期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（浙教版九下）（55題11個(gè)考點(diǎn)）（解析版）

期末重難點(diǎn)真題特訓(xùn)之易錯(cuò)必刷題型（浙教版九下）（55題11個(gè)考點(diǎn)）專練【精選2023年最新考試題型專訓(xùn)】易錯(cuò)必刷題一、銳角三角函數(shù)1．（2023上·廣西梧州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理求得是直角三角形，且，然后求正弦、余弦、正切，然后判斷作答即可．【詳解】解：∵，∴，∴是直角三角形，且，如圖，∴，，，，∴A、C、D錯(cuò)誤，故不符合要求；B正確，故符合要求；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，正弦、余弦、正切．熟練掌握勾股定理的逆定理，正弦、余弦、正切是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，是的中線，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中線的定義、正切的定義，由含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理可得，，由中線的定義可得，最后根據(jù)正切的定義進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，，，是的中線，，，故選：B．3．（2023上·遼寧沈陽·九年級(jí)沈陽市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考期中）在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，，則．【答案】6或【分析】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)D作于E，根據(jù)，可得出，設(shè)，則，在中，由勾股定理得構(gòu)造關(guān)于k的方程并解出k，進(jìn)而可求出，然后證和相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長．【詳解】解：過點(diǎn)D作于E，如圖所示：∵，在中，，∴，設(shè)，由勾股定理得：，，，在中，，由勾股定理得：，即，整理得：，解得：，或，當(dāng)時(shí)，，，，，，即，，當(dāng)時(shí)，，同理：，即，．綜上所述：或，故答案為：或．4．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等腰中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出的長度，根據(jù)等面積法可計(jì)算出的長度，根據(jù)勾股定理求出的長，在中，根據(jù)余正弦的定義進(jìn)行求解即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∵于點(diǎn)E，∴，∴，∴，∴，故答案為：．5．（2023上·安徽亳州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，是正方形的對(duì)角線，平分交于，點(diǎn)在上，且，連接并延長，分別交，于點(diǎn)G，F(xiàn)．(1)求證：；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）由，平分，，得再結(jié)合正方形的性質(zhì)可證，得，再證，得，進(jìn)而即可證明結(jié)論；（2）設(shè)正方形的邊長為，則，，得，結(jié)合正方形的性質(zhì)可證，得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而即可求解；（3）由等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證得，設(shè)正方形的邊長為，由（2）得，得，則，在中，可知，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：，平分，，，正方形，，，，，，，，，，，∴，；（2）解：設(shè)正方形的邊長為，則，，，正方形，，則，，，，，平分，，；（3）解：，，，，，，，設(shè)正方形的邊長為，由（2）得，，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求角的正切值等知識(shí)．利用正方形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題二、銳角三角函數(shù)的計(jì)算1．（2023上·天津·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查特殊角三角函數(shù)值，先代入特殊角的函數(shù)值計(jì)算乘方，再算乘法，最后算加減．【詳解】解：．故選：C．2．（2024上·福建莆田·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，若角，滿足，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、三角形內(nèi)角和定理，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，從而得出，，進(jìn)而得出，，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，，，，故選：D．3．（2023上·安徽亳州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，都是銳角，且，則是三角形．【答案】等腰直角【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得，，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得，，是解決問題得關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，由特殊角的三角函數(shù)值以及、都是銳角，得：，，∵三角形內(nèi)角和為，∴，∵，，，∴是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角．4．（2023上·山東淄博·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知為銳角，，則．【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【詳解】解：∵a為銳角，且，∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，正確記憶特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5（2023上·甘肅天水·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)3【分析】本題主要考查了特殊角度的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟記各個(gè)特殊角度的三角函數(shù)值，以及特殊角度三角形函數(shù)值的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．（1）先將各個(gè)特殊角度的三角函數(shù)值化簡，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先將絕對(duì)值，0次冪，負(fù)整數(shù)冪，以及特殊角度三角形函數(shù)值化簡，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．易錯(cuò)必刷題三、解直角三角形1．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D，在中，，，為線段延長線一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若，設(shè)，則可表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì)與判定，解直角三角形，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，三角形內(nèi)外角關(guān)系，過點(diǎn)F作，證明，結(jié)合內(nèi)外角關(guān)系求解即可得到答案；【詳解】解：過點(diǎn)F作，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：C．