專題01實數(shù)（考題猜想?？家族e10個考點40題專練） 解析版

專題01實數(shù)（考題猜想，?？家族e10個考點40題專練）易錯點1：求帶分數(shù)的算數(shù)平方根時，沒有把帶分數(shù)化為假分數(shù)易錯點2：誤認為負數(shù)沒有立方根易錯點3：對數(shù)軸上的點到原點的距離分析不全，導(dǎo)致漏解易錯點4：比較大小時出錯平方根算術(shù)平方根非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根立方根無理數(shù)實數(shù)與數(shù)軸實數(shù)大小比較估算無理數(shù)的大小實數(shù)的運算分數(shù)指數(shù)冪一．平方根（共5小題）1．（2023春?楊浦區(qū)期末）4的平方根是．【分析】一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)即為的平方根，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：，，的平方根是，故答案為：．【點評】本題考查平方根的定義，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．2．（2023春?徐匯區(qū)期末）的平方根為．【分析】根據(jù)平方根的意義，即可解答．【解答】解：的平方根為，故答案為：．【點評】本題考查了平方根，熟練掌握平方根的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?云浮期末）一個正數(shù)的平方根是與，則等于．【分析】根據(jù)平方根的定義得到與互為相反數(shù)，列出關(guān)于的方程，求出方程的解得到的值．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：．【點評】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2023春?巴彥淖爾期末）已知正數(shù)的兩個不同的平方根是和，則49．【分析】直接利用平方根的定義得出，進而得出答案．【解答】解：正數(shù)的兩個不同的平方根是和，，解得：，則，故．故答案為：49．【點評】此題主要考查了平方根，正確得出的值是解題關(guān)鍵．5．（2023春?廣州期中）一個正數(shù)的平方根是與，求和這個正數(shù)．【分析】首先根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)可得，解方程可得，然后再求出這個正數(shù)即可．【解答】解：由題意得：，解得：，，，則這個正數(shù)為9．【點評】此題主要考查了平方根，關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)．二．算術(shù)平方根（共8小題）6．（2023春?嘉定區(qū)期末）的平方根是．【分析】先求出，再求平方根．【解答】解：，，，的平方根為．故答案為：．【點評】本題主要考查了算術(shù)平方根和平方根．本題的關(guān)鍵是先求出81的算術(shù)平方根的值，再求平方根．7．（2022春?寶山區(qū)期末）若，則0或1．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是0或1可解答．【解答】解：，，，或1．故答案為：0或1．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，掌握算術(shù)平方根的定義是求解本題的關(guān)鍵．8．（2023春?民權(quán)縣期中）某市在招商引資期間，把已倒閉的機床廠租給外地某投資商，該投資商為減小固定資產(chǎn)投資，將原有的正方形場地改建成800平方米的長方形場地，且其長、寬的比為．（1）求改建后的長方形場地的長和寬為多少米？（2）如果把原來面積為900平方米的正方形場地的金屬柵欄圍墻全部利用，來作為新場地的長方形圍墻，柵欄圍墻是否夠用？為什么？【分析】（1）設(shè)長方形圍場長為米，則其寬為米，根據(jù)長方形面積列出方程求出的值，進而可知長方形長與寬；（2）由（1）中長方形的長與寬可知長方形周長，同理可得正方形的周長，比較大小可知是否夠用．【解答】解：設(shè)長方形圍場長為米，則其寬為米，根據(jù)題意，得：，解得：或（舍，長，寬，答：改建后的長方形場地的長和寬分別為米、米；（2）設(shè)正方形邊長為，則，解得：或（舍，原正方形周長為120米，新長方形的周長為，，柵欄不夠用，答：這些金屬柵欄不夠用．【點評】本題主要考查一元二次方程的簡單應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)出合適未知數(shù)是基礎(chǔ)，依據(jù)相等關(guān)系列出方程求出各自周長是解題的關(guān)鍵．9．（2023春?樂陵市期末）已知，．（1）已知的算術(shù)平方根為3，求的值；（2）如果，都是同一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平方運算，可得，根據(jù)解一元一次方程，可得答案；（2）根據(jù)同一個數(shù)的平方根相等或互為相反數(shù)，可得的值，根據(jù)平方運算，可得答案．【解答】解：（1）的算術(shù)平方根是3，，解得．故的值是；（2），都是同一個數(shù)的平方根，，或解得，或，，．答：這個數(shù)是1或25．【點評】本題考查了算術(shù)平方根，注意符合條件的答案有兩個，以防漏掉．10．（2023春?江岸區(qū)期中）小麗想用一塊面積為400平方厘米的正方形紙片，沿著邊的方向剪出一塊面積為300平方厘米的長方形紙片，使它的長寬之比為．她不知能否裁得出來，正在發(fā)愁．小明見了說：“別發(fā)愁，一定能用一塊面積大的紙片裁出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？