月1日到

10月1日要經(jīng)過的天數(shù)：30+31+31+30+1=123（天），123+7=17…4,這個(gè)周期從周六

開頭，那么第4天正好是星期二.

【答案】星期二

【鞏固】2008年3月3號是星期一，算一算2008年8月8號奧運(yùn)會開幕是星期幾？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】首先我們應(yīng)當(dāng)算出2008年3月3號到8月8號一共有多少天，（31-2）+30+31+30-31+8=159

（天）.依據(jù)7天為一個(gè)周期，159+7=22…5,這個(gè)周期的第一天是星期一，那么第五天就應(yīng)

當(dāng)是星期五，所以2008年8月8號奧運(yùn)會開幕是星期五.

【答案】星期五

【鞏固】2008年的“六?一"兒童節(jié)是星期日，2008年的“十?一”是星期幾？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【解析】30+31+31+30+1=123（天）123+7=17…4,這個(gè)周期從周日開頭，那么第4天正好是星期三.

【卷案】星期三

【例20】某部84集的電視連續(xù)劇在某星期日開播，從星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，

星期六停播.問：最終一集在星期幾播出？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】每星期播6集，84集播84+6=14個(gè)星期，第一集在星期日播出，所以最終一集在星期五播

出.

【答案】星期五

【鞏固】某人連續(xù)打工24天，賺得190元（日工資10元，星期六做半天工，發(fā)半工資，星期日休息，無

工資）.已知他打工是從1月下旬的某一天開頭的，這個(gè)月的1號恰好是星期日.問：這人打工

結(jié)束的那一天是2月幾日？

【考點(diǎn)】周期問題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽

【解析】由于3x7V24V4x7

所以24天中星期六和星期日的個(gè)數(shù)。都只能是3或4又，190是10的整數(shù)倍.所以24天中的

星期六的天數(shù)是偶數(shù)再由240—190=50（元）

便可知道，這24天中恰有4個(gè)星期六、3個(gè)星期日星期日總是緊接在星期六之后的，因此，這

人打工結(jié)束的那一天必定是星期六.由此逆推回去。便可知道開頭的那一天是星期四由于.1

月1日是星期日.所以1月22日也是星期日，從而1月下旬唯一的一個(gè)星期四是1月26日從