2．（2023上·河南南陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，第二象限的點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，且，，則k的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義，正確作出輔助線求得兩個(gè)三角形的面積的比是關(guān)鍵．作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，易證，則面積的比等于相似比的平方，即的平方，然后根據(jù)反比例函數(shù)中比例系數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)．則，則，∵，設(shè)則，∴，又∵，∴，∴．故選：C．3．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)寧波市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，．在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形和菱形，四點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)在對(duì)角線上．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以求得和的長，然后即可計(jì)算出的長．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，作于點(diǎn)I，作交的延長線于點(diǎn)J，如圖所示，∵四邊形是菱形，，，，是等邊三角形，，，，，，∵菱形和菱形大小相同，，，，，∴，同理可得，，故答案為：．4．（2023上·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正弦的定義、三角形面積公式，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，由可設(shè)，，則，計(jì)算出，即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，設(shè)，，，，，于點(diǎn)，，即，解得：，，故答案為：．5．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，、相交于點(diǎn)O，且，過點(diǎn)A作，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，延長交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)F，且，連接、．(1)求證：四邊形是矩形；(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)四邊形是菱形，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)等角對(duì)等邊得出，利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，可證，然后根據(jù)矩形的判定即可得證；（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等證明四邊形是平行四邊形，然后證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，即可判斷四邊形是菱形；（3）在中，利用正切定義求出，然后在中，利用正弦的定義求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴平行四邊形是矩形；（2）解：四邊形是菱形．理由如下：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，又，∴，∴平行四邊形是菱形；（3）解：在中，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題四、解直角三角形的應(yīng)用1、（2023上·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）利用投影燈測量計(jì)算坡比．如圖，投影燈的下邊緣光線落在坡腳點(diǎn)B處，上邊緣光線落在斜坡點(diǎn)C處，此時(shí)投影燈O離地面距離為1.5m，離坡角B點(diǎn)水平距離為5m．將投影燈往上平移，上下邊緣的光線，，恰好落在斜坡D，C處，此時(shí)投影燈向上平移了0.9米，現(xiàn)測得，則斜坡的坡比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】勾股定理求出的長，利用平移的性質(zhì)，推出，得到，求出的長，延長交的延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明，得到，求出的長，進(jìn)而得到的長，證明，得到，求出的長，再利用坡度等于，求解即可．【詳解】解：由題意，得：，，∴，，，∴，∴，∴，延長交的延長線于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，，即：斜坡的坡比為；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理以及平移的性質(zhì)，本題的難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．2．（2023上·山西長治·九年級(jí)校聯(lián)考期末）學(xué)校攝影興趣小組在上攝影課，小王發(fā)現(xiàn)攝影三腳架如圖1所示，該支架三個(gè)腳長度相同且與地面夾角相同．如圖2，過點(diǎn)A向地面作垂線，垂足為C．若三腳架的一個(gè)腳的長為2米，，則相機(jī)距地面的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵三腳架的一個(gè)腳的長為2米，，∴，∴（米）．故選：B．3．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國自行硏制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，其由空間段、地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內(nèi)全天候、全天時(shí)為各類用戶提供高精度、高可靠定位、導(dǎo)航、授時(shí)服務(wù)．如圖，小敏一家自駕到風(fēng)景區(qū)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西方向行駛10千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達(dá)風(fēng)景區(qū)C，小敏發(fā)現(xiàn)風(fēng)景區(qū)C在A地的北偏東方向．則的度數(shù)為；B、C兩地的距離是．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，，，從而可得，然后利用平角定義可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，求出的度數(shù)；先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：，，，，，，，，的度數(shù)為；在中，千米，，（千米），在中，，（千米），，兩地的距離為千米．故答案為：，4．（2023上·浙江溫州·九年級(jí)溫州繡山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上，定點(diǎn)與刻度尺下邊沿的端點(diǎn)重合，與刻度尺下邊沿重合，與刻度尺上邊沿的交點(diǎn)在刻度尺上的讀數(shù)恰為．若將射線繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與尺子的上沿交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C在刻度尺上的讀數(shù)約為（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．

