8.5.2 圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

8.5.2圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題高考解讀

圓錐曲線中的最值(范圍)問(wèn)題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩

種方法:一是利用幾何法,即利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)

等進(jìn)行求解;二是利用代數(shù)法,即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)參數(shù)的

式子,然后利用函數(shù)方法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等解決.高考溯源1.利用幾何關(guān)系尋找最值位置(2020新高考Ⅱ,21,12分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,3),點(diǎn)A為其左頂點(diǎn),且AM的斜率為

.(1)求C的方程;(2)點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn),求△AMN的面積的最大值.解析

(1)由題意可知直線AM的方程為y-3=

(x-2),即x-2y=-4,當(dāng)y=0時(shí),解得x=-4,所以a=4,由橢圓C:

+

=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,3),可得

+

=1,解得b2=12,所以C的方程為

+

=1.(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為x-2y=m(m≠-4),當(dāng)直線與橢圓相切時(shí),與AM距離比較

遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N,此時(shí)△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立

消去x得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程為x-2y=8,兩平行線(直線AM與直線x-2y=8)之間的距離為d=

=

,|AM|=

=3

.所以△AMN的面積的最大值為

×3

×

=18.高考仿真

(2025屆河南南陽(yáng)一中月考)已知M是橢圓

+y2=1上一點(diǎn),則點(diǎn)M到直線l:x-2y+4

=0的最小距離是

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

如圖,作出橢圓及直線l,觀察圖形可發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)M在與l平行且與橢圓相切的直線l'上時(shí),點(diǎn)

M到直線l的距離最小,且該距離等于兩平行線(l與l')間的距離.

設(shè)l'的方程為x-2y+m=0(m≠4

),聯(lián)立

消去x,得8y2-4my+m2-4=0,由Δ=16m2-4×8(m2-4)=0,解得m=±2

,由圖知,距離最小時(shí),顯然m>0,故m=2

,故最小距離為

=

.故選B.2.利用代數(shù)關(guān)系求最值(2021全國(guó)乙理,21,12分)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上

點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p;(2)若點(diǎn)P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求△PAB面積的最大值.解析

(1)由題設(shè)知F

,圓M的圓心為(0,-4),半徑為1,F與圓M上點(diǎn)的距離的最小值為

+3,即

+3=4,解得p=2.(2)由(1)知C:x2=4y.設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)镃在A處切線的斜率為

,所以直線PA的方程為x1x-2y-2y1=0.

方法點(diǎn)撥:因?yàn)閽佄锞€方程為x2=4y,即y=

,所以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線方程

因?yàn)镻在直線PA上,故x1x0-2y0-2y1=0,所以A在直線x0x-2y-2y0=0上.同理B也在直線x0x-2y-2y0=0上.所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.(利用點(diǎn)與直線的關(guān)系以及直線與方程的定義可知過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線的方程)由

得x2-2x0x+4y0=0,故x1+x2=2x0,x1x2=4y0.因此|AB|=

=

.因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離d=

,所以△PAB的面積S=

|AB|×d=

(

-4y0

.(利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示三角形的面積)由

=1-(y0+4)2得S=

[21-(y0+6)2

.因?yàn)閥0∈[-5,-3],所以當(dāng)y0=-5時(shí),△PAB的面積取得最大值,最大值為20

.(利用圓的方程得出y0的取值范圍,再利用函數(shù)思想求得三角形面積的最大值)高考仿真

(2024湖南師大附中月考,18)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),兩焦點(diǎn)F1,F2在x

軸上,離心率為

,點(diǎn)P在C上,且△PF1F2的周長(zhǎng)為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)M(4,0)的動(dòng)直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D,直線AD與x軸的

交點(diǎn)為E,求△ABE的面積的最大值.解析

(1)由題意知

?

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.(2)設(shè)直線l:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).由

?(3t2+4)y2+24ty+36=0.由Δ=(24t)2-4(3t2+4)×36>0,解得t2>4.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=

,y1y2=

.因?yàn)辄c(diǎn)B,D關(guān)于x軸對(duì)稱,所以D(x2,-y2).設(shè)E(x0,0),因?yàn)锳,E,D三點(diǎn)共線,所以kAE=kDE.即

=

,即y1(x2-x0)=-y2(x1-x0).解得x0=

=

=

=-

+4=1.所以點(diǎn)E(1,0)為定點(diǎn),|EM|=3.S△ABE=|S△AME-S△BME|=

|EM|·|y1-y2|=

=

=

.令m=

,m>0,則S△ABE=

=

=

≤

=

,當(dāng)且僅當(dāng)3m=

,即m=

,亦即t=±

時(shí)取等號(hào).所以△ABE的面積的最大值為

.高考變式1.關(guān)于線段的范圍與最值問(wèn)題典例1

(2024北京海淀中關(guān)村中學(xué)月考,7)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x,y)為該拋物線

上的動(dòng)點(diǎn),又點(diǎn)A(-1,0),則

的最小值是

(

)A.

