專題（九）“楊輝三角”中的問題 講義 2022-2023學(xué)年滬科版數(shù)學(xué)七年級下冊

專題（九）“楊輝三角”中的問題（活動探究）選點(diǎn)內(nèi)容1、楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律2、楊輝三角與二項(xiàng)展開式3、賦值法求值典型例題楊輝三角中的數(shù)字規(guī)律【典例1】如圖數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”、“賈憲三角”，根據(jù)圖中的數(shù)字排列規(guī)律，a、b、c的值分別為（）A．1，6，15 B．6，15，20 C．20，15，6 D．15，6，1【解析】由所給楊輝三角形，發(fā)現(xiàn)每行首尾都是1，其它數(shù)是它“肩上”兩個(gè)數(shù)字之和.由此可得，a＝10+10＝20，b＝10+5＝15，c＝5+1＝6.故選：C．【變式一】如圖數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，圖中兩平行線之間的一列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個(gè)數(shù)記為a1，第二個(gè)數(shù)記為a2，第三個(gè)數(shù)記為a3，…，第n個(gè)數(shù)記為an，則a20＝．【解析】由題意可得，a1＝1，a2＝1+2＝3，a3＝1+2+3＝6，a4＝1+2+3+4＝10，a5＝1+2+3+4+5＝15，…，∴an＝1+2+3+…+n＝，∴當(dāng)n＝20時(shí)，a20＝.【變式二】如圖數(shù)字三角形被稱為“楊輝三角”，楊輝三角形中第n行的所有數(shù)字之和為____________.【解析】第一行，所有數(shù)的和為1＝20，第二行，所有數(shù)的和為2＝21，第三行，所有數(shù)的和為4＝22，第四行，所有數(shù)的和為8＝23???由此可知，第n行所有數(shù)的和為2n-1.【重難點(diǎn)剖析】楊輝三角中隱藏著很多的規(guī)律和特殊數(shù)列，通過所給三角形中數(shù)的特點(diǎn)，觀察數(shù)字的變化規(guī)律,推斷出數(shù)字之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．楊輝三角與二項(xiàng)展開式【典例2】如下圖楊輝三角給出了（a+b）n（n＝1，2，3，4…）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序）的系數(shù)規(guī)律．例如，此三角形中第3行的3個(gè)數(shù)1，2，1恰好對應(yīng)著（a+b）2＝a2+2ab+b2的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)；第4行的4個(gè)數(shù)1，3，3，1恰好對應(yīng)著（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)．依此規(guī)律，請寫出（a+b）5=________________________________.【解析】由題意可知：除兩端的數(shù)外，每個(gè)數(shù)等于它上方兩數(shù)之和，∴（a+b）5的展開式中系數(shù)從左向右分別是1，5，10，10，5，1，∵a的指數(shù)從左向右逐漸變小，b的指數(shù)由左向右逐漸變大，∴（a+b）5展開式是．【變式一】利用楊輝三角，寫出（a+b）7的展開式中，a5b2項(xiàng)的系數(shù)是．【解析】由題意得，第8行的8個(gè)數(shù)為：1，7，21，35，35，21，7，1，∵a5b2是展開式中的第三項(xiàng)，∴a5b2項(xiàng)的系數(shù)是21．【變式二】展開式中含x2020項(xiàng)的系數(shù)為．【解析】根據(jù)展開式中項(xiàng)的組成可知，含x2020項(xiàng)的組成：x的指數(shù)為2021，的指數(shù)是1，即展開式中的第2項(xiàng)，所以含x2020項(xiàng)的系數(shù)為2022×2＝4044．【重難點(diǎn)剖析】二項(xiàng)式乘方展開式中，關(guān)鍵在于要認(rèn)真仔細(xì)觀察各項(xiàng)系數(shù)，次數(shù)的變化特征．認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.注意總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律．賦值法求值【典例2】如圖，（a+b）n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對應(yīng)楊輝三角第n+1行中的每一個(gè)數(shù).若（1+x）9＝a0+a1x+a2x2+…+a9x9，解決下列問題：（1）a0＝；（2）a0+a1+a2+a3+…+a9＝．【解析】（1）由圖二，令x＝0，可得a0＝19=1.（2）令x＝1，則（1+1）9＝a0+a1+a2+…+a9∴此時(shí)a0+a1+a2+…+a9＝29=512.【變式一】若（2x+1）2021＝a1x2021+a2x2020+a3x2019+…+a2020x2+a2021x+1，則a1﹣a2+a3﹣…+a2021﹣1的值為___________．【解析】∵（2x+1）2021＝a1x2021+a2x2020+a3x2019+…+a2020x2+a2021x+1，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2017+a2018﹣a2019+a2020﹣a2021+1＝[2×（-1）+1]2021=﹣1，∴a1﹣a2+a3﹣…+a2020﹣1＝1．【變式二】計(jì)算：26+6×25+15×24+20×23+15×22+6×2+1＝．【解析】由題意得，26+6×25+15×24+20×23+1