【答案】2.9【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的判定，如圖，首先在等腰直角中，得到，再由旋轉(zhuǎn)求得，然后在直角中，根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求出的長度．【詳解】解：如圖，

由題意，得∴∴，由旋轉(zhuǎn)得：，∴在中，，，，．∴點(diǎn)C在刻度尺上的讀數(shù)約為．故答案為：2.9．5．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┑?1屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)于2023年7月28日在成都舉行，主火炬塔位于東安湖體育公園，亮燈之夜，塔身通體透亮，10余道象征太陽光芒的螺旋線全部點(diǎn)亮，璀璨絢麗，流光溢彩（如圖1）．小杰同學(xué)想要通過測量及計(jì)算了解火炬塔的大致高度，當(dāng)他步行至點(diǎn)處，測得此時(shí)塔頂?shù)难鼋菫?，再步?0米至點(diǎn)處，測得此時(shí)塔頂?shù)难鼋菫椋ㄈ鐖D2所示，點(diǎn)在同一條直線上），請(qǐng)幫小杰計(jì)算火炬塔的高．（，，，，，，結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】32米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，在中，由銳角三角函數(shù)定義可得，再在中，由銳角三角函數(shù)定義可得，進(jìn)而可得火炬塔的高度，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．【詳解】解：設(shè)米，在中，，，在中，，，∵米，∴，解得：，答：火炬塔的高約為32米．易錯(cuò)必刷題五、直線與圓的位置關(guān)系1．（2023上·河南商丘·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是的切線，A、B為切點(diǎn)，，點(diǎn)C是上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．連接，，當(dāng)在優(yōu)弧上時(shí)與在弧上時(shí)，分別求出的度數(shù)即可．【詳解】解：如圖示，連接，，、是的切線，，，，，，當(dāng)在優(yōu)弧上時(shí)，；當(dāng)在劣弧上時(shí)，，則的度數(shù)為或．故選：C．2．（2024上·北京海淀·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知分別與相切于點(diǎn)，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，最后根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：如圖，連接，，，分別與相切于A,B兩點(diǎn)，，，，，．故選：A．3．（2013上·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓半徑．【答案】1【分析】本題考查了切線長定理，圓的切線的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線長定理是解答本題的關(guān)鍵，首先利用切線的性質(zhì)證明四邊形是正方形，得到，再利用切線長定理得到，，最后由列方程即可求解．【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓與、、分別相切于點(diǎn)D、E、F，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，，在中，，，，解得．故答案為：1．4．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)E在中線上，以E為圓心的圓E分別與、相切，則的半徑是．

【答案】【分析】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、切線的性質(zhì)，作于，作于，作于，連接，，設(shè)的半徑為，根據(jù)勾股定理得，根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)得，根據(jù)即可求解，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】作于，作于，作于，連接，，如圖：

四邊形是矩形，設(shè)的半徑為，在中，，，，，是中線，，以E為圓心的圓E分別與、相切，，，，，，，即：，，，，故答案為：．5．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，為直徑，，，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：．(2)求證：是⊙O的切線．(3)若，求．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查圓的綜合問題，考查圓的切線的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解此題的關(guān)鍵（1）作于，證明，得到，從而可得；（2）連接，證明，由于，得到，從而得到，進(jìn)而得到，即可得證；（3）證明，得到，由（1）可得，得到，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】（1）證明：如圖，作于，，在和中，，，，，，；（2）證明：如圖，連接，，是的直徑，，即，，，，，，，，是⊙O的切線；（3）解：由（2）可知：，在和中，，，，由（1）可得：，，．易錯(cuò)必刷題六、切線長定理1．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的圓心在梯形的底邊上，且與梯形的其他三邊均相切，若，，則梯形的周長為（

）A．8 B．10 C．14 D．18【答案】C【分析】此題主要考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出,利用切線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，即可得出，即：，同理：即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，，∵，是的切線，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，，∴,∵，∴梯形的周長為，故選：C．2．（2023上·山東聊城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，中，，內(nèi)切于點(diǎn)，，，則的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，連接、，，由切線長定理可得，，，證明四邊形是正方形，設(shè)，則，，由勾股定理可得，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接、，，，由切線長定理可得，，，，，，，，，，，四邊形是正方形，設(shè)，則，，在中，由勾股定理可得：，，解得：或（不符合題意，舍去），的半徑為，故選：D．3．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，以為直徑作半圓O，以點(diǎn)D為圓心、為半徑作圓弧交半圓O于點(diǎn)P．連接并延長交于點(diǎn)E，則的值為．

