2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第2講用樣本估計(jì)總體講義理含解析

PAGEPAGE14第2講用樣本估計(jì)總體[考綱解讀]1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能依據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并體會(huì)它們各自的特點(diǎn)．(重點(diǎn))2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征，并作出合理的說(shuō)明．3.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．(難點(diǎn))4.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決實(shí)際問(wèn)題．[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)．預(yù)料2024年將會(huì)考查用樣本估計(jì)總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖或莖葉圖估計(jì)總體，利用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體．題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型．頻率分布直方圖與莖葉圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等學(xué)問(wèn)綜合命題.1．用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布(1)頻率分布：樣本中全部數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的eq\o(□,\s\up1(01))頻率，全部數(shù)據(jù)(或者數(shù)據(jù)組)的頻率的分布改變規(guī)律叫做eq\o(□,\s\up1(02))頻率分布．(2)作頻率分布直方圖的步驟：①求極差，即一組數(shù)據(jù)中的eq\o(□,\s\up1(03))最大值與eq\o(□,\s\up1(04))最小值的差；②確定eq\o(□,\s\up1(05))組距與組數(shù)；③將eq\o(□,\s\up1(06))數(shù)據(jù)分組；④列eq\o(□,\s\up1(07))頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．在頻率分布直方圖中，縱軸表示eq\o(□,\s\up1(08))頻率/組距，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用eq\o(□,\s\up1(09))各小長(zhǎng)方形的面積表示，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于eq\o(□,\s\up1(10))1.(3)頻率分布折線圖和總體密度曲線①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑的曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線．(4)莖葉圖：統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫莖葉圖，莖是指中間一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)．2．樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2]).(3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．3．各種統(tǒng)計(jì)表的優(yōu)點(diǎn)與不足

1．概念辨析(1)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．()(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的詳細(xì)數(shù)據(jù)信息就被抹掉了．()(3)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的頻率越高．()(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的依次寫，右側(cè)的葉按從小到大的依次寫，相同的數(shù)據(jù)可以只記一次．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×2．小題熱身(1)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)當(dāng)用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.(2)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參與合唱競(jìng)賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92答案A解析由莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(1,2)×(91＋92)＝91.5，平均數(shù)是eq\f(1,8)×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.(3)如圖所示是一樣本的頻率分布直方圖．若樣本容量為100，則樣本數(shù)據(jù)在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)是()A．50B．40C．30D．14答案C解析因?yàn)閇15,20]對(duì)應(yīng)的小矩形的面積為1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以樣本落在[15,20]的頻數(shù)為0.3×100＝30.故選C.(4)已知一組數(shù)據(jù)87,89,90,91,93，則該組數(shù)據(jù)的方差是________．答案4解析該組數(shù)據(jù)的平均值為eq\f(1,5)×(87＋89＋90＋91＋93)＝90，所以該組數(shù)據(jù)的方差為eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.題型eq\a\vs4\al(一)樣本數(shù)字特征的計(jì)算及應(yīng)用1．某同學(xué)運(yùn)用計(jì)算器求30個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)，錯(cuò)將其中一個(gè)數(shù)據(jù)105輸入為165，那么由此求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是()A．2.5B．－2C．2D．－2.5答案C解析將105輸入為165，多輸入了60,60÷30＝2，所以求出的平均數(shù)與實(shí)際平均數(shù)的差是2.2．(2024·九江二模)已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為2，若數(shù)據(jù)ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a>0)的方差為8，則a的值為()A．1 B.eq\r(2)C．2 D．4答案C解析依據(jù)方差的性質(zhì)可知，a2×2＝8，解得a＝2.3．一組數(shù)據(jù)1,10,5,2，x,2，且2<x<5，若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的eq\f(2,3)倍，則該數(shù)據(jù)的方差為________．答案9解析依據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，則中位數(shù)是2÷eq\f(2,3)＝3，把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2，x,5,10，則eq\f(2＋x,2)＝3，解得x＝4，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，方差為s2＝eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.條件探究把舉例說(shuō)明2中的“方差”改為“平均數(shù)”，“b”改為“2”，其他條件不變，試求a的值．解因?yàn)閤1，x2，…，xn的平均數(shù)是2，所以ax1＋2，ax2＋2，…，axn＋2的平均數(shù)是a·2＋2＝8，解得a＝3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所反映的狀況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大?。?2)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．(3)平均數(shù)、方差的公式推廣①若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2.a．?dāng)?shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；b．?dāng)?shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均數(shù)為a；x4，x5，x6，…，x10的平均數(shù)為b，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()A.eq\f(a＋b,2) B.eq\f(3a＋7b,10)C.eq\f(7a＋3b,10) D.eq\f(a＋b,10)答案B解析依題意可得x1＋x2＋x3＝3a，x4＋x5＋x6＋…＋x10＝7b，所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋…＋x10,10)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋…＋x10,10)＝eq\f(3a＋7b,10)，故選B.2．