第四章三角形-探索三角形全等的條件講義北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第四章三角形探索三角形全等的條件講義北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)選擇1.(單選)如圖，若兩個(gè)三角形全等，圖中字母表示三角形邊長(zhǎng)，則的度數(shù)為（

）A.B.C.D.2.(單選)如圖，，，，則的度數(shù)為（

）．A.B.C.D.3.(單選)如圖，若≌，則與相等的角是A.B.C.D.4.(單選)已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則的度數(shù)是（

）．A.B.C.D.以上都有可能5.(單選)如圖，這是佳佳制造的風(fēng)箏模型．已知，且，，則是（

）A.5B.6C.7D.86.(單選)如圖，，若，則的周長(zhǎng)等于（

）

A.7B.9C.10D.137.(單選)小明用兩個(gè)全等的等腰三角形與設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，它們關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊的中點(diǎn)，．下列推斷錯(cuò)誤的是（

）A.B.C.D.8.(單選)如圖所示是正方形網(wǎng)格，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）．A.B.C.D.一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.三角形全等的基本概念兩個(gè)三角形能夠完全重合，稱為全等三角形，用符號(hào)”?“表示。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。2.三角形全等的判定條件（教材P75P83）（1）邊邊邊（SSS）判定內(nèi)容：如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

數(shù)學(xué)表達(dá)：在△ABC和△DEF中，

若AB=DE，BC=EF，（2）邊角邊（SAS）判定內(nèi)容：如果兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

數(shù)學(xué)表達(dá)：在△ABC和△DEF中，

若AB=DE，∠B=∠E（3）角邊角（ASA）判定內(nèi)容：如果兩個(gè)三角形的兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

數(shù)學(xué)表達(dá)：在△ABC和△DEF中，

若∠A=∠D，AB=DE（4）角角邊（AAS）判定內(nèi)容：如果兩個(gè)三角形的兩角及其中一角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

數(shù)學(xué)表達(dá)：在△ABC和△DEF中，

若∠A=∠D，∠B=∠（5）直角邊斜邊（HL）判定（僅適用于直角三角形）內(nèi)容：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等。

數(shù)學(xué)表達(dá)：在Rt△ABC和Rt△DEF中，

∠C=∠F=90°，

若二、重難點(diǎn)講解1.判定條件的邏輯關(guān)系（教材P84思考題延伸）充分性：滿足任一判定條件都能保證全等必要性：全等三角形必然滿足所有對(duì)應(yīng)元素相等特別注意：SSA（邊邊角）不能作為判定依據(jù)2.尋找對(duì)應(yīng)元素的技巧（1）字母順序法：根據(jù)題目給出的字母對(duì)應(yīng)關(guān)系

例：△ABC?△DEF?AB對(duì)應(yīng)DE，（2）圖形特征法：

最長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)最長(zhǎng)邊

最大角對(duì)應(yīng)最大角

公共邊或公共角優(yōu)先考慮3.證明全等的書寫規(guī)范（教材P78例1示范）必須明確寫出三個(gè)條件：

1.在哪兩個(gè)三角形中

2.列出三個(gè)對(duì)應(yīng)相等的元素

3.得出結(jié)論例：

在△ABC和△DEF中

AB=DE?三、易錯(cuò)點(diǎn)及解題方法1.常見(jiàn)易錯(cuò)點(diǎn)（1）對(duì)應(yīng)關(guān)系錯(cuò)誤（高頻錯(cuò)誤）

錯(cuò)誤示例：將△ABC?△DEF中的AB（2）判定條件混淆

把SSA當(dāng)作判定條件使用

直角三角形中誤用HL判定普通三角形（3）邏輯表述不完整

缺少”在…中”的前提說(shuō)明

三個(gè)條件未全部列出就下結(jié)論2.解題方法技巧（1）三步分析法①標(biāo)已知：在圖上標(biāo)記所有已知條件

②找缺失：確定還需要的全等條件

③尋途徑：通過(guò)公共邊/角、平行線性質(zhì)等補(bǔ)充條件（2）典型例題解析（教材P82例3變式）題目：已知AB=CD，AD解題步驟：

1.連接AC（輔助線）

2.在△ABC和△CDA中

AB=CD?（3）條件轉(zhuǎn)化技巧等線段代換：若AB=CD，CD等角代換：若∠1=∠2，平行線性質(zhì)：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等3.綜合題突破策略（教材P85拓廣探索）策略：當(dāng)直接條件不足時(shí)，考慮：

1.尋找隱藏的公共邊/公共角

2.利用垂直、平行等產(chǎn)生的等角

3.通過(guò)計(jì)算得出角度或邊長(zhǎng)關(guān)系例：已知AB∥CD，AD∥BC，求證【基礎(chǔ)版】填空1.如圖，，在邊上，，，則的度數(shù)為