【答案】3【分析】根據(jù)證得，從而證得，即可證得為半圓的切線；根據(jù)切線長定理和相似三角形的判定與性質(zhì)得到：，整理得到，即可證得，從而求得．【詳解】連接，

∵是的直徑，∵以點(diǎn)為圓心為半徑做圓弧，在和中，∵點(diǎn)在上，∴為半圓的切線；延長與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接．四邊形是正方形，∴是的切線，∵為的直徑，∴，同理，是半圓的切線，∵為半圓的切線，整理得，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2022上·廣東東莞·九年級(jí)東莞中學(xué)南城學(xué)校?？计谀┤鐖D：、是的兩條切線，、是切點(diǎn)，、是上兩點(diǎn)，如果，，則的度數(shù)是度．【答案】【分析】本題主要考查切線長定理、等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)切線長定理得，則，再根結(jié)合內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和平角即可求得．【詳解】解：、是的切線，，又，，，四邊形內(nèi)接于，，．故答案為：99.5．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知P為圓O外一點(diǎn)，，為的切線，切點(diǎn)為A、B，是直徑，(1)說明；(2)若，，求長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)切線長定理得到，然后證明出垂直平分，然后得到，即可證明出；（2）首先根據(jù)勾股定理得到，然后證明出，得到，求出，然后證明出為中位線，即可求出的長．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接，

∵，是的切線，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴是的直徑，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴∴，即∴∵垂直平分，∴，，∵，∴為中位線，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了切線長定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．易錯(cuò)必刷題七、三角形的內(nèi)切圓1．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┰谙铝忻}中，正確的是（

）A．任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓C．三角形的內(nèi)心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等D．垂直于半徑的直線一定是這個(gè)圓的切線【答案】A【分析】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓與切線的判定，熟練運(yùn)用確定圓的條件的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【詳解】A、任何三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，則A正確；B、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，則B錯(cuò)誤；C、三角形內(nèi)心到三邊的距離相等，則C錯(cuò)誤；D、過半徑的外端垂直于半徑的直線是圓的切線，則D錯(cuò)誤．故選A2．（2021·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且、與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則的最小值（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)P位于位置時(shí)，取得最小值，故可求解．此題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到取得最小值時(shí)P的位置．【詳解】連接，∵，∴，∵，∴，要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)P位于位置時(shí)，取得最小值，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)Q，則，∴，又，∴，∴，故選D．3．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，是的內(nèi)切圓，連接，則圖中陰影部分的面積之和為．

【答案】【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓、勾股定理、扇形的面積的計(jì)算，由勾股定理得出，求出的內(nèi)切圓的半徑，再根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，設(shè)與的三邊、、的切點(diǎn)分別為、、，連接、、，

，則，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，在中，，，，，的內(nèi)切圓的半徑，是的內(nèi)切圓，，，，圖中陰影部分的面積之和，故答案為：．4．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，內(nèi)切于，切點(diǎn)為，已知，則的度數(shù)=；【答案】/55度【分析】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出，根據(jù)圓周角定理求出即可．【詳解】連接，內(nèi)切于，切點(diǎn)為D、E、F，，故答案為：．5．（2023上·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為的直徑，點(diǎn)都在上，且平分，交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．(2)若，求的半徑；(3)于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)等腰直角三角形，理由見解析(2)12(3)．理由見解析【分析】（1）由平分，根據(jù)圓周角定理，可得，從而得解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出長，則，可求出，則答案得出；（3）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明與，則，則結(jié)論可得出．【詳解】（1）解：∵為的直徑，∴∵平分，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（2）解：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

為的直徑，，，，，，，，，，；（3）解：．理由如下：如圖2，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

四邊形內(nèi)接于圓，，，，，，平分，，，，，，，，，，．即．【點(diǎn)睛】此題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必刷題八、投影1．（2023上·陜西漢中·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列投影，屬于平行投影的是（

