立體幾何球的切接問題高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

性質(zhì)1：外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等，均為球的半徑.性質(zhì)2：過球心的平面截球面所得圓是大圓，大圓的半徑與球的半徑相等.一、性質(zhì)立體幾何：球的切接問題性質(zhì)3：經(jīng)過小圓的直徑與小圓面垂直的平面必過球心，該平面截球所得圓是大圓性質(zhì)4：過球心與小圓圓心的直線垂直于小圓所在的平面.（結(jié)論類比：圓的垂徑定理）性質(zhì)5：球心在大圓面和小圓面上的射影是相應(yīng)圓的圓心.性質(zhì)6：在同一球中，過兩相交圓的圓心垂直于相應(yīng)的圓面的直線相交，交點(diǎn)是球心.（類比：在同圓中，兩相交弦的中垂線交點(diǎn)是圓心）心心相映法二、結(jié)論結(jié)論1：長(zhǎng)方體的外接球的球心在長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)處，即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線中點(diǎn)是外接球的球心結(jié)論2：若由長(zhǎng)方體切得的多面體的所有頂點(diǎn)是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，則所得多面體與原長(zhǎng)方體的外接球相同結(jié)論3：長(zhǎng)方體的外接球直徑就是面對(duì)角線及與此面垂直的棱構(gòu)成的直角三角形的外接圓直徑，換言之，就是：底面的一條對(duì)角線與一條高（棱）構(gòu)成的直角三角形的外接圓是大圓結(jié)論4：圓柱體的上下兩底面圓的圓心連線段的中點(diǎn)是圓柱體的外

接球球心結(jié)論5：圓柱體軸截面矩形的外接圓是大圓，該矩形的對(duì)角線

（外接圓直徑）是球的直徑結(jié)論6：直棱柱的外接球與該棱柱外接圓柱體有相同的外接球結(jié)論7：圓錐體的外接球球心在圓錐的高所在直線上.結(jié)論8：圓錐體軸截面（等腰三角形）的外接圓是大圓，該三角形的外接圓直徑是球的直徑.結(jié)論9：側(cè)棱相等的棱錐的外接球與該棱錐外接圓錐有相同的外接球.終極利器：勾股定理，正、余弦定理（解三角形求線段長(zhǎng)度）三、內(nèi)切球的有關(guān)知識(shí)與方法1.若球與平面相切，則切點(diǎn)與球心連線與切面垂直（與直線切圓的結(jié)論有一致性）2.多面體的內(nèi)切球球心到多面體各面的距離相等（類比：多邊形的內(nèi)切圓）；多面體的外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等（類比：多邊形的外接圓）3.正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。4.正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不一定重合。5.基本方法：（1）構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理；（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法（等體積法）6.7.8.墻角體鱉臑陽(yáng)馬正四面體可構(gòu)造長(zhǎng)方體的幾何體：墻角型:三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐2.鱉臑：四個(gè)面都是直角三角形3.正四面體:所有棱長(zhǎng)都相等，

對(duì)棱相等的四面體4.陽(yáng)馬：一條側(cè)棱垂直底面，底面是矩形的棱錐類型一、墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）

類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）

222222正視圖側(cè)視圖俯視圖

類型三、切瓜模型（兩個(gè)平面互相垂直）

類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球，圓柱的外接球）

題設(shè)：兩個(gè)全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11）

類型五、折疊模型

第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；

題設(shè)六:對(duì)棱相等模型(補(bǔ)形成長(zhǎng)方體)例6棱長(zhǎng)為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是

.例如，正四面體的外接球半徑可用此法。