專題03 變量之間的關(guān)系（考題壓軸壓軸必刷30題）（解析版）

專題03變量之間的關(guān)系（壓軸必刷30題）一．函數(shù)關(guān)系式（共4小題）1．如圖，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，點E在BC上運動，若設(shè)BE的長為x，三角形ACE的面積為y，則y與x的關(guān)系式為y＝﹣2x+12．【答案】y＝﹣2x+12．【解答】解：由線段的和差，得CE＝6﹣x，由三角形的面積，得y＝×4×（6﹣x）＝﹣2x+12，故答案為：y＝﹣2x+12．2．如圖，在△ABC中，邊BC長為10，BC邊上的高AD′為6，點D在BC上運動，設(shè)BD長為x（0＜x＜10），則△ACD的面積y與x之間的關(guān)系式y(tǒng)＝30﹣3x．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵CD＝BC﹣BD＝10﹣x，CD邊上的高是6，∴y＝×6×（10﹣x）＝﹣3x+30＝30﹣3x．故答案為：y＝30﹣3x．3．文具店出售書包和文具盒，書包每個定價為30元，文具盒每個定價為5元．該店制定了兩種優(yōu)惠方案：①買一個書包贈送一個文具盒；②按總價的九折（總價的90%）付款．某班學(xué)生需購買8個書包、若干個文具盒（不少于8個），如果設(shè)文具盒個數(shù)為x（個），付款數(shù)為y（元）．（1）分別求出兩種優(yōu)惠方案中y與x之間的關(guān)系式；（2）購買文具盒多少個時，兩種方案付款相同？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）方案①：y1＝30×8+5（x﹣8）＝200+5x；方案②：y2＝（30×8+5x）×90%＝216+4.5x；（2）由題意可得：y1＝y(tǒng)2，即200+5x＝216+4.5x，解得：x＝32，答：購買文具盒32個時，兩種方案付款相同．4．將長為20cm，寬為8cm的長方形白紙，按如圖所示的方式粘合起來，粘合部分的寬為3cm．（1）根據(jù)題意，將下面的表格補充完整．白紙張數(shù)x（張）12345…紙條總長度y（cm）2037547188…（2）直接寫出y與x的關(guān)系式：y＝17x+3．（3）要使粘合后的長方形總面積為1656cm2，則需用多少張這樣的白紙？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)題意，完成表格如下：白紙張數(shù)x（張）12345…紙條總長度y（cm）2037547188…（2）由題意知y與x的關(guān)系式為y＝17x+3，故答案為：y＝17x+3．（3）1656÷8＝207（cm）當y＝207時，17x+3＝207，解得：x＝12，所以，需要12張這樣的白紙．二．函數(shù)的圖象（共11小題）5．將水勻速滴進如圖所示的容器時，能正確反映容器中水的高度（h）與時間（t）之間對應(yīng)關(guān)系的圖象大致是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：由于容器的形狀是下寬上窄，所以水的深度上升是先慢后快．表現(xiàn)出的函數(shù)圖形為先緩，后陡．故選：D．6．下面坐標平面中所反映的圖象中，不是函數(shù)圖象的是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：函數(shù)是指給定一個自變量的取值，都有唯一確定的函數(shù)值與其對應(yīng)，即垂直x軸的直線與函數(shù)的圖象只能有一個交點，結(jié)合選項可知，只有選項D中是一個x對應(yīng)1或2個y，故D選項中的圖象不是函數(shù)圖象，故選：D．7．均勻地向如圖所示的容器中注滿水，下列圖象中，能反映在注水過程中水面高度h隨時間t變化的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A．B． C．D．【答案】A【解答】解：最下面的容器較細，第二個容器最粗，那么第二個階段的函數(shù)圖象水面高度h隨時間t的增大而增長緩慢，用時較長，最上面容器最大，那么用時最長．故選：A．8．如圖，折線ABCDE描述了一輛能源汽車在某一直線公路上的行駛過程中，汽車離出發(fā)地的距離s（千米）和行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系．根據(jù)圖中提供的信息，給出下列說法，其中正確的說法是（）A．汽車共行駛了120千米 B．汽車在整個行駛過程中停留了2個小時 C．汽車自出發(fā)后前3小時的平均行駛速度為40千米/時 D．