）A．晚上路燈下小孩的影子 B．陽光下沙灘上人的影子C．汽車燈光照射下行人的影子 D．皮影戲中的影子【答案】B【分析】本題主要考查投影，熟練掌握平行投影是解題的關(guān)鍵；根據(jù)平行投影可進(jìn)行求解．【詳解】解：A、屬于中心投影，不符合題意；B、屬于平行投影，符合題意；C、屬于中心投影，不符合題意；D、屬于中心投影，不符合題意；故選B．2．（2023上·浙江溫州·九年級(jí)溫州繡山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）興趣小組測量學(xué)校的旗桿，在陽光下，甲同學(xué)測得長1米的竹竿影長為米，同一時(shí)刻乙同學(xué)測量時(shí)發(fā)現(xiàn)旗桿的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上，墻壁垂直地面，如圖所示，落在墻上的影長為2米，，落在地面上的影長AB為9米，則旗桿的高度是（

）米．A．8 B．12 C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用．由題意可知在同一時(shí)刻物高和影長成正比，即在同一時(shí)刻的兩個(gè)物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形相似．經(jīng)過旗桿在教學(xué)樓上的影子的頂端作旗桿的垂線和經(jīng)過旗桿頂?shù)奶柟饩€以及旗桿所成三角形，與竹竿，影子光線形成的三角形相似，這樣就可求出垂足到旗桿的頂端的高度，再加上墻上的影高就是旗桿高．【詳解】解：設(shè)從墻上的影子的頂端到旗桿的頂端的垂直高度是x米．則有，解得．旗桿高是（米）．故選：A．3．（2023上·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組下午測得一根長為的竹竿影長是，同一時(shí)刻測量樹高時(shí)發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上，測得留在墻壁上的影高，地面上的影長為．請(qǐng)你幫算一下，樹高是．【答案】【分析】此題考查了平行投影，相似三角形的應(yīng)用；在同一時(shí)刻任何物體的高與其影子的比值是相同的，所以竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同，利用這個(gè)結(jié)論可以求出樹高．【詳解】解：如圖，設(shè)是在地面的影子，樹高為，根據(jù)竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得，則，解得：，樹在地面的實(shí)際影子長是，竹竿的高與其影子的比值和樹高與其影子的比值相同得：，解得：，樹高是．故答案為：．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）中午12點(diǎn)，身高的小冰的影長為，同學(xué)小明此時(shí)在同一地點(diǎn)的影長為，那么小明的身高為．【答案】180【分析】本題考查了平行投影．設(shè)小明的身高為，根據(jù)“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”，即可求解．【詳解】解：設(shè)小明的身高為，根據(jù)題意得：，解得：，即小明的身高為．故答案為：1805．（2023上·江西九江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，身高的小王晚上沿箭頭方向散步至一路燈下，他想通過測量自己的影長來估計(jì)路燈的高度．具體做法如下：先從路燈底部向東走25步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點(diǎn)剛好在兩盞路燈的中間點(diǎn)P處，然后繼續(xù)沿剛才自己的影子走5步到P處，此時(shí)影子的端點(diǎn)在Q處．(1)根據(jù)題意畫圖，找出路燈的位置．(2)通過計(jì)算估計(jì)路燈的高．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)應(yīng)用、中心投影，找到相似三角形列出比例式是解題的關(guān)鍵．（1）連接，并延長相交于點(diǎn)，即為路燈的位置；（2）由，可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式，代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)O為路燈的位置；（2）作垂直地面，如圖，步，步，，∵,∴，，即，解得，答：路燈的高為．易錯(cuò)必刷題九、簡單幾何體的三視圖1．（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是由5個(gè)小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上的小立方塊的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（

）

A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)題意，從正面看，一共3列，左邊有1個(gè)小正方形，中間有2個(gè)（前后各1個(gè)），右邊有2個(gè)小正方形，據(jù)此分析判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，主視圖有3列，左邊有1個(gè)小正方形，中間有2個(gè)（前后各1個(gè)），右邊有2個(gè)小正方形，所以選項(xiàng)A符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體及簡單組合體的三視圖，解題關(guān)鍵是理解并掌握簡單組合體的三視圖．2．（2023下·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖是由6個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，下列說法正確的是（