說明理由．【分析】先求得正方形的邊長，然后設(shè)長方形的邊長為，，然后依據(jù)矩形的面積為300列方程求得的值，從而得到矩形的邊長，從而可作出判斷．【解答】解：正方形的邊長．設(shè)長方形的邊長為，．根據(jù)題意得：，解得：，解得：或（舍去）．矩形的長為，小麗不能用這款紙片才裁出符合要求的紙片．【點評】本題主要考查的是算術(shù)平方根的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023春?萬秀區(qū)校級期中）觀察如圖，每個小正方形的邊長均為1．（1）圖中陰影正方形的面積是多少？邊長是多少？（2）估計邊長的值在哪兩個整數(shù)之間．【分析】（1）由圖形可以得到陰影正方形的面積等于原來大正方形的面積減去周圍四個直角三角形的面積，由正方形的面積等于邊長乘以邊長，可以得到陰影正方形的邊長；（2）根據(jù)，可以估算出邊長的值在哪兩個整數(shù)之間．【解答】解：（1）由圖可知，圖中陰影正方形的面積是：，則陰影正方形的邊長為：，即圖中陰影正方形的面積是10，邊長是；（2），，即邊長的值在3與4之間．【點評】本題考查算術(shù)平方根、估算無理數(shù)的大小、正方形的面積與邊長的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意．利用數(shù)形結(jié)合的思想進行解答．12．（2023春?京山市期中）小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片．（1）請幫小麗設(shè)計一種可行的裁剪方案；（2）若使長方形的長寬之比為，小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？若能，請幫小麗設(shè)計一種裁剪方案；若不能，請簡要說明理由．【分析】（1）直接利用算術(shù)平方根的定義正方形紙片的邊長，進而得出答案；（2）直接利用算術(shù)平方根的定義長方形紙片的長與寬，進而得出答案．【解答】解：（1）設(shè)面積為的正方形紙片的邊長為，，又，，又要裁出的長方形面積為若以原正方形紙片的邊長為長方形的長，則長方形的寬為：可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為的線段作為寬即可裁出符合要求的長方形；（2）長方形紙片的長寬之比為，設(shè)長方形紙片的長為，則寬為，，，又，，長方形紙片的長為，又即：小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根，正確開平方是解題關(guān)鍵．13．（2023春?龍口市期中）先觀察下列等式，再回答下列問題：①；②；③．（1）請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想的結(jié)果，并驗證；（2）請你按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出用含的式子表示的等式為正整數(shù)）．【分析】（1）從三個式子中可以發(fā)現(xiàn)，第一個加數(shù)都是1，第二個加數(shù)是個分數(shù)，設(shè)分母為，第三個分數(shù)的分母就是，結(jié)果是一個帶分數(shù)，整數(shù)部分是1，分數(shù)部分的分子也是1，分母是前項分數(shù)的分母的積．所以由此可計算給的式子；（2）根據(jù)（1）找的規(guī)律寫出表示這個規(guī)律的式子．【解答】解：（1），驗證：；（2）為正整數(shù)）．【點評】此題是一個閱讀題目，通過閱讀找出題目隱含條件．總結(jié)：找規(guī)律的題，都要通過仔細觀察找出和數(shù)之間的關(guān)系，并用關(guān)系式表示出來．三．非負數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（共2小題）14．（2023春?麒麟?yún)^(qū)校級期中），則A．81 B．64 C．27 D．63【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出、的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，，，解得，，所以，．故選：．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．15．（2023春?喀什地區(qū)期末）已知實數(shù)、滿足，則的值為．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出、的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：由題意得，，，解得，，所以，．故答案為：．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．四．立方根（共5小題）16．（2023春?漳平市期末）如果，，那么約等于A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333【分析】根據(jù)立方根，即可解答．【解答】解：，．故選：．【點評】本題考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是熟記立方根的定義．17．（2023春?尋烏縣期末）正數(shù)的兩個平方根分別為和．（1）求的值；（2）求這個數(shù)的立方根．【分析】（1）根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，求出的值；（2）根據(jù)的值得出這個正數(shù)的兩個平方根，即可得出這個正數(shù)，計算出的值，再根據(jù)立方根的定義即可解答．【解答】解：（1）正數(shù)的兩個平方根是和，，解得：（2），，．