9.1 計數(shù)原理 排列與組合 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項復(fù)習

9.1計數(shù)原理、排列與組合命題形式本專題內(nèi)容在高考中出現(xiàn)頻次較高,題型以選擇題、填空題為主.考查計數(shù)原理、排

列、組合的應(yīng)用,利用二項式定理求二項展開式的系數(shù)或指定項的系數(shù).近年出現(xiàn)了考

查計數(shù)原理的創(chuàng)新題,考查學(xué)生的邏輯推理能力,難度較大,做題時需要注意列舉法、分

類討論思想的應(yīng)用.考點1兩個計數(shù)原理1.兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理:完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,

在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.(2)分步乘法計數(shù)原理:完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有

n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.2.兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系都用來計算完成一件事的方法種數(shù)區(qū)別1.每類方案都能獨立完成這件事;2.各類獨立;3.分類——相加1.依次完成每一步才能完成這件

事;2.步步相關(guān);3.分步——相乘考點2排列與組合1.排列與排列數(shù)(1)排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫

做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù):把從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個

不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號

表示.2.組合與組合數(shù)(1)組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中

取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不

同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號

表示.注意

易混淆排列與組合問題,區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān),排列問題

與順序有關(guān),組合問題與順序無關(guān).3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

排列數(shù)組合數(shù)公式

=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=

=

=

=

性質(zhì)

=n!;0!=1;

=n

;

=m

+

=1;

=

;

=

+

注意n,m∈N*,且m≤n即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.

(

)(2)組合中的元素講究先后順序.

(

)(3)“從全班同學(xué)中選出2名同學(xué)擔任班長和副班長”屬于排列問題.

(

)(4)n=5是

=

成立的充要條件.

(

)(5)在分步乘法計數(shù)原理中,事情是分步完成的,其中任何一個單獨的步驟都能完成這件

事.(

)××√××2.將大小、形狀完全相同的3個紅球和5個白球排成一排,則不同的排法有

種.3.5本不同的書全部分給4個學(xué)生,每個學(xué)生至少分到1本,則不同的分法有

種.4.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項活動,其中1名同學(xué)參加上午的活動,另1名

同學(xué)參加下午的活動,則不同的選法共有

種.562406題型常見的排列組合問題角度1兩個計數(shù)原理的應(yīng)用典例1

(2025屆江蘇南京調(diào)研,6)甲、乙、丙、丁共4名同學(xué)參加某知識競賽,已決出了

第1名到第4名(沒有并列名次),甲、乙、丙三人向老師詢問成績,老師對甲和乙說:“你

倆名次相鄰”,對丙說:“很遺憾,你沒有得到第1名”,從這個回答分析,4人的名次排列

情況種數(shù)為

(

)A.4

B.6

C.8

D.12C解析

由題意可得丙不是第1名,甲,乙相鄰.當丙是第2名時,丁為第1名,此時共2種情況;當丙是第3名時,丁為第4名,此時共2種情況;當丙是第4名時,若丁為第3名,則有2種情況;若丁為第1名,則有2種情況.所以一共有2+2+2+2=8種情況.故選C.歸納總結(jié)

利用兩個計數(shù)原理解決問題的思路(1)弄清需要完成的事是什么.(2)確定是先分類后分步,還是先分步后分類.(3)弄清分步、分類的標準是什么.(4)分類要做到不重不漏.變式訓(xùn)練1-1為了豐富學(xué)生的課余生活,某學(xué)校開設(shè)了籃球、書法、美術(shù)、吉他、舞

蹈、擊劍共六門活動課程,甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門活動課程參加,則這3

名學(xué)生所選活動課程不全相同的選法有

(

)A.120種

B.150種

C.210種

D.216種C解析

依題意,每名學(xué)生都有6種選法,所以這3名學(xué)生所選活動課程不全相同的選法有63-6=210種.故選C.角度2排列的常見模型典例2在班級活動中,4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目.(寫出必要的數(shù)學(xué)式,結(jié)果

用數(shù)字作答)(1)3名女生不能相鄰,有多少種不同的站法?(2)4名男生相鄰,有多少種不同的站法?(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少種不同的站法?(4)甲、乙、丙3人按高矮從左到右有多少種不同的站法?(甲、乙、丙三位同學(xué)身高互

