2.3 函數(shù)的奇偶性 周期性和對(duì)稱性 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

2.3函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性考點(diǎn)1函數(shù)的奇偶性奇偶性滿足的充要條件圖象特征奇函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x

∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果?x

∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱常用結(jié)論

1.函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件.2.若f(x)≠0,則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下:(1)f(x)為奇函數(shù)?f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?

=-1.(2)f(x)為偶函數(shù)?f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?

=1.3.如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x=0處有定義,那么一定有f(0)=0.4.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).5.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間

上具有相反的單調(diào)性.6.若y=f(x+a)是奇函數(shù),則f(-x+a)=-f(x+a);若y=f(x+a)是偶函數(shù),則f(-x+a)=f(x+a).考點(diǎn)2函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)的定義:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)每

一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個(gè)

函數(shù)的周期.2.最小正周期的定義:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù),那么這個(gè)正

數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.提醒

并非所有周期函數(shù)都有最小正周期.知識(shí)拓展

關(guān)于函數(shù)周期性的幾個(gè)常見結(jié)論1.若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.2.若f(x+a)=

或f(x+a)=-

,其中f(x)≠0,則f(x)的周期是T=2|a|.考點(diǎn)3函數(shù)的對(duì)稱性1.函數(shù)的圖象自對(duì)稱性(1)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(a=0時(shí),f(x)為偶函數(shù)),則f(a+x)=f(a-x)?f(2a

+x)=f(-x)?f(2a-x)=f(x).(2)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對(duì)稱(a=0時(shí),f(x)為奇函數(shù)),則f(a+x)=-f(a-x)?f(2a+x)=-f(-x)?f(2a-x)=-f(x).(3)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱,則f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b?f(2a-x)+f(x)=2b.2.兩個(gè)函數(shù)的圖象互相對(duì)稱性(1)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則g(x)=f(2a-x).(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱,則g(x)=2b-f(2a-x).知識(shí)拓展

1.關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=

對(duì)稱;(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)=-f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱;(3)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系f(a+x)+f(b-x)=c,則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)稱.2.對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論:(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|(a≠b);(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期T=2|b-a|(a≠b);(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的周期T=4|b-a|(a≠b).即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)對(duì)于函數(shù)f(x),若存在x0,使得f(-x0)=-f(x0),則f(x)是奇函數(shù).

(

)(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn).

(

)(3)若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則2T也是函數(shù)f(x)的周期.

(

)(4)若函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=2-f(3-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱.

(

)2.(易錯(cuò)題)已知f(x)=ax2+bx是定義在[a-1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是

.3.已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+1,則f(-1)的值為

.4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+2)=-f(x),且當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=-x2+2,則f(2025)=

.××√√-2-1題型一函數(shù)奇偶性的判斷判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法:(2)圖象法:

(3)性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.典例1

(多選)(2024湖南長沙適應(yīng)性考試,9)下列函數(shù)中,是奇函數(shù)的是

(

)A.y=ex-e-x

B.y=x3-x2C.y=tan2x

D.y=log2

ACD解析

對(duì)于A,令f(x)=y=ex-e-x,定義域?yàn)镽,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù),A符合題意;對(duì)于B,令f(x)=y=x3-x2,定義域?yàn)镽,f(-x)=(-x)3-(-x)2=-x3-x2≠-f(x),f(x)不是奇函數(shù),B不符合題意;對(duì)于C,令f(x)=y=tan2x,定義域?yàn)?/p>

,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=tan(-2x)=-tan2x=-f(x),f(x)為奇函數(shù),C符合題意;對(duì)于D,令f(x)=y=log2

,由

>0,解得-1<x<1,即函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=log2

=-log2

=-f(x),f(x)為奇函數(shù),D符合題意.故選ACD.變式訓(xùn)練1-1

(圖象法)已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.f(x)是偶函數(shù),且單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)B.f(x)是偶函數(shù),且單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,1)C.f(x)是奇函數(shù),且單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1)D.f(x)是奇函數(shù),且單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)C解析

f(x)=x|x|-2x=

作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,由圖可知,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),

(1,+∞).故選C.