已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且總體的中位數(shù)為10.5，若要使該總體的方差最小，則a，b的取值分別是________．答案10.5,10.5解析∵中位數(shù)為10.5，∴eq\f(a＋b,2)＝10.5，即a＋b＝21.∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20,10)＝10，∴s2＝eq\f(1,10)[(2－10)2＋(3－10)2×2＋(7－10)2＋(a－10)2＋(b－10)2＋(12－10)2＋(13.7－10)2＋(18.3－10)2＋(20－10)2]．令y＝(a－10)2＋(b－10)2＝2a2－42a＋221＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(21,2)))2＋eq\f(1,2)，當(dāng)a＝10.5時(shí)，y取最小值，方差s2也取最小值．∴a＝10.5，b＝10.5.題型eq\a\vs4\al(二)莖葉圖及其應(yīng)用1.(2024·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為()A．3,5B．5,5C．3,7D．5,7答案A解析甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為65，由甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等得y＝5.又甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值相等，∴eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故選A.2．某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行比照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430.(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；(2)通過(guò)視察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．解(1)畫出莖葉圖如圖所示：(2)通過(guò)視察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差．1．莖葉圖的畫法步驟第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖(高位)和葉(低位)兩部分；其次步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左(右)側(cè)；有兩組數(shù)據(jù)時(shí)，寫在中間；第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫在其莖的右(左)側(cè)．2．莖葉圖的應(yīng)用(1)莖葉圖的繪制需留意：①“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不須要統(tǒng)一；②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特殊是“葉”的位置上的數(shù)據(jù)．(2)莖葉圖通常用來(lái)記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來(lái)分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)．通過(guò)莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否勻稱等．1．甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次競(jìng)賽成果(單位：環(huán))如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成果相同，則成果較穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成果的方差為()A．2B．4C．6D．8答案A解析依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成果相同，即eq\f(1,5)×(87＋89＋90＋91＋93)＝eq\f(1,5)×(88＋89＋90＋91＋90＋x)，解得x＝2，所以平均數(shù)為eq\x\to(x)＝90；依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成果波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定(方差較小)，所以甲成果的方差為s2＝eq\f(1,5)×[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2]＝2.故選A.2．為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位：h)．試驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52．52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41．60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)依據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？解(1)設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，由觀測(cè)結(jié)果可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3.eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上計(jì)算結(jié)果可得eq\o(x,\s\up6(－))>eq\o(y,\s\up6(－))，因此可看出A藥的療效更好．(2)由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖2,3上，而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有eq\f(7,10)的葉集中在莖0,1上，由此可看出A藥的療效更好．題型eq\a\vs4\al(三)頻率分布直方圖角度1求頻率或頻數(shù)1．黨的十八大以來(lái)，脫貧攻堅(jiān)取得顯著成果.2013年至2024年4年間，累計(jì)脫貧5564萬(wàn)人，2024年各地依據(jù)實(shí)際進(jìn)行創(chuàng)新，精準(zhǔn)、高效地完成了脫貧任務(wù)．某地區(qū)對(duì)當(dāng)?shù)?000戶家庭的2024年所得年收入狀況調(diào)查統(tǒng)計(jì)，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千元)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，則年收入不超過(guò)6萬(wàn)的家庭大約為()A．900戶B．600戶C．300戶D．150戶答案A解析由頻率分布直方圖得：年收入不超過(guò)6萬(wàn)的家庭所占頻率為：(0.005＋0.010)×20＝0.3，∴年收入不超過(guò)6萬(wàn)的家庭大約為0.3×3000＝900.角度2求數(shù)字特征2．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？解(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1，得x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.(2)月平均用電量的眾數(shù)是eq\f(220＋240,2)＝230.因?yàn)?0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25(戶)，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15(戶)，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100＝10(戶)，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5(戶)，抽取比例為eq\f(11,25＋15＋10＋5)＝eq\f(1,5)，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×eq\f(1,5)＝5(戶)．1．頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率；(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1；(3)小長(zhǎng)方形的高＝eq\f(頻率,組距)，全部小長(zhǎng)方形的高的和為eq\f(1,組距).2．頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中位數(shù)