汽車自出發(fā)后3小時至4.5小時之間行駛的速度在逐漸減少【答案】C【解答】解：∵汽車共行駛了：120×2＝240（千米），∴選項A不符合題意；∵汽車在整個行駛過程中停留了0.5個小時，∴選項B不符合題意；∵汽車自出發(fā)后前3小時的平均行駛速度為：120÷3＝40（千米/時），∴選項C符合題意；∵汽車自出發(fā)后3小時至4.5小時之間行駛的速度不變，∴選項D不符合題意．故選：C．9．一輛轎車和一輛貨車同時從甲地出發(fā)駛往乙地，轎車到達乙地后立即以另一速度原路返回甲地，貨車到達乙地后停止．如圖所示的圖象分別表示貨車、轎車離甲地的距離（千米）與轎車所用時間（小時）的關(guān)系．當轎車從乙地返回甲地的途中與貨車相遇時，相遇處離甲地的距離為75千米．【答案】75．【解答】解：由圖象可得，貨車的速度為：90÷2＝45（千米/小時），轎車返回時的速度為：90÷（2.5﹣1.5）＝90（千米/小時），設(shè)當轎車從乙地返回甲地的途中與貨車相遇時，貨車行駛的時間為a小時，45a+90（a﹣1.5）＝90，解得，a＝，45×＝75（千米），即相遇處到甲地的距離是75千米．故答案為：75．10．我國很多城市水資源缺乏，為了加強居民的節(jié)水意識，某自來水公司采取分段收費標準，某市居民月交水費y（元）與用水量x（噸）之間的關(guān)系如圖所示，若某戶居民4月份用水18噸，則應(yīng)交水費38.8元．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：將（10，18）代入y＝ax得：10a＝18，解得：a＝1.8，故y＝1.8x（x≤10）將（10，18），（15，31）代入y＝kx+b得：，解得：，故解析式為：y＝2.6x﹣8（x＞10）把x＝18代入y＝2.6x﹣8＝38.8，故答案為：38.811．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地，乙駕車從B地到A地，他們分別以不同的速度勻速行駛，已知甲先出發(fā)6分鐘后，乙才出發(fā)，在整個過程中，甲、乙兩人的距離y（千米）與甲出發(fā)的時間x（分）之間的關(guān)系如圖所示，當乙到達終點A時，甲還需78分鐘到達終點B．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由縱坐標看出甲先行駛了1千米，由橫坐標看出甲行駛1千米用了6分鐘，甲的速度是1÷6＝千米/分鐘，由縱坐標看出AB兩地的距離是16千米，設(shè)乙的速度是x千米/分鐘，由題意，得10x+16×＝16，解得x＝千米/分鐘，相遇后乙到達A站還需（16×）÷＝2分鐘，相遇后甲到達B站還需（10×）÷＝80分鐘，當乙到達終點A時，甲還需80﹣2＝78分鐘到達終點B，故答案為：78．12．甲、乙兩人在一條直線道路上分別從相距1500米的A，B兩點同時出發(fā)，相向而行，當兩人相遇后，甲繼續(xù)向點B前進（甲到達點B時停止運動），乙也立即向B點返回．在整個運動過程中，甲、乙均保持勻速運動．甲、乙兩人之間的距離y（米）與乙運動的時間x（秒）之間的關(guān)系如圖所示．則甲到B點時，乙距B點的距離是87.5米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題可得，甲從A到達B運動的時間為375秒，∴甲的速度為：1500÷375＝4m/s，又∵甲乙兩人從出發(fā)到相遇的時間為200秒，∴乙的速度為：1500÷200﹣4＝3.5m/s，又∵甲從相遇的地點到達B的路程為：175×4＝700米，乙在兩人相遇后運動175秒的路程為：175×3.5＝612.5米，∴甲到B點時，乙距B點的距離為：700﹣612.5＝87.5米，故答案為：87.513．如圖，已知自行車與摩托車從甲地開往乙地，OA與BC分別表示它們與甲地距離s（千米）與時間t（小時）的關(guān)系，則：（1）摩托車每小時走40千米，自行車每小時走10千米；（2）自行車出發(fā)后多少小時，它們相遇？（3）摩托車出發(fā)后多少小時，他們相距10千米？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）摩托車每小時走：80÷（5﹣3）＝40（千米），自行車每小時走：80÷8＝10（千米）．故答案為：40，10；（2）設(shè)自行車出發(fā)后x小時，它們相遇，10x＝40（x﹣3）解得x＝4．（3）設(shè)摩托車出發(fā)后t小時，他們相距10千米；①相遇前：10（t+3）﹣40t＝10，解得t＝；②相遇后：40t﹣10（t+3）＝10，解得：t＝，③摩托車到達終點10（t+3）＝70，解得t＝4答：摩托車出發(fā)后或4小時，他們相距10千米．14．甲騎摩托車從A地去B地，乙開汽車從B地去A地，同時出發(fā)，勻速行駛，各自到達終點后停止，甲、乙兩人間的距離為s（km）與甲行駛的時間為t（h）之間的關(guān)系如圖所示．