變式訓(xùn)練1-2

(性質(zhì)法)已知f(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數(shù),則g(x)的解析式可以為

(

)A.g(x)=

-3x

B.g(x)=x3+x2C.g(x)=

+3x

D.g(x)=x2-x3A解析

因?yàn)閒(x)=x3g(x)為定義在R上的偶函數(shù),又因?yàn)閥=x3為奇函數(shù),所以由奇×奇=偶知g(x)為

奇函數(shù).在四個(gè)選項(xiàng)中,只有A選項(xiàng)中的函數(shù)g(x)=

-3x是奇函數(shù),B,C,D選項(xiàng)中的函數(shù)都不是奇函數(shù).故選A.歸納總結(jié)

常見具有奇偶性的函數(shù)類型1.常見的奇函數(shù):(1)函數(shù)f(x)=m·

(x≠0)或函數(shù)f(x)=m·

;(2)函數(shù)f(x)=±(ax-a-x);(3)函數(shù)f(x)=loga

=loga

或函數(shù)f(x)=loga

=loga

;(4)函數(shù)f(x)=loga(

±m(xù)x)(m≠0).2.常見的偶函數(shù):函數(shù)f(x)=±(ax+a-x).(以上各式中a>0,且a≠1)題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用角度1利用奇偶性求值(或解析式)典例2

(2022全國乙文,16,5分)若f(x)=ln

+b是奇函數(shù),則a=

,b=

.-ln2解析

解法一:利用奇函數(shù)的定義求參f(x)=ln

+b=ln

+b=ln

+b,且f(-x)=ln

+b,又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù),∴f(x)+f(-x)=ln

+ln

+2b=0,∴l(xiāng)n

+2b=0恒成立,因此有

=

,則2a+1=0,解得a=-

,-2b=ln

=-2ln2?b=ln2,∴a=-

,b=ln2.解法二:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由已知得x≠1,∴x≠-1,即當(dāng)x=-1時(shí),

=0,∴a+

=0,∴a=-

,此時(shí)f(x)=ln

+b,∵f(x)為奇函數(shù)且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln

+b=ln

+b=0,∴b=-ln

=ln2,此時(shí)f(x)=ln

+ln2=ln

,滿足題意.綜上可知,a=-

,b=ln2.歸納總結(jié)

函數(shù)奇偶性應(yīng)用的兩個(gè)方向1.求函數(shù)值或函數(shù)解析式:將所求值或解析式對(duì)應(yīng)的自變量利用奇偶性轉(zhuǎn)化到已知解

析式的區(qū)間,構(gòu)造方程(組).2.求參數(shù):由定義或定義的等價(jià)關(guān)系式f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))與f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù))得到恒

等式,再利用系數(shù)相等構(gòu)造方程(組).變式訓(xùn)練2-1

(問題結(jié)論變式)(2025屆江蘇宿遷中學(xué)質(zhì)檢,5)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇

函數(shù).若x≥0時(shí),f(x)=x2+2x,則f(-2)等于

(

)A.8

B.4

C.-8

D.0C解析

∵x≥0時(shí),f(x)=x2+2x,∴f(2)=8,∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(-2)=-f(2)=-8.故選C.變式訓(xùn)練2-2

(關(guān)鍵元素變式)(2025屆四川南充閬中中學(xué)開學(xué)考,7)已知定義在R上的

函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),則f(ln2025)+f

=

(

)A.2025

B.-2025

C.0

D.1C解析

定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得f(0)=2f(0),即f(0)=0,令y=-x,則f(0)=f(x)+f(-x)=0,則f(ln2025)+f

=f(ln2025)+f(-ln2025)=0.故選C.角度2利用奇偶性解不等式典例3

(2023河北邯鄲統(tǒng)考,7)已知函數(shù)f(x)=

-ex-2,若f(a-2)+f(2a2)>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.(2,+∞)

B.

C.

D.(-2,+∞)B解析

令g(x)=f(x+2)=

-ex,x∈R,則g(-x)=

-e-x=-

=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),則g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,則f(x)+f(4-x)=0,因?yàn)閥=

在定義域R上單調(diào)遞減,y=ex-2在定義域R上單調(diào)遞增,所以f(x)=

-ex-2在定義域R上單調(diào)遞減,(減-增=減)則不等式f(a-2)+f(2a2)>0,即f(2a2)>-f(a-2),所以f(2a2)>f(6-a),則2a2<6-a,解得-2<a<

,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.故選B.技巧

利用函數(shù)奇偶性求解不等式需注意:1.奇函數(shù)在原點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相同,若在定義域上連續(xù)則在定義域上單調(diào);若在定義域

上不連續(xù),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)運(yùn)用圖象解不等式.2.偶函數(shù)的常見示意圖.

