空間向量及其線性運(yùn)算精練

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算【題型1空間向量的概念理解】1、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同【答案】A【解析】對(duì)于A，零向量的相反向量是它本身，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對(duì)于C，如果，則，C正確；對(duì)于D，兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，D正確.故選：A.2、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）下列命題中為真命題的是（）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【答案】A【解析】對(duì)于A，因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，對(duì)于B，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，兩個(gè)空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯(cuò)誤，故選：A3、（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小D．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，零向量與它的相反向量相等，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，任意一個(gè)非零向量與其相反向量不相等，但它們的模相等，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球，D錯(cuò).故選：C.4、（2022秋·浙江臺(tái)州·高二?？茧A段練習(xí)）（多選）下列說法正確的是（）A．向量與的長度相等B．在空間四邊形ABCD中，與是相反向量C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量【答案】AD【解析】向量與是相反向量，長度相等，故選項(xiàng)A正確；空間四邊形ABCD中，與的模不一定相等，方向也不一定相反，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但不能說空間向量就是有向線段，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由空間向量的有關(guān)概念與性質(zhì)易知選項(xiàng)D正確．故選：AD．5、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在平行六面體中，與向量相等的向量共有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C【解析】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個(gè).故選：C【題型2空間向量的線性運(yùn)算】1、（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長方體中，為線段的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,所以，因?yàn)殚L方體中，，所以，即.故選：C.2、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是三個(gè)不共面向量，已知向量則_________.【答案】【解析】，，故答案為：3、（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）在三棱柱中，，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，為的中點(diǎn)，，故選：A.4、（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┰谡拿骟w中，F(xiàn)是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，若，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可得，；再由，可得.故選：A5、（2022秋·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）已知四面體，G是CD的中點(diǎn)，連接AG，則＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】四面體，G是CD的中點(diǎn)，如圖，，所以.故選：A【題型3向量共線的判定與應(yīng)用】1、（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形ABCD，點(diǎn)E?F分別是AB與AD邊上的點(diǎn)，M?N分別是BC與CD邊上的點(diǎn)，若，，，，則向量與滿足的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，得，所以共線，同理，由，，得，所以共線，所以共線，即.故選：B.2、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為________．【答案】/【解析】由題意知，存在實(shí)數(shù)λ使得，即,解得.3、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且A，C，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為______.【答案】/0.4【解析】∵，，，∴，又∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴，∴，∴.4、（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線？【答案】共線.【解析】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.5、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，O為上一點(diǎn)，且，BD與AC交于點(diǎn)M.求證：三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析.【解析】在正方體中，令，，BD與AC交于點(diǎn)M，即點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于是，，因此，即，而直線與直線有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.【題型4四點(diǎn)共面的判定與應(yīng)用】1、（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】空間向量共面定理，，若，，不共線，且，，，共面，則其充要條件是；對(duì)于A，因?yàn)?，所以可以得出，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面；對(duì)于C，，則，，為共面向量，所以與,，一定共面；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以不能得出，，，四點(diǎn)共面．故選：AC．2、（2022秋·全國·高二期中）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)樗怨裁?；因?yàn)樗怨裁妫?，所以共面；假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足，所以,所以，該方程組沒有實(shí)數(shù)解.所以不存在實(shí)數(shù)滿足，故不共面．所以選項(xiàng)C符合題意.故選：C3、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知是不共面向量，，證明這三個(gè)向量共面.【答案】證明見解析【解析】由是不共面向量，得與不共線，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以這三個(gè)向量共面.4、（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（）A．若向量平行，則所在直線平行B．若向量所在直線是異面直線，則不共面C．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，不共面D．若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則向量，，不共面【答案】D【解析】向量平行，所在直線可以重合，也可以平行，A錯(cuò)誤；可以通過平移將空間中任意兩個(gè)向量平移到一個(gè)平面內(nèi)，因此空間任意兩個(gè)向量都是共面的，BC錯(cuò)誤；顯然AB，AC，AD是空