微專題30　隨機(jī)變量及其分布

板塊五概率與統(tǒng)計微專題30隨機(jī)變量及其分布高考定位離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結(jié)合在一起進(jìn)行考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布，選擇題、填空題、解答題都有出現(xiàn)，中等難度.【

真題體驗

】(2024·北京卷)某保險公司為了解該公司某種保險產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨立，用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；法一記“隨機(jī)抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知索賠次數(shù)為2，3，4，法二記“隨機(jī)抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知可利用間接法計算，(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.①記X為一份保單的毛利潤，估計X的數(shù)學(xué)期望E(X)；由題知X的所有可能取值為0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122.②如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值與①中E(X)估計值的大小.(結(jié)論不要求證明)如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計值比①中E(X)估計值大.證明如下：設(shè)調(diào)整保費后一份保單的毛利潤(單位：萬元)為Y，則對于索賠次數(shù)為0的保單，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，對于索賠次數(shù)為1的保單，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，對于索賠次數(shù)為2的保單，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，對于索賠次數(shù)為3的保單，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，對于索賠次數(shù)為4的保單，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.所以E(X)<E(Y).精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用熱點二隨機(jī)變量的分布列熱點三正態(tài)分布熱點突破熱點一分布列的性質(zhì)及應(yīng)用離散型隨機(jī)變量X的分布列為例1√∴E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正確；對于D，∵D(ξ)＝2，∴D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故D不正確.(2)(2024·名校聯(lián)考)已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示：√分布列性質(zhì)的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質(zhì)可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機(jī)變量X所取的值對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機(jī)變量在某個范圍內(nèi)的概率.規(guī)律方法(1)(2024·安慶質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量X的分布列為訓(xùn)練1√√熱點二隨機(jī)變量的分布列考向1二項分布例2(2024·臨沂模擬)某學(xué)校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)參加游戲的學(xué)生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結(jié)束，規(guī)定：從平地開始，結(jié)束時學(xué)生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認(rèn)定游戲失敗.(1)某學(xué)生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級臺階，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；且X的可能取值為6，7，8，9，所以X的分布列為因為位于第10級臺階則認(rèn)定游戲失敗，無法獲得獎品，(2)甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率.結(jié)合題意可知，若學(xué)員位于第10級臺階，則投擲3次后，學(xué)員位于第7級臺階，投擲第4次上三級臺階，可知不能獲得獎品的概率為所以甲、乙兩位學(xué)生參加游戲，考向2超幾何分布例3(2024·成都診斷)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動，線上線下相結(jié)合的新零售時代已全面開啟，新零售背景下，即時配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評分調(diào)查(滿分100分)，評分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因為20×25%＝5，由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.所以X的所有可能取值為1，2，3.所以X的分布列為求隨機(jī)變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫出X可能的全部取值；(2)求X取每個值對應(yīng)的概率，寫出隨機(jī)變量X的分布列；(3)由均值和方差的計算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機(jī)變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.規(guī)律方法(2024·山西部分學(xué)校聯(lián)考)某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答.小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為p(0<p<1)，且猜中每道謎語與否互不影響.(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；訓(xùn)練2設(shè)小張猜中謎語的道數(shù)為X，可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X的可能取值分別為2，3，4.故小張猜中謎語道數(shù)X的分布列為設(shè)小王猜中謎語的道數(shù)為Y，可知隨機(jī)變量Y服從二項分布Y～B(4，p)，Y的取值分別為0，1，2，3，4，P(Y＝0)＝(1－p)4，P(Y＝4)＝p4.故小王猜中謎語道數(shù)Y的分布列為Y01234P(1－p)44p(1－p)36p2(1－p)24p3(1－p)p4(2)若預(yù)測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求p的取值范圍.熱點三正態(tài)分布解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸x＝μ.(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉(zhuǎn)化為3σ的特殊區(qū)間.A.2000 B.3000 C.4000 D.5000例4√由題易知均值μ＝90，則該市這次考試數(shù)學(xué)成績超過110分的考生人數(shù)約為0.1×50000＝5000.(2)(多選)(2024·宿遷模擬)設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，下列說法正確的是A.變量X的方差為1，均值為0B.P(|X|≤x)＝1－2f(x)C.函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)D.f(－x)＝1－f(x)√隨機(jī)變量X～N(0，1)?σ2＝1，μ＝0，則A正確；√√P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，則B錯誤；隨機(jī)變量X～N(0，1)，結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線關(guān)于x＝0對稱，f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，則D正確.利用正態(tài)曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個結(jié)論的活用：(1)對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).規(guī)律方法(1)(2024·開封模擬)在某項測驗中，假設(shè)測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(78，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測驗數(shù)據(jù)從大到小分為A，B，C，D四個等級，則等級為A的測驗數(shù)據(jù)的最小值可能是(附：若X～N(μ，σ2)，則