）

A．主視圖和俯視圖一樣 B．主視圖和左視圖一樣C．左視圖和俯視圖一樣 D．主視圖，左視圖，俯視圖都不一樣【答案】B【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【詳解】解：該幾何體的主視圖和左視圖完全相同，均為底層三個(gè)小正方形，上層的左邊是一個(gè)小正方形；俯視圖第一行是三個(gè)小正方形，第二、三行是一個(gè)小正方形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖．3．（2021上·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，5個(gè)完全相同的小正方體組成了一個(gè)幾何體，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉杏脤?shí)線畫出從正面、左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖．

【答案】詳見解析【分析】三視圖的具體畫法及步驟為：①確定主視圖位置，畫出主視圖；②在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對(duì)正”；③在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”、與俯視圖“寬相等”.畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長對(duì)正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等．【詳解】解：從正面、左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如下圖所示，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫三視圖，畫立體圖形的三視圖要循序漸進(jìn)，不妨從熟悉的圖形出發(fā)，對(duì)于一般的立體圖要通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖.要注意幾何體看得見部分的輪廓線畫成實(shí)線，被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線化成虛線．4．（2023上·七年級(jí)單元測試）老師用10個(gè)的小正立方體擺出一個(gè)立體圖形，它的正視圖如圖①所示，且圖中任兩相鄰的小正立方體至少有一棱邊（）共享，或有一面（）共享．老師拿出一張的方格紙（如圖②），請(qǐng)小榮將此10個(gè)小正立方體依正視圖擺放在方格紙中的方格內(nèi)，請(qǐng)問小榮擺放完后的左視圖有種．（小正立方體擺放時(shí)不得懸空，每一小正立方體的棱邊與水平線垂直或平行）

【答案】16【分析】小榮擺放完后的左視圖有：①從左往右依次是3個(gè)正方形、1個(gè)正方形、1個(gè)正方形；②從左往右依次是3個(gè)正方形、1個(gè)正方形、2個(gè)正方形；③從左往右依次是3個(gè)正方形、2個(gè)正方形、1個(gè)正方形；④從左往右依次是3個(gè)正方形、2個(gè)正方形、2個(gè)正方形；⑤從左往右依次是2個(gè)正方形、3個(gè)正方形、1個(gè)正方形；⑥從左往右依次是2個(gè)正方形、3個(gè)正方形、2個(gè)正方形；⑦從左往右依次是2個(gè)正方形、1個(gè)正方形、3個(gè)正方形；⑧從左往右依次是2個(gè)正方形、2個(gè)正方形、3個(gè)正方形；⑨從左往右依次是1個(gè)正方形、3個(gè)正方形、1個(gè)正方形；⑩從左往右依次是1個(gè)正方形、3個(gè)正方形、2個(gè)正方形；（11）從左往右依次是1個(gè)正方形、1個(gè)正方形、3個(gè)正方形；（12）從左往右依次是1個(gè)正方形、2個(gè)正方形、3個(gè)正方形；（13）從左往右依次是3個(gè)正方形、1個(gè)正方形；（14）從左往右依次是3個(gè)正方形、2個(gè)正方形；（15）從左往右依次是2個(gè)正方形、3個(gè)正方形；（16）從左往右依次是1個(gè)正方形、3個(gè)正方形；【詳解】解：由題意可知，立體圖形只有一排左視圖有3個(gè)正方形，有兩到三排．三排的左視圖有：種；兩排的左視圖有：種；共種．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖，解決問題的關(guān)鍵是掌握主視圖是從物體的正面看到的視圖，左視圖是從物體的左面看得到的視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．5．（2023上·廣東茂名·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）畫出下面由11個(gè)小正方體搭成的幾何體從不同角度看得到的圖形．(1)請(qǐng)畫出從正面看、從左面看、從上面看的平面圖形；(2)如果在這個(gè)組合體中，再添加一個(gè)相同的正方體組成一個(gè)新組合體，從正面、左面看這個(gè)新組合體時(shí)，看到的圖形與原來相同，請(qǐng)畫出添加正方體后，從上面看這個(gè)新組合體時(shí)看到的一種圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了空間觀念，根據(jù)立體圖形能想象出從各方面觀察的平面圖形是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)組合體的形狀，分別從正面、左面、上面看，畫出平面圖形即可求解；（2）根據(jù)從正面、左面看這個(gè)新組合體時(shí)，看到的圖形與原來圖形相同，進(jìn)行添加后再畫出從上面看得到的圖形即可求解．【詳解】（1）解：（2）解易錯(cuò)必刷題十、由三視圖描述幾何體1．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個(gè)幾何體最多由a個(gè)小正方體組成，最少由b個(gè)小正方體組成，則等于（）A．10 B．11 C．12【答案】C【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖可得左邊后排最多有3個(gè)，左邊前排最多有3個(gè)，右邊只有1個(gè)，圖中的小正方體最多7塊，左邊后排最少有1個(gè)，左邊前排最多有3個(gè)，右邊只有1個(gè)，圖中的小正方體最少5塊，即得本題主要考查了由三視圖判定小正方體的個(gè)數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握由主視圖和俯視圖判定左邊前、后排小正方體最多或最少個(gè)數(shù)，右邊小正方體個(gè)數(shù)．【詳解】結(jié)合主視圖和俯視圖可知，左邊后排最多有3個(gè)，左邊前排最多有3個(gè)，右邊只有一層，且只有1個(gè)，∴圖中的小正方體最多7塊．結(jié)合主視圖和俯視圖可知，左邊后排最少有1個(gè)，左邊前排最多有3個(gè)，右邊只有一層，且只有1個(gè)，∴圖中的小正方體最少5塊．．故選：C．2．（2023上·陜西西安·七年級(jí)陜西師大附中校考階段練習(xí)）某社區(qū)的志愿者收到一批防疫物資，這批防疫物資用同樣的正方體箱子包裝，擺放的位置從上面和正面看到的都是如圖所示，這批防疫物資最多有（