（1）以下是點M、點N、點P所代表的實際意義，請將M、N、P填入對應(yīng)的橫線上．①甲到達終點P．②甲乙兩人相遇M．③乙到達終點N．（2）AB兩地之間的路程為240千米；（3）求甲、乙各自的速度；（4）甲出發(fā)或h后甲、乙兩人相距180千米；【答案】（1）①P；②M；③N；（2）240；（3）甲的速度是40千米/時，乙的速度是80千米/h．（4）或．【解答】解：（1）分析函數(shù)圖象知出發(fā)2小時時，甲乙在途中相遇；出發(fā)3小時時乙到達A地；6小時時甲到達B地．故答案為：①P；②M；③N；（2）根據(jù)函數(shù)圖象和圖象中的數(shù)據(jù)可以解答本題．由圖象可得，AB兩地之間路程為240千米故答案為：240；（3）甲的速度是：240÷6＝40（千米/時），則乙的速度是：240÷2﹣40＝80（千米/h）；（4）①相遇之前：（240﹣180）÷（40+80）＝（小時）②相遇之后：3+（180﹣120）÷40＝（小時），故答案為：或．15．一列快車、一列慢車同時從相距300km的兩地出發(fā)，相向而行．如圖，l1和l2分別表示兩車到甲地的距離s（km）與行駛時間t（h）的關(guān)系．（1）快車的速度為45km/h，慢車的速度為30km/h；（2）經(jīng)過多久兩車第一次相遇？（3）當快車到達目的地時，慢車距離目的地多遠？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）快車的速度為300÷＝45km/h，慢車的速度為300÷10＝30km/h，故答案為：45，30；（2）＝4h答：經(jīng)過4h兩車第一次相遇；（3）（10﹣）×30＝100km，答：當快車到達目的地時，慢車距離目的地100km．三．動點問題的函數(shù)圖象（共13小題）16．如圖1，在矩形MNPO中，動點R從點N出發(fā)，沿N→P→O→M方向運動至點M處停止．設(shè)點R運動的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形MNPO的周長是（）A．11 B．15 C．16 D．24【答案】C【解答】解：∵x＝3時，及R從N到達點P時，面積開始不變，∴PN＝3，同理可得OP＝5，∴矩形的周長為2（3+5）＝16．故選：C．17．點P（x，y）在第一象限內(nèi)，且x+y＝4，點A的坐標為（4，0），設(shè)△OPA的面積為s，則下列圖象中，能正確反映s與x之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵點P（x，y）在第一象限內(nèi)，且x+y＝4，∴y＝4﹣x（0＜x＜4，0＜y＜4）．∵點A的坐標為（4，0），∴S＝×4×（4﹣x）＝﹣2x+8，∵0＜x＜4，故0＜S＜8，∴D符合．故選：D．18．如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，動點P，Q同時從點A出發(fā)，在正方形的邊上，分別按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度運動，到達點C運動終止，連接PQ，設(shè)運動時間為xs，△APQ的面積為ycm2，則下列圖象中能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：①當0≤x≤2時，∵正方形的邊長為2cm，∴y＝S△APQ＝AQ?AP＝x2；②當2＜x≤4時，y＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2）＝﹣x2+2x所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有A選項圖象符合．故選：A．19．如圖，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6cm，矩形ABCD中AB＝2cm，BC＝10cm，點C和點M重合，點B、C（M）、N在同一直線上，令Rt△PMN不動，矩形ABCD沿MN所在直線以每秒1cm的速度向右移動，至點C與點N重合為止，設(shè)移動x秒后，矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為y，則y與x的大致圖象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵∠P＝90°，PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM＝45°，由題意得：CM＝x，分三種情況：①當0≤x≤2時，如圖1，邊CD與PM交于點E，∵∠PMN＝45°，∴△MEC是等腰直角三角形，此時矩形ABCD與△PMN重疊部分是△EMC，∴y＝S△EMC＝CM?CE＝；故選項B和D不正確；②如圖2，當D在邊PN上時，∵∠N＝45°，CD＝2，∴CN＝CD＝2，∴CM＝6﹣2＝4，即此時x＝4，當2＜x≤4時，如圖3，矩形ABCD與△PMN重疊部分是四邊形EMCD，過E作EF⊥MN于F，∴EF＝MF＝2，∴ED＝CF＝x﹣2，∴y＝S梯形EMCD＝CD?