這個正數(shù)的兩個平方根是，這個正數(shù)是169．，的立方根是．【點評】此題考查了立方根，平方根，注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．18．（2023春?上杭縣期中）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根．【分析】根據(jù)平方根和立方根得出，，求出、的值即可．【解答】解：的平方根是，，，的立方根是2，，，，的平方根是．【點評】本題考查了對平方根和立方根定義的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出算式和．19．（2023春?宣恩縣期中）解方程（1）（2）．【分析】（1）方程變形后，利用平方根定義開方即可求出解；（2）方程利用立方根定義開立方即可求出解．【解答】解：（1）方程整理得：，開方得：，解得：，；（2）開立方得：，解得：．【點評】此題考查了立方根，以及平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．20．（2023春?浦城縣期中）已知的算術(shù)平方根是3，的立方根是，求的平方根．【分析】先依據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義可得到，，然后可求得、的值，最后代入計算即可．【解答】解：的算術(shù)平方根是3，的立方根是，，，解得：，，，的平方根為．【點評】本題主要考查的是立方根、算術(shù)平方根的定義，依據(jù)平方根、立方根的定義列出方程組是解題的關(guān)鍵．五．無理數(shù)（共2小題）21．（2023春?松江區(qū)期中）在0、、、、、、（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“1”之間“0”的個數(shù)依次加1個）這七個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)無理數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：在0、、、、、、（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“1”之間“0”的個數(shù)依次加1個）這七個數(shù)中，無理數(shù)有：、、（它的位數(shù)無限且相鄰兩個“1”之間“0”的個數(shù)依次加1個），所以，無理數(shù)共有3個，故選：．【點評】本題考查了無理數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，熟練掌握無理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．22．（2022春?松江區(qū)校級期中）下列各數(shù)中：0、、、、、（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個“5”之間的“1”依次增加1個），無理數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可求解．【解答】解：0、是整數(shù)，是分數(shù)，這些都屬于有理數(shù)；無理數(shù)有，，（它的位數(shù)無限，且相鄰兩個“5”之間的“1”依次增加1個），共有3個．故選：．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像（相鄰兩個2中間依次多1個，等有這樣規(guī)律的數(shù)．六．實數(shù)與數(shù)軸（共2小題）23．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）數(shù)軸上，兩點之間的距離是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則點在數(shù)軸上表示的數(shù)為或2．【分析】分點在點的兩側(cè)，分別列式計算即可．【解答】解：，兩點之間的距離是，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，，或，點在數(shù)軸上表示的數(shù)為或2，故答案為：或2．【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論．24．（2023春?白城期中）如圖，一只螞蟻從點沿數(shù)軸向右爬了2個單位長度到達點，點表示，設(shè)點所表示的數(shù)為．（1）實數(shù)的值是；（2）求的值；（3）在數(shù)軸上還有、兩點分別表示實數(shù)和，且有與互為相反數(shù)，求的平方根．【分析】（1）點表示，沿著軸向右移動2個單位到達點，所表示的數(shù)為，，即：，故答案為：．（2），則，，進而化簡，并求出代數(shù)式的值；（3）根據(jù)非負數(shù)的意義，列方程求出、的值，進而求出的值，再求出的平方根．【解答】解：（1）；（2），則，，；答：的值為2．（3）與互為相反數(shù)，，，且，解得：，，或，，①當(dāng)，時，所以，無平方根．②當(dāng)，時，，的平方根為，答：的平方根為．【點評】考查數(shù)軸、非負數(shù)的性質(zhì)、絕對值的意義，分類討論是常用的方法．七．實數(shù)大小比較（共1小題）25．（2023春?長寧區(qū)期末）比較下列兩實數(shù)的大?。海痉治觥恳罁?jù)題意，先比較2與的大小，進而可以得解．【解答】解：，．故答案為：．【點評】本題主要考查了實數(shù)的大小比較及算術(shù)平方根，解題時要能熟練掌握并靈活運用．八．估算無理數(shù)的大小（共8小題）26．（2023春?陽信縣期末）定義為不大于的最大整數(shù)，如，，，則滿足，則的最大整數(shù)為35．