B.

C.

D.

B解析

拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,則|PF|=x+1,x≥0,

=

=

=

,當(dāng)x=0時(shí),

=1;當(dāng)x>0時(shí),

≥

=

,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),因?yàn)?/p>

<1,所以

的最小值是

.故選B.2.關(guān)于向量的數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題典例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓M:(x+1)2+y2=1相

切于點(diǎn)A,直線AB與拋物線C切于點(diǎn)B,點(diǎn)N在圓M上,則

·

的取值范圍為

(

)A.[0,8]

B.[2-2

,2+2

]C.[4-4

,4+4

]

D.[4

-4,4

+4]C解析

拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-

,

圓M的圓心為M(-1,0),半徑為1,由直線x=-

與圓M相切,得

=1,解得p=4或p=0(舍去),所以拋物線C的方程為y2=8x,A(-2,0),由題意知直線AB的斜率存在且不為零,設(shè)直線AB的方程為x=my-2,聯(lián)立

消去x,得y2-8my+16=0,由Δ=64m2-64=0,解得m=±1,不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限,則m=1,則有y2-8y+16=0,解得y=4,此時(shí)x=y-2=2,即點(diǎn)B(2,4),所以

=(4,4),由點(diǎn)N在圓M上,設(shè)N(-1+cosθ,sinθ),則

=(1+cosθ,sinθ),所以

·

=4+4cosθ+4sinθ=4

sin

+4∈[4-4

,4+4

].當(dāng)點(diǎn)B在第四象限時(shí),同理可得

·

∈[4-4

,4+4

].故選C.3.與斜率有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題典例3

(2024安徽皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考,17)已知雙曲線E:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為2,P是E的右支上一點(diǎn),且PF1⊥PF2,△PF1F2的面積為3.(1)求E的方程;(2)若E的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)F2的直線l與E的右支交于M,N兩點(diǎn),直線AM和BN

的斜率分別記為kAM和kBN,求

+

kBN的最小值.解析

(1)設(shè)雙曲線的半焦距為c(c>0),∵

=

|PF1||PF2|=3,∴|PF1||PF2|=6.由題可知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2,即4c2-12=4a2,∴b2=3.又

=2,a2=c2-b2,∴a2=1.故E的方程為x2-

=1.(2)由(1)可知F2(2,0),A(-1,0),B(1,0),且直線MN的斜率不為0,設(shè)直線MN為x=ty+2

,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

消去x,得(3t2-1)y2+12ty+9=0,∴y1+y2=-

,y1y2=

.∵kAM=

,kBN=

,∴

=

=

=

=

=-

,∴kBN=-3kAM,∴

+

kBN=(kAM-1)2-1,∵直線AM與E的右支有交點(diǎn),∴-

<kAM<

,∴當(dāng)kAM=1,kBN=-3時(shí),

+

kBN取得最小值,且最小值為-1.4.和角度有關(guān)的最值和范圍問(wèn)題典例4

(2024江蘇南京航空航天大學(xué)附屬中學(xué)模擬,8)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,點(diǎn)A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),D是直線x=a上的一動(dòng)點(diǎn).AD與C交于點(diǎn)P(P在x軸的上方),過(guò)A作BP的垂線交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,當(dāng)tan∠DAE取最大值時(shí),點(diǎn)D的

縱坐標(biāo)為

(

)A.

a

B.

a

C.

a

D.

aD解析

由題意得kPA·kPB=

·

=

=-

=-

=-

.

又因?yàn)閗AE·kPB=-1,所以kPA=

kAE,顯然直線AE的斜率不為0.tan∠DAE=tan(∠BAE-∠PAB)=

=

=

×

≤

×

=

,當(dāng)且僅當(dāng)

=

kAE,即kAE=

時(shí),tan∠DAE取最大值.此時(shí)kPA=

×

=

,又kP