橢圓的教學(xué)設(shè)計(jì)

選修1-1《2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)北京市京源學(xué)校田娟一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)1.新課程標(biāo)準(zhǔn)理念——高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的思想方法?！痹凇皺E圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的引入與推導(dǎo)中，遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，通過動(dòng)手實(shí)踐、觀察思考、合作交流、應(yīng)用反思等過程，讓學(xué)生逐步將認(rèn)識(shí)由感性上升到理性，把學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)當(dāng)作認(rèn)識(shí)事物的過程來進(jìn)行教學(xué)，努力揭示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程。2.建構(gòu)主義理論——建構(gòu)主義認(rèn)為：知識(shí)不是通過教師講授得到的，而是學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會(huì)文化背景下，借助其他人（包括教師和學(xué)習(xí)伙伴）的幫助，充分利用各種學(xué)習(xí)資源（包括文字教材、音像資料、多媒體課件、軟件工具以及從Internet上獲取的各種教學(xué)信息等等），通過意義建構(gòu)而獲得。由于學(xué)習(xí)是在一定的情境下借助其他人的幫助即通過人際間的協(xié)作活動(dòng)而實(shí)現(xiàn)的意義建構(gòu)過程，因此建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為“情境創(chuàng)設(shè)”、“協(xié)作學(xué)習(xí)”、“會(huì)話交流”是學(xué)習(xí)環(huán)境的基本要素。二、教學(xué)背景分析1.教材分析解析幾何是數(shù)學(xué)一個(gè)重要的分支，它溝通了數(shù)學(xué)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。平面解析幾何問題，就是借助建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，科學(xué)合理地把幾何問題代數(shù)化，運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題。在必修2中學(xué)生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法，并在平面直角坐標(biāo)系中研究了直線和圓這兩個(gè)基本的幾何圖形。在選修1中，教材利用三種圓錐曲線進(jìn)一步深化如何利用代數(shù)方法研究幾何問題。本章所研究的三種圓錐曲線都是重要的曲線，因?yàn)閷@幾種曲線研究的問題基本一致，方法相同，所以教材對這三種圓錐曲線的學(xué)習(xí)的重點(diǎn)放在了橢圓上，通過求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是學(xué)生掌握推導(dǎo)出這一類軌跡方程的一般規(guī)律和化簡的常用方法。因此，“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”起到了承上啟下的重要作用。2.學(xué)情分析知識(shí)方面（1）在必修2第二章里學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，并初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動(dòng)探究橢圓知識(shí)的基礎(chǔ)；（2）根據(jù)日常生活中的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對橢圓有了一定的認(rèn)識(shí)，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認(rèn)識(shí)理性化將會(huì)是對他們的一個(gè)挑戰(zhàn)；（3）在初中階段沒有涉及過含兩個(gè)字母、兩個(gè)根式的方程化簡問題；自身特征方面（1）我所教授的班級(jí)是文科班，他們普遍對數(shù)學(xué)有一定的畏難情緒，但是他們思維比較活躍，對新鮮事物有一定的好奇心和探索欲望，對老師的講授敢于質(zhì)疑，有自己的想法和主見，愿意自己去探索是什么和為什么。并且具備了初步的探索能力；（2）對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)只是停留在表面，對概念的形成過程不重視，所以無法深刻理解；（3）對于較復(fù)雜的計(jì)算問題，往往不知如何動(dòng)手或懶得動(dòng)手，計(jì)算能力較弱。但他們同時(shí)又樂于小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)氣氛濃厚；3.教學(xué)方法及手段新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。本節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、交流、分析、概括等理性思維的基本過程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)過程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用幾何畫板的動(dòng)態(tài)作圖優(yōu)勢為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。三、教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)1.教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能（1）掌握橢圓的定義；（2）理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過程與方法（1）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程，逐步提高學(xué)生的觀察、分析、歸納、類比、概括能力；（2）通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法——坐標(biāo)法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。情感、態(tài)度與價(jià)值觀在動(dòng)手折紙得出橢圓的定義的學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性；親身經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)的對稱、簡潔、和諧美，同時(shí)養(yǎng)成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣，增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)和鍥而不舍的鉆研精神。2.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)四、教學(xué)流程示意圖

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

方程推導(dǎo)

我們已經(jīng)知道，在直角坐標(biāo)平面上直線和圓都有相應(yīng)的方程，從而就可以用代數(shù)的方法來研究它們的幾何性質(zhì)、位置關(guān)系等。那么如何求橢圓的方程呢？

【提問】求圓的方程的一般步驟是什么？

①

建系設(shè)點(diǎn)：【提問】根據(jù)簡單和優(yōu)化的原則，如何建立平面直角坐標(biāo)系？

以兩定點(diǎn)、所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)．，為橢圓上的任意一點(diǎn)，則、．又設(shè)與、的距離的和等于．②