不相等)解析

(1)不相鄰問題插空法.根據(jù)題意,分2步進行分析:第一步,將4名男生全排列,有

=24種情況,排好后有5個空位.第二步,在5個空位中任選3個,安排3名女生,有

=60種情況.則3名女生不能相鄰的站法有24×60=1440種.(2)相鄰問題捆綁法.根據(jù)題意,分2步進行分析:第一步,將4名男生看成一個整體,考慮4人間的順序,有

=24種情況.第二步,將這個整體與3名女生全排列,有

=24種情況.則4名男生相鄰的站法有24×24=576種.(3)特殊元素優(yōu)先法.根據(jù)題意,分2種情況討論:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有

=720種站法.②女生甲不站在右端,有5種站法,女生乙有5種站法,將剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有

=120種站法,則此時有5×5×120=3000種站法.則一共有720+3000=3720種站法.(4)定序問題倍除法.根據(jù)題意,首先把7名同學(xué)全排列,共有

種結(jié)果,甲、乙、丙三人內(nèi)部的排列共有

=6種結(jié)果,要使甲、乙、丙3個人按照高矮從左到右的順序排列,則有

=840種站法.歸納總結(jié)

排列問題的解題策略

變式訓(xùn)練1-2

(關(guān)鍵元素變式)(多選)(2024江蘇徐州階段練,11)象棋作為一種古老的傳

統(tǒng)棋類益智游戲,具有深遠的意義和價值.它具有紅黑兩種陣營,將、車、馬、炮、兵等

均為象棋中的棋子.現(xiàn)將3個紅色的“將”“車”“馬”棋子與2個黑色的“將”

“車”棋子排成一列,則下列說法正確的是

(

)A.共有120種排列方式B.若兩個“將”相鄰,則有24種排列方式C.若兩個“將”不相鄰,則有36種排列方式D.若同色棋子不相鄰,則有12種排列方式AD解析

A選項,根據(jù)題意有

=120種排列方式,故A正確;B選項,將兩個“將”捆綁,有

=2種情況,再和剩余的3個棋子進行全排列,故共有2

=48種排列方式,故B錯誤;C選項,先將除去兩個“將”的3個棋子進行全排列,共有4個空位,再將兩個“將”插空,

故共有

=72種排列方式,故C錯誤;D選項,將2個黑色的棋子進行全排列,共有3個空位,再將3個紅色的棋子進行插空,則有

=12種排列方式,故D正確.故選AD.角度3組合的常見模型典例3從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務(wù)隊,要

求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有

種不同的選法.(用數(shù)字作答)660解析

從8人中選出4人,且至少有1名女學(xué)生的選法種數(shù)為

-

=55.從4人中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人的選法為

=12種.故總共有55×12=660種選法.歸納總結(jié)

組合問題的解決方法

變式訓(xùn)練1-3

某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,每位同學(xué)從中選3門.若要求兩類

課程中都至少選一門,則不同的選法共有(

)A.18種

B.24種

C.30種

D.36種C解析

根據(jù)題意,分兩種情況討論:①若從A類課程中選1門,從B類課程中選2門,有

·

=12種選法;②若從A類課程中選2門,從B類課程中選1門,有

·

=18種選法.綜上,兩類課程中都至少選一門的選法共有12+18=30種.故選C.角度4分組與分配問題典例4

(2024安徽示范性高中聯(lián)考,6)哈爾濱這座“冰城”火了,2024年元旦假期三天

接待游客300多萬人次,神秘的鄂倫春族走進世人的眼簾,這些英雄的后代講述著英雄

的故事,讓哈爾濱大放異彩.現(xiàn)安排6名鄂倫春族小伙去三個不同的景點宣傳鄂倫春族

的民俗文化,每個景點至少安排1人,則不同的安排方法種數(shù)是

(

)A.240

B.420

C.540

D.900C解析

若三個景點安排的人數(shù)之比為1∶2∶3,則有

=360種安排方法;若三個景點安排的人數(shù)之比為1∶1∶4,則有

·

=90種安排方法;若三個景點安排的人數(shù)之比為2∶2∶2,則有

·

=90種安排方法,故不同的安排方法種數(shù)是360+90+90=540.故選C.歸納總結(jié)

1.分組問題:將n個不同元素按照某種條件分成k組時,可分為不平均分組,部

分平均分組和完全平均分組,如本題中的三種情況,分組時如果有平均分組或部分平均

分組的情況,必須要在分組后除以相同組的個數(shù)的全排列,如:1∶1∶4時,有2組個數(shù)相

同,所以要除以

,2∶2∶2時,有3組個數(shù)相同,所以要除以

.2.分配問題

變式訓(xùn)練1-4將12個相同的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中,