．2.如圖，點(diǎn)D、A、E、B在同一直線上，，，，則的長(zhǎng)是

．3.如圖，在銳角中，，，P為上一動(dòng)點(diǎn)，將，分別沿，向外翻折，得到，，連接，當(dāng)面積的最小值為8時(shí)，則的面積為

．4.如圖，已知，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、、，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)．如果，，則線段的長(zhǎng)是

．5.如圖，△ABC≌△DCB，A、B的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)D、C，如果AB=7cm，BC=12cm，AC=9cm，DO=2cm，那么OC的長(zhǎng)是

cm．6.如圖，在中，厘米，厘米，且，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以v厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為4厘米/秒，則當(dāng)與全等時(shí)，v的值為

．7.如果的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，的三邊長(zhǎng)分別為3，，，若這兩個(gè)三角形全等，則

．8.如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B停止，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C停止，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)v為

時(shí)，存在某一時(shí)刻，與全等．三、解答1.【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即從而得到等式化簡(jiǎn)便得結(jié)論這里用兩種求法來(lái)表示同一個(gè)量，從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，(1)求證：四邊形的面積為(2)求梯形，的面積，再探究四邊形的面積與這兩個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理(3)如圖，在中，是邊上的高，求的長(zhǎng)．2.如圖，已知、、、在同一條直線上，，且，與交于點(diǎn)．(1)求證：≌．(2)若，，求的度數(shù)．3.如圖，，于，于，且，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，每分鐘走，點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)每分鐘走

時(shí)，與全等．

4.如圖1，在長(zhǎng)方形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿的路線勻速運(yùn)動(dòng)，直至運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．圖2是點(diǎn)出發(fā)秒后，的面積隨時(shí)間變化的圖象．根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：(1)_______秒，______．(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)并在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)停止，則當(dāng)為何值時(shí)，與可以全等．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)以每秒5個(gè)單位的速度沿邊勻速運(yùn)動(dòng)，直至點(diǎn)停止，則在動(dòng)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，的面積為20．5.如圖，，點(diǎn)D在邊上，，和相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．6.

(1)【問(wèn)題背景】如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，則

．(2)【問(wèn)題探究】小櫻遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)在內(nèi)部作直線，點(diǎn)，在上，且，判斷，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．(3)【問(wèn)題解決】李大爺有塊三角形農(nóng)田，如圖，筆直的小路從農(nóng)田中穿過(guò)，李大爺把農(nóng)田分成若干塊分別種上小麥和油菜，其中和都種植小麥，李大爺發(fā)現(xiàn)，小路與小路交于點(diǎn)且，點(diǎn)、在小路上，且．若小麥種植區(qū)里需要施肥千克（同種農(nóng)作物的施肥量和農(nóng)田的面積成正比），請(qǐng)你幫李大爺算一下小麥種植區(qū)．里需要施肥多少千克？7.如圖，，，，求的長(zhǎng).8.把的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形，如圖，沿著虛線畫出種不同的分法，把的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形．9.如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，，，．求證：．10.如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)的長(zhǎng)度為_(kāi)____（用含的代數(shù)式表示）；(2)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)秒后，與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使與全等？11.如圖①，在中，，，，，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)如圖①，當(dāng)________時(shí)，的面積等于面積的一半；(2)如圖②，中，，，，．在的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，恰好與全等，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．12.如圖，，，.請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【進(jìn)階版】一、選擇1.(單選)如圖，在中，，設(shè)平分，平分，與相交于，于點(diǎn)，則下列結(jié)論①；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有

．A.B.C.D.2.(單選)如圖，為等腰直角三角形，平分，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)；下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④3.(單選)如圖，在中，點(diǎn)M，N分別是邊上的點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)滿足，交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)E，若，則下列結(jié)論：①連接，則平分；②；③；④．成立的是（

）．A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④4.(單選)如圖，，為上一點(diǎn)，且垂足為，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有（

）．A.①②B.②③④C.①②③④D.①③④5.(單選)如圖，中，，的角平分線和的外角平分線相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A.②③④B.①②③④C.①②③D.①②④6.(單選)如圖，，相交于點(diǎn)，且，試添加一個(gè)條件使得．現(xiàn)給出如下五個(gè)條件：①②;③;④;⑤．其中符合要求有A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)7.(單選)如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10，為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，垂足為，連接、，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有（

）A.①②④B.②③⑤C.①②⑤D.①④⑤8.(單選)如圖，在正方形外取一點(diǎn)E，連接、、．過(guò)點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)P．若，．下列結(jié)論：①；②點(diǎn)B到直線的距離為；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A.①②③B.①③⑤C.①②④⑤D.①③④⑤二、填空1.如圖，中，為的中點(diǎn)，且的長(zhǎng)度為整數(shù)，若，，那么的長(zhǎng)度為