【分析】由題意得：，然后利用平方運算，進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：，，的最大整數(shù)為35．故答案為：35．【點評】本題考查了無理數(shù)的估算，掌握夾逼法，用有理數(shù)夾逼無理數(shù)是關(guān)鍵．27．（2022秋?任城區(qū)期末）已知的小數(shù)部分為，的小數(shù)部分為，則1．【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根的定義得到，則利用不等式性質(zhì)可得到，，所以，，然后把它們的和．【解答】解：，，，，，，，．故答案為1．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大?。豪猛耆椒綌?shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進行估算．也考查了算術(shù)平方根．28．（2023秋?金牛區(qū)校級期中）若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值6．【分析】求出、的值，代入計算即可．【解答】解：，，又的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，，，，故答案為：6．【點評】本題考查無理數(shù)的估算，表示出的整數(shù)部分和小數(shù)部分是正確計算的前提．29．（2023春?宣化區(qū)期中）若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則．【分析】首先確定的范圍，即可推出的值，把的值代入求出即可．【解答】解：，，，．故答案為：．【點評】考查了估算無理數(shù)的大小，解此題的關(guān)鍵是確定的范圍．，得出，的值．30．（2023秋?天元區(qū)期末）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請解答：（1）的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是（2）如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值．【分析】（1）利用已知得出的取值范圍，進而得出答案；（2）首先得出，的取值范圍，進而得出答案．【解答】解：（1），，的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是：；故答案為：3，；（2），的小數(shù)部分為：，，的整數(shù)部分為，．【點評】此題主要考查了估計無理數(shù)，得出無理數(shù)的取值范圍是解題關(guān)鍵．31．（2023春?荔城區(qū)校級期中）已知的算術(shù)平方根是3，的平方根是，是的整數(shù)部分，求的平方根．【分析】先依據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義列出關(guān)于、的方程組求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下來，求得的值，最后求它的平方根即可．【解答】解：由題意得：，，．，．．．的平方根是．【點評】本題主要考查的是算術(shù)平方根、平方根的定義、估算無理數(shù)的大小，熟練掌握相關(guān)定義和方法是解題的關(guān)鍵．32．（2023春?閬中市校級期末）已知是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的值．【分析】由于，由此可確定的整數(shù)部分，接著確定小數(shù)部分，然后代入所求代數(shù)式中計算出結(jié)果即可．【解答】解：，的整數(shù)部分，小數(shù)部分，，．【點評】此題考查了二次根式的性質(zhì)，估算無理數(shù)的大?。焕枚胃降男再|(zhì)確定、的值是解決問題的關(guān)鍵．33．（2023春?邯山區(qū)校級月考）化簡求值：（1）已知是的整數(shù)部分，，求的平方根．（2）已知：實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【分析】（1）由于，由此可得的整數(shù)的值；由于，根據(jù)算術(shù)平方根的定義可求，再代入計算，進一步求得平方根．（2）利用數(shù)軸得出各項符號，進而利用二次根式和絕對值的性質(zhì)化簡求出即可．【解答】解：（1），，，，，的平方根是；（2）由數(shù)軸可得：，則，，，則．【點評】本題考查了算術(shù)平方根與平方根的定義和估算無理數(shù)的大小，熟記概念，先判斷所給的無理數(shù)的近似值是解題的關(guān)鍵．九．實數(shù)的運算（共3小題）34．（2023春?樟樹市期中）用“”表示一種新運算：對于任意正實數(shù)，，都有．例如，那么29．【分析】原式根據(jù)題中的新定義計算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：．故答案為：29【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．35．（2022秋?杭州期末）在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算“※”：※，例如：3※．（1）若，，計算※的值．（2）若※，求的值．（3）若，求※※的值．【分析】（1）利用新定義的規(guī)定列式運算即可；（2）利用新定義的規(guī)定得到一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）利用新定義的規(guī)定化簡后，利用整體代入的方法解答即可．【解答】解：（1）原式；（2）※，，解得：；（3）原式，當(dāng)時，上式．【點評】本題主要考查了求代數(shù)式的值，解一元一次方程，本題是新定義型，正確理解