集合表示：由橢圓定義得：動(dòng)點(diǎn)M的集合為：

③

坐標(biāo)化：用含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程表示：．

④

化簡：預(yù)案：移項(xiàng)后兩次平方法引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓圖形和推導(dǎo)出的橢圓方程的系數(shù)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)實(shí)際上對應(yīng)圖形中的特殊線段，不妨令其為，則有，類比由化簡為截距式方程的方法將方程繼續(xù)化簡得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【板書】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．

焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)是、．這里?！咎釂枴咳绻裹c(diǎn)在軸上，橢圓的方程又是什么呢？2．

焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)是、．這里。

引導(dǎo)學(xué)生比較歸納出兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別?？偨Y(jié)歸納：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，因?yàn)?所以可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上。

【練習(xí)】人教B版例2求下列方程表示的橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)：（1）（2）

①

建系設(shè)點(diǎn)②

集合表示③

坐標(biāo)化④

化簡⑤

證明（一般省略）

回答

建立如圖坐標(biāo)系：

小組交流，嘗試化簡

觀察方程的特點(diǎn)，得出標(biāo)準(zhǔn)方程。

記筆記

思考交流，并回答

思考交流，并回答

通過對必修2中坐標(biāo)法研究曲線性質(zhì)方法的復(fù)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到本節(jié)課研究橢圓的一般方法和思路。在標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程中，問題的設(shè)問讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到在推導(dǎo)方程的過程中進(jìn)行等價(jià)變形的重要性，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)演算習(xí)慣。提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神；感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美

讓學(xué)生對橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，體會(huì)問題的本質(zhì)所在，只是位置的不同，圖形是一樣的，為后面的應(yīng)用做準(zhǔn)備

本題是根據(jù)教學(xué)需要將課本的例2前置的一道題，目的是加深學(xué)生對橢圓的焦點(diǎn)位置與標(biāo)準(zhǔn)方程之間關(guān)系的理解，明確不是標(biāo)準(zhǔn)方程的要先將方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定出，再求出c。從而進(jìn)一步認(rèn)清橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程兩種形式，再次突破本節(jié)課的重點(diǎn)——橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式。初步應(yīng)用

例1

根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）

兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-3,0），（3,0），橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的和等于8；（2）

兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-4），（0,4），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)（）（3）

已知橢圓的焦距是6，橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和等于10

學(xué)生思考后回答例1（1）（2）小題是教材上的例題，設(shè)計(jì)目的：一是進(jìn)一步理解橢圓的焦點(diǎn)位置與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系（注意焦點(diǎn)在軸還是在軸上），掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法；二是加深學(xué)生對橢圓定義的理解與運(yùn)用，學(xué)會(huì)運(yùn)用橢圓定義求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。（3）小題是對（1）（2）的變式題，其目的是對學(xué)生進(jìn)行分類討論數(shù)學(xué)思想的滲透，達(dá)到拓展知識(shí)、提高能力的目的。

閱讀課本33頁內(nèi)容。

閱讀課本橢圓的生成方式有多種，課本33頁給出了我們另外一種生成的方式，學(xué)生通過閱讀這部分內(nèi)容，再一次感受橢圓的形成過程。

目標(biāo)檢測

1.

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（課本練習(xí)A第1題（5））2.

設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)。如果點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為4，那么點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離是多少？（課本練習(xí)A第2題的改編題）

學(xué)生獨(dú)立完成這兩道題考查的知識(shí)點(diǎn)和方法與本節(jié)課所講解的內(nèi)容完全一致，通過這兩個(gè)小題對學(xué)生進(jìn)行檢測，一方面可以加深學(xué)生對本節(jié)課的理解，同時(shí)也能夠及時(shí)反饋出學(xué)生對本節(jié)課知識(shí)和方法的落實(shí)情況，便于及時(shí)調(diào)整。

歸納小結(jié)

【課堂總結(jié)】1．

知識(shí)層面2．

方法層面3．

學(xué)習(xí)反思學(xué)生小結(jié)歸納，不足的地方老師補(bǔ)充說明。讓學(xué)生自己小結(jié)，不僅僅總結(jié)知識(shí)，更重要的是總結(jié)數(shù)學(xué)思想方法，這樣可幫助學(xué)生自行構(gòu)建知識(shí)體系，理清知識(shí)脈絡(luò)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

作業(yè)布置1.必做題：課本練習(xí)A

1，練習(xí)A

1（1）（2）（3）（4）2.思考題：（2）已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，則的周長為

;（3）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是

.

分層次布置作業(yè)，幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)；為學(xué)有余力的學(xué)生留有進(jìn)一步探索、發(fā)展的空間。六、學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)1.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（課本練習(xí)A第1題（5））2.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)。如果點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為4，那么點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離是多少？（課本練習(xí)A第2題的改編題）題目12得分正確錯(cuò)誤正確錯(cuò)誤6040學(xué)習(xí)效果評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：題目12標(biāo)準(zhǔn)正答率等級(jí)正答率等級(jí)85％