．2.如圖，已知中，，，點(diǎn)、、分別在、、上，且是等邊三角形，說(shuō)明的理由．解：因?yàn)?，（已知），所以是等邊三角形?/p>

），所以

（

），因?yàn)槭堑冗吶切危ㄒ阎?，所以，（等邊三角形的性質(zhì)）．所以（等量代換）．因?yàn)?/p>

（

），即，所以．（完成證明過(guò)程）3.小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在

中，，

平分、

于，猜想、、

的數(shù)量關(guān)系．(1)小明閱讀題目后，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入、

的特殊值求

值并尋找它們的數(shù)量關(guān)系，得到下面幾組對(duì)應(yīng)值：（單位：度）上表中

，猜想

與、

的數(shù)量關(guān)系并證明．

(2)小明繼續(xù)研究，在圖②中，，，其它條件不變，若把“

于

”改為“點(diǎn)

是線段

上任意一點(diǎn)，

于

”，則

°（直接寫出結(jié)果）．(3)小明提出問(wèn)題，在

中，，

平分，若點(diǎn)

是線段

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

于

，試探究

與、

的數(shù)量關(guān)系

（直接寫出結(jié)論，不需證明）．4.如圖，在中，，，現(xiàn)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使得，連接BD，CD，若，，則點(diǎn)A到BD的距離為

．

5.如圖，RtABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，EF垂直平分AD分別交AC于E、交AB于F，則BF的最大值為

6.如圖，，，，分別為線段和射線上的一點(diǎn)，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線運(yùn)動(dòng)，二者速度之比為，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在射線上取一點(diǎn)，使與全等，則的長(zhǎng)為

．7.如圖，在中，，分別延長(zhǎng)，至點(diǎn)，．連結(jié)，，在取點(diǎn)，使得，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．若，則

．8.已知如圖等腰，，，于點(diǎn).點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，下面的結(jié)論：①平分；②；③是等邊三角形；④.其中正確的序號(hào)是

.三、解答1.如圖，線段，是線段的中點(diǎn)，線段，且線段在線段上移動(dòng)．(1)當(dāng)時(shí)，

，

．(2)當(dāng)線段在線段上移動(dòng)時(shí)，探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)拓展探究如圖，在直線上方從點(diǎn)出發(fā)引出射線，，，射線在的右邊，且，，平分．①若，求的度數(shù)．②在直線上方繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線在射線的左邊時(shí)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．2.如圖，在四邊形中，，．(1)求的度數(shù)．(2)平分交于點(diǎn)，．求證：．3.點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，射線平分．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；請(qǐng)把下列解題過(guò)程補(bǔ)充完整：，（已知）

∵平分（已知）

（角平分線定義）（已知）

．(2)若圖①中，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(3)將圖①中的三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其他條件不變，那么問(wèn)題（2）中所求出的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，大正方形的邊長(zhǎng)為厘米，小正方形的邊長(zhǎng)為厘米，且．(1)求點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)起始狀態(tài)如圖所示，將大正方形固定不動(dòng)，小正方形以厘米/秒的速度沿軸向右平移，如圖．設(shè)平移的時(shí)間為秒，在平移過(guò)程中兩個(gè)正方形重疊部分的面積為平方厘米．①當(dāng)時(shí)，

平方厘米．②在這段時(shí)間內(nèi)，小正方形的一條對(duì)角線掃過(guò)的圖形的面積為

平方厘米．③在小正方形平移過(guò)程中，若，則小正方形平移的時(shí)間為

秒．(3)將大正方形固定不動(dòng)，小正方形從圖中起始狀態(tài)沿軸向右平移，在平移過(guò)程中，連接，過(guò)點(diǎn)作交直線于，的角平分線所在直線和的角平分線所在直線交于（不考慮點(diǎn)與點(diǎn)重合的情形），求的大小并說(shuō)明理由．5.如圖，在中，、分別垂直平分和，交于、兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)若的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．(2)若，求的度數(shù)．6.如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），、分別平分和，分別交射線于點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)寫出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫出變化規(guī)律．(3)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使時(shí)，的度數(shù)是

．7.如圖，已知，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），，分別平分和交射線于點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)，若，請(qǐng)直接用含的式子表示．(2)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，與之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請(qǐng)求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．8.直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在路線上，．(1)如圖，三角板在直線上方．①若，則

．②若平分，則

．(2)如圖，三角板在直線下方，．求的度數(shù)．(3)類比探究：如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，，線段在數(shù)軸上移動(dòng)，且（點(diǎn)在點(diǎn)的