）箱．

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)簡單組合體的三視圖的意義在主視圖和俯視圖上相應(yīng)標(biāo)出擺放的小立方體的個(gè)數(shù)即可求解．【詳解】解：最多的分布如下：

所以(個(gè))；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡單組合體的三視圖，能根據(jù)三視圖判斷相應(yīng)位置的數(shù)目是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·安徽宿州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）一個(gè)幾何體由13個(gè)大小相同的小立方塊搭成.這個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的搭法共有種（三視圖中沒有空白部分）.【答案】3【分析】本題考查了三視圖的應(yīng)用，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查，由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．【詳解】解：由俯視圖得，最底層有9個(gè)小立方塊，還有個(gè)，從主視圖可知，此立方體共有3層，結(jié)合左視圖可知第二層有3個(gè)小立方塊，第三層有1個(gè)小立方塊，位置固定，搭法如下圖：結(jié)合圖形可知共有3種搭法，故答案為：3．4．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一個(gè)幾何體的三視圖，俯視圖是菱形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：），可求得它的體積是．【答案】240【分析】本題主要考查了根據(jù)三視圖求體積，解題的關(guān)鍵是把三視圖還原為立體圖形．由三視圖可知該幾何體是四棱柱，其中棱柱的高是10，底面是菱形，且菱形的兩條對(duì)角線的長為8，6，然后結(jié)合菱形面積公式求出底面的面積，再乘以高便可得出該幾何體的體積．【詳解】解：該幾何體的主視圖以及左視圖都是矩形，俯視圖也為一個(gè)菱形形，可確定這個(gè)幾何體是一個(gè)四棱柱，依題意可求出該幾何體的體積為．故答案為：240．5．（2023上·河南鄭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是由大小相同的小立方塊搭成的幾何體，小立方塊棱長均為1．(1)請(qǐng)?jiān)诜礁裰蟹謩e畫出從上面、左面看到該幾何體的形狀圖；(2)用小立方塊搭一幾何體，使得從上面、左面看到該幾何體的形狀圖與你在方格中所畫一致，則這樣的幾何體最少要______個(gè)小立方塊，最多要______個(gè)小立方塊．【答案】(1)見解析(2)5；7【分析】考查了作圖三視圖以及其應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：三視圖分為主視圖、左視圖、俯視圖，分別是從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形；俯視圖決定底層立方塊的個(gè)數(shù)，易錯(cuò)點(diǎn)是由左視圖得到其余層數(shù)里最多的立方塊個(gè)數(shù)．（1）從上面看得到從左往右3列正方形的個(gè)數(shù)依次為1，2，1，依此畫出圖形即可；從左面看得到從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為2，1；依此畫出圖形即可；（2）由俯視圖易得最底層小立方塊的