如圖1,由f(x1)<f(x2)可得|x1|<|x2|;如圖2,由f(x1)<f(x2)可得|x1|>|x2|.變式訓(xùn)練2-3

(結(jié)論拓展變式)(2025屆重慶南開中學(xué)第一次質(zhì)檢,3)f(x)是定義在R上的

奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+x,則不等式(x-1)·f(x)>0的解集為

(

)A.(-∞,-1)

B.(-1,0)C.(0,1)

D.(1,+∞)B解析

f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x2+x.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x2-x)=x2+x,且f(0)=0,x>0時(shí),由f(x)=-x2+x>0得x∈(0,1),由f(x)=-x2+x<0得x∈(1,+∞),x<0時(shí),由f(x)=x2+x>0得x∈(-∞,-1),由f(x)=x2+x<0得x∈(-1,0),由(x-1)f(x)>0得

或

當(dāng)

時(shí),無解,當(dāng)

時(shí),x∈(-1,0),故選B.變式訓(xùn)練2-4

(情境模型變式)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,y=f(x-4)-1是偶函數(shù),當(dāng)x≤-4

時(shí),f(x)=(x+4)2-2,則不等式f(3x-5)>f(2x-4)的解集為

.

∪(1,+∞)解析

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽,y=f(x-4)-1是偶函數(shù),所以f(-x-4)-1=f(x-4)-1,即f(-x-4)=f(x-4),所

以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-4對(duì)稱.因?yàn)楫?dāng)x≤-4時(shí),f(x)=(x+4)2-2,因此f(x)在(-∞,-4]上單調(diào)遞減,故f(x)在[-4,+∞)上單調(diào)遞增.因?yàn)閒(3x-5)>f(2x-4),所以|3x-5+4|>|2x-4+4|,即|3x-1|>2|x|,即(3x-1)2>4x2,可得(x-1)(5x-1)>0,

解得x<

或x>1,故不等式f(3x-5)>f(2x-4)的解集為

∪(1,+∞).題型三函數(shù)周期性與奇偶性的綜合典例4

(多選)(2024江西上饒六校第一次聯(lián)考,10)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)

=f(2-x),且f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,則(

)A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱

B.f(x)是周期函數(shù)C.f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減

D.

f(k)=1BC解析

因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).因?yàn)閒(x)=f(2-x),所以-f(-x)=f(2-x),則-f(x)=f(x+2),即-f(x+2)=f(x+4),則f(x)=f(x+4),故f(x)是以4為周期的函數(shù).因?yàn)閒(x)=f(2-x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.(若函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2a-x),則f(x)的圖

象關(guān)于直線x=a對(duì)稱)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù),且在[-1,0]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增(奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同),又f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱(可結(jié)合圖象觀察),故f(1)+f(3)=0.易知f(0)=0,則f(4)=0,由f(x)=f(2-x)得f(2)=f(0)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,則

f(k)=f(0)+f(1)+…+f(2024)=f(0)+506(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))=0.綜上,B、C正確,A、D錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練3-1

(命題推廣變式)(2023安徽合肥一六八中學(xué)模擬,8)定義在R上的函數(shù)f(x)

滿足f(x+1)=

f(x),且當(dāng)x∈[0,1)時(shí),f(x)=1-|2x-1|.若當(dāng)x∈[m,+∞)時(shí),f(x)≤

,則m的最小值為

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

由題意知,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f(x)=

f(x-1)=

(1-|2x-3|);當(dāng)x∈[2,3)時(shí),f(x)=

f(x-1)=

(1-|2x-5|);……可得在區(qū)間[n,n+1)(n∈Z)上,f(x)=

[1-|2x-(2n+1)|].(提示:根據(jù)在前兩個(gè)區(qū)間上的解析式,總結(jié)在區(qū)間[n,n+1)(n∈Z)上的解析式)作函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示,

當(dāng)x=

時(shí),f

=

=

>

,當(dāng)x=

時(shí),f

=

=

<

,

從[4,5)這個(gè)區(qū)間開始,后邊所有區(qū)間上的最大值都比

小

,當(dāng)x∈

時(shí),由f(x)=

(1-|2x-7|)=

,得x=

,所以當(dāng)m≥

時(shí),f(x)≤

恒成立,所以m的最小值為

.故選B.題型四函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用典例5

(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),且f(-x)=f(x),則

下列結(jié)論正確的是

(

)A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱C.4為f(x)