5.3 復(fù)數(shù) 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

5.3復(fù)數(shù)考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義:形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a為實(shí)部,b為虛部.(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d.(3)復(fù)數(shù)的模:向量

的長度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

.(4)共軛復(fù)數(shù):復(fù)數(shù)z=a+bi的共軛復(fù)數(shù)為a-bi,記為

,即

=a-bi.(以上a,b,c,d∈R,i為虛數(shù)單位)2.復(fù)數(shù)的幾何意義

其中,a,b∈R,i為虛數(shù)單位.3.復(fù)數(shù)加、減法可按向量的加、減法進(jìn)行如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義,即

=

+

,

=

-

.

考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

=

=

+

i(c+di≠0).常用結(jié)論

(1)(1±i)2=±2i;

=i;

=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).(3)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=0,n∈N.(4)z·

=|z|2=|

|2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,

=

(|z2|≠0).其中z,z1,z2都是復(fù)數(shù).(5)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的虛部為bi.(

)(2)已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).

(

)(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小.

(

)(4)若復(fù)數(shù)z滿足z2∈R,則z∈R.

(

)××××2.(易錯(cuò)題)已知(m2+m-6)+(m-2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為

.3.(人教A版必修第二冊P80習(xí)題T2改編)若向量

與

對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+i,-1+4i,則向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

.4.(人教A版必修第二冊P81·T9改編)若復(fù)數(shù)z滿足1≤|z|≤2,則在復(fù)平面內(nèi),z所對應(yīng)的點(diǎn)

組成的圖形的面積為

.-32-3i3π題型一復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算典例1

(1)(2020新高考Ⅰ,2,5分)

=

(

)A.1

B.-1

C.i

D.-i(2)已知i為虛數(shù)單位,則i+i2+i3+…+i2025等于

(

)A.i

B.1

C.-i

D.-1DA解析

(1)

=

=

=-i,故選D.(2)易知in(n∈N*)的周期為4,且i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,又2025=4×506+1,所以原式=i,故選A.歸納總結(jié)

1.復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加法、減法、乘法運(yùn)

算,除法運(yùn)算的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù).2.解復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題時(shí),先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡,一般化為a+bi(a,b

∈R)的形式,然后做答.變式訓(xùn)練1-1

(設(shè)問條件變式)(2024廣東湛江聯(lián)考,2)若

=i,則z的虛部與實(shí)部的比值為(

)A.-1

B.1

C.-i

D.iB解析

設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,z+

=2a,z-

=2bi,所以

=

=i,即

=1.故選B.變式訓(xùn)練1-2

(設(shè)問條件變式)設(shè)復(fù)數(shù)z=

(i為虛數(shù)單位),則|

|=

(

)A.

B.2

C.1

D.

A解析

解法一:由題意得z=

=

=i(1-i)=1+i,所以

=1-i,所以|

|=

=

.故選A.解法二:|

|=|z|=

=

=

=

.故選A.題型二復(fù)數(shù)的幾何意義1.從幾何意義理解復(fù)數(shù)的模若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z(a,b),則|z|=

,表示點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離.2.設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別是A(a,b),B(c,d),(1)|z1-z2|=|AB|=

,則|z1-z2|的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的點(diǎn)A,B的距離.(2)設(shè)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)是Z,①若|z-z1|=r,r>0,則點(diǎn)Z的軌跡為圓;②若r1<|z-z1|<r2(0<r1<r2),則點(diǎn)Z的軌跡為圓環(huán),但不包括邊界;③若|z-z1|=|z-z2|,則點(diǎn)Z的軌跡為線段AB的垂直平分線.典例2

(多選)(2024廣東江門一模,9)下列說法正確的是

(

)A.z·

=|z|2,z∈CB.i2024=-1C.若|z|=1,z∈C,則|z-2|的最小值為1D.若-4+3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根,則p=8ACD解析

由復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用結(jié)論知z·

=|z|2,A中說法正確.∵2024÷4=506,∴i2024=(i4)506=1,B中說法錯(cuò)誤.設(shè)z=x+yi(x,y∈R),則

=1,即x2+y2=1,∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)在圓x2+y2=1上,|z-2|=|x-2+yi|表示圓上點(diǎn)與點(diǎn)(2,0)的距離,則|z-2|min=2-1=1,C中說法正確.把x=-4+3i代入x2+px+q=0得(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=0,則7-4p+q+(3p-24)i=0,則

解得

D中說法正確.故選ACD.歸納總結(jié)

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為(1)當(dāng)Δ≥0時(shí),x=

;(2)當(dāng)Δ<0時(shí),x=

.典例3

如果向量

對應(yīng)復(fù)數(shù)2i,

繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后,再把模變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍得到向量

,那么

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

.(用代數(shù)形式表示)-

+

i解析

解法一:如圖,過點(diǎn)Z1作Z1A⊥x軸于點(diǎn)A,

由題意得|

|=2

,∠AOZ1=45°,則|

|=|

|=2

×

=

,則點(diǎn)Z1的坐標(biāo)為(-

,

),則

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-

+

i.解法二:向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2

i(cos45°+isin45°)=2

i·

=-

+

i.技巧

根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義和題意知,向量

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)2i與z0的積的

倍,其中復(fù)數(shù)z0的模是1,輻角的主值是45°.提醒

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式為r(cosθ+isinθ),θ∈[0,2π),r=

.(詳見教材人教A版必修第二冊P84)變式訓(xùn)練2-1

(2025屆湖南長沙長郡中學(xué)月考,2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=2,則|z|的取值范

圍為(