P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)A.94 B.86 C.82

D.78訓(xùn)練3√故A等級的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該是μ＋σ＝78＋4＝82.√A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8√由題意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，所以A錯誤，B正確；因為Y～N(2.1，0.12)，P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.8413－0.5＝0.3413，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.3413＋0.5＝0.8413>0.8，所以C正確，D錯誤.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√√2.(2024·合肥模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>1.5)等于 A.0.14

B.0.62 C.0.72 D.0.86隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，所以P(X>1.5)＝1－0.14＝0.86.√3.已知隨機(jī)變量X的分布列為√4.(2024·遼陽模擬)遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質(zhì)量M(單位：kg)服從正態(tài)分布N(25，σ2)，且P(24.9<M<25.1)＝0.8，若從該超市中隨機(jī)選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量在25kg～25.1kg的盤錦大米的袋數(shù)的方差為 A.14.4

B.9.6 C.24

D.48從該超市中隨機(jī)選取60袋盤錦大米，則質(zhì)量為25kg～25.1kg的盤錦大米的袋數(shù)X～B(60，0.4)，故D(X)＝60×0.4×(1－0.4)＝14.4，故選A.√5.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽取3次，每次抽取1件.若抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝ A.2

B.1 C.3

D.4ξ的可能取值為0，1，2.所以ξ的分布列為6.(2024·福州質(zhì)檢)下列命題錯誤的是數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)3x1，3x2，3x3，…，√X～N(1，σ2)，P(X>0)＝0.75，則P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2[P(X>0)－P(X>1)]＝2×(0.75－0.5)＝0.5，故C正確；X為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，則D(X)＝E(X2)－[E(X)]2≥0，故D錯誤.7.(2024·綿陽診斷)若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示，E(X)＝0，D(X)＝1，則P(X<1)＝√又因為P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)，8.“50米跑”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測試項目中的一項，某地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績ξ(單位：秒)服從正態(tài)分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績中隨機(jī)抽取3個，其中成績在(7，9)間的個數(shù)記為X，則 A.P(7<ξ<9)＝0.8 B.E(X)＝1.8 C.E(ξ)>E(5X) D.P(X≥1)>0.9√√由正態(tài)分布的對稱性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A錯誤；X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正確；E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，C錯誤；因為X～B(3，0.6)，9.(2024·武漢調(diào)研)在一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試中，某市高一全體學(xué)生的成績 X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，規(guī)定測試成績不低于60分者為及格，不低于120分者為優(yōu)秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，則 A.μ＝80，σ＝400√√√對于A，由E(X)＝80，D(X)＝400，則μ＝80，σ2＝400，故A錯誤；對于B，由μ＝80，σ2＝400，則X～N(80，202)，則μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤x≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，即從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，故從該市高一全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，10.盒中有4個球，其中1個紅球，1個黃球，2個藍(lán)球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個，取后不放回，直到藍(lán)球全部被取出為止，在這一過程中取球次數(shù)為ξ，則ξ的均值E(ξ)＝________.由