（DE+CM）＝＝2x﹣2；③當4＜x≤6時，如圖4，矩形ABCD與△PMN重疊部分是五邊形EMCGF，過E作EH⊥MN于H，∴EH＝MH＝2，DE＝CH＝x﹣2，∵MN＝6，CM＝x，∴CG＝CN＝6﹣x，∴DF＝DG＝2﹣（6﹣x）＝x﹣4，∴y＝S梯形EMCD﹣S△FDG＝﹣＝×2×（x﹣2+x）﹣＝﹣+6x﹣10，故選項A正確；故選：A．20．已知：如圖①，長方形ABCD中，E是邊AD上一點，且AE＝6cm，點P從B出發(fā)，沿折線BE﹣ED﹣DC勻速運動，運動到點C停止．P的運動速度為2cm/s，運動時間為t（s），△BPC的面積為y（cm2），y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②，則下列結(jié)論正確的有（）①a＝7②AB＝8cm③b＝10④當t＝10s時，y＝12cm2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：當P點運動到E點時，△BPC面積最大，結(jié)合函數(shù)圖象可知當t＝5s時，△BPC面積最大為40，∴BE＝5×2＝10（cm）．在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB＝8（cm）．又?BC?AB＝40，所以BC＝10（cm）．則ED＝10﹣6＝4．當P點從E點到D點時，所用時間為4÷2＝2s，∴a＝5+2＝7．故①和②都正確；P點運動完整個過程需要時間t＝（10+4+8）÷2＝11s，即b＝11，③錯誤；當t＝10時，P點運動的路程為10×2＝20cm，此時PC＝22﹣20＝2（cm），△BPC面積為×10×2＝10cm2，④錯誤．故選：B．21．已知：如圖1，點G是BC的中點，點H在AF上，動點P以每秒2cm的速度沿圖1的邊線運動，運動路徑為：G→C→D→E→F→H，相應(yīng)的△ABP的面積y（cm2）關(guān)于運動時間t（s）的函數(shù)圖象如圖2，若AB＝6cm，則下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)有（）①圖1中的BC長是8cm，②圖2中的M點表示第4秒時y的值為24cm2，③圖1中的CD長是4cm，④圖2中的N點表示第12秒時y的值為18cm2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可以知：從0到2，y隨x的增大而增大，經(jīng)過了2秒，P運動了4cm，因而CG＝4cm，BC＝8cm；P在CD段時，底邊AB不變，高不變，因而面積不變，由圖象可知CD＝4cm，面積y＝＝24cm2．圖2中的N點表示第12秒時，表示點P到達H點，△ABP的面積是18cm2．四個結(jié)論都正確．故選：D．22．如圖①，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，P從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按A→B→C→D的順序在邊上勻速運動，設(shè)P點的運動時間為t秒，△PAD的面積為S，S關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖②所示，當P運動到BC中點時，△PAD的面積為5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖象可知，AB+BC＝6，AB+BC+CD＝10，∴CD＝4，根據(jù)題意可知，當P點運動到C點時，△PAD的面積最大，S△PAD＝×AD×DC＝8，∴AD＝4，又∵S△ABD＝×AB×AD＝2，∴AB＝1，當P點運動到BC中點時，BP＝PC，如圖，作PQ⊥AD于點Q，∴AB∥PQ∥CD，∴PQ為梯形ABCD的中位線，則PQ＝（AB+CD），∴△PAD的面積＝×（AB+CD）×AD＝5，故答案為：5．23．如圖1，在長方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，設(shè)點P的運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則長方形ABCD的周長是16．【答案】16．【解答】解：∵動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，而當點P運動到點C，D之間時，△ABP的面積不變，函數(shù)圖象上橫軸表示點P運動的路程，x＞3時，y不發(fā)生變化，說明BC＝3，x＝8時，接著變化，說明CD＝8﹣3＝5，∴AB＝5，BC＝3，長方形ABCD的周長是：2（AB+BC）＝16，故答案為：1624．如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點P從點A出發(fā)，沿A→B→C以1cm/s的速度運動．設(shè)△APC的面積為S（cm2），點P的運動時間為t（s），變量S與t之間的關(guān)系如圖2所示，則在運動過程中，S的最大值是24cm2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，△APC的面積為S（cm2）∴S＝×AP×BC由圖2可知，當t＝6時，S取得最大值；當t＝14時，S＝0又∵點P從點A出發(fā)，沿A→B→C以1cm/s的速度運動∴AB＝6（cm），BC＝14﹣6＝8（cm）∴S的最大值是×6×8＝24（cm2）故答案為：24cm2．25．如圖1，在長方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，點P從A出發(fā)，沿A→B→C→D的路線運動，到D停止；點Q從D點出發(fā)，沿D→C→B→A路線運動，到A點停止．若P、Q兩點同時出發(fā)，速度分別為每秒1cm、2cm，a秒時P、Q兩點同時改變速度，分別變?yōu)槊棵?cm、cm（P、Q兩點速度改變后一直保持此速度，直到停止），如圖2是△APD的面積s（cm2）和運動時間x（秒）的圖象．（1）求出a值；（2）設(shè)點P已行的路程為y1（cm），點Q還剩的路程為y2（cm），請分別求出改變速度后，y1、y2和運動時間x（秒）的關(guān)系式；（3）求P、Q兩點都在BC邊上，x為何值時P、Q兩點相距3cm？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由圖象可知，當點P在BC上運動時，△APD的面積保持不變，則a秒時，點P在邊AB上，則∴AP＝6則a＝6（2）由（1）6秒后點P變速，則點P已行的路程為y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6∵Q點路程總長為34cm，第6秒時已經(jīng)走12cm，點Q還剩的路程為y2＝34﹣12﹣＝（3）當P、Q兩點相遇前相距3cm時，﹣（2x﹣6）＝3解得x＝10當P、Q兩點相遇后相距3cm時（2x﹣6）﹣（）＝3解得x＝，∴當x＝10或時，P、Q兩點相距3cm26．如圖1，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，動點P從B點出發(fā)，沿B→C→D→A勻速運動，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，圖象如圖2所示．（1）在這個變化中，自變量、因變量分別是x、y；（2）當點P運動的路程x＝4時，△ABP的面積為y＝16；（3）求AB的長和梯形ABCD的面積．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，∴自變量為x，因變量為y，故答案為：x，y；（2）由圖可得，當點P運動的路程x＝4時，△ABP的面積為y＝16，故答案為：16；（3）根據(jù)圖象得：BC＝4，此時△ABP為16，∴AB?BC＝16，即×AB×4＝16，解得：AB＝8；由圖象得：DC＝9﹣4＝5，則S梯形ABCD＝×BC×（DC+AB）＝×4×（5+8）＝26．27．如圖，正方形ABCD的邊長為6cm，動點P從A點出發(fā)，在正方形的邊上由A→B→C→D運動，設(shè)運動的時間為t（s），△APD的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)圖象如圖所示（1）求點P在BC上運動的時間范圍；（2）當t為何值時，△APD的面積為10cm2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）根據(jù)圖象得：點P在BC上運動的時間范圍為6≤t≤12；（2）點P在AB上時，△APD的面積S＝×6×t＝3t；點P在BC時，△APD的面積＝×6×6＝18；點P在CD上時，PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，△APD的面積S＝AD?PD＝×6×（30﹣2t）＝90﹣6t；∴當0≤t≤6時，S＝3t，△APD的面積為10cm2，即S＝10時，3t＝10，t＝，當12≤t≤15時，90﹣6t＝10，t＝，∴當t為s或s時，△APD的面積為10cm2．28．已知動點P以每秒2cm的速度沿圖甲的邊框按從B?C?D?E?F?A的路徑移動，相應(yīng)的△ABP的面積S與時間t之間的關(guān)系如圖乙中的圖象表示．若AB＝6cm，試回答下列問題：（1）圖甲中的BC長是多少？