專題02 一元一次不等式組重難點題型專訓（9大題型+15道拓展培優(yōu)）（解析版）

專題02一元一次不等式組重難點題型專訓（9大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一一元一次不等式組的定義題型二求不等式組的解集題型三解特殊不等式組題型四求一元一次不等式組的整數(shù)解題型五由一元一次不等式組的解集求參數(shù)題型六由不等式組解集的情況求參數(shù)題型七不等式組與方程組相結(jié)合問題題型八列一元一次不等式組題型九一元一次不等式組的應用【知識梳理】知識點1:一元一次不等式組定義由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組知識點2:一元一次不等式組的解集幾個一元一次不等式解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集．當任何未知數(shù)都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解．一元一次不等式組的解法及解集表示不等式組（a＞b)解集在數(shù)軸上表示口訣x＞a同大取大x＜b同小取小b＜x＜a大小、小大中間找無解大大、小小取不小知識點3:一元一次不等式組的解法1．分別求出不等式組中各個不等式的解集；2．利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集知識點4:一元一次不等式(組）之含參問題【經(jīng)典例題一一元一次不等式組的定義】【例1】（22-23七年級下·全國·課時練習）下列選項中，是一元一次不等式組的是（

）A． B．C． D．【答案】D【變式訓練】1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）有下列不等式組：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式組的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)兩個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1次的，可得答案．【詳解】①是一元一次不等式組，故①正確；②是一元一次不等式組，故②正確；③是一元二次不等式組，故③錯誤；④，含有分式，不是一元一次不等式組，故④錯誤；⑤是二元一次不等式組，故⑤錯誤；⑥是一元一次不等式組，故⑥正確.故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，每個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式組是一元一次不等式組．2．（22-23七年級下·甘肅慶陽·階段練習）下列不等式組：①②③④⑤．其中是一元一次不等式組的有個．【答案】2【分析】利用一元一次不等式組定義解答即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式組；③是一元一次不等式組；④不是一元一次不等式組；⑤，未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有2個，故答案為：2．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組．3．（23-24七年級下·全國·單元測試）判斷下列式子中，哪些是一元一次不等式組？(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】見解析【分析】（1）中含有等號，是方程不是不等式；（2）x2的次數(shù)是二次，故不是一元一次不等式組；（3）符合一元一次不等式組的定義；（4）含有兩個未知數(shù)，故不是一元一次不等式組；（5）符合一元一次不等式組的定義.【詳解】解：(1)中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式組；(2)中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式組；(3)符合一元一次不等式組的定義，是一元一次不等式組；(4)含有兩個未知數(shù)，是二元一次不等式組，故不是一元一次不等式組；(5)符合一元一次不等式組的定義，是一元一次不等式組．綜上，可知(3)(5)是一元一次不等式組．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組的定義：由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組.【經(jīng)典例題二求不等式組的解集】【例2】（23-24九年級下·湖南湘潭·階段練習）一元一次不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查解一元一次不等式組、在數(shù)軸上表示不等式的解集，先解出每個不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后在數(shù)軸上表示出其解集即可，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式組的方法．【詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，∴原不等式組的解集是：，其解集在數(shù)軸上表示如下：，故選：C．【變式訓練】1．（2024·安徽合肥·一模）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再根據(jù)解集在數(shù)軸上表示出來即可求解，正確求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解得，，解得，，∴不等式組無解，∴不等式組的解集在數(shù)軸上為故選：．2．（23-24七年級下·北京·期中）比較代數(shù)式的值與0的大小，可以根據(jù)乘法法則：幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定來判斷．當時，當時，當時，綜上：當時，當或時，根據(jù)以上閱讀材料，運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出當滿足時，．【答案】或【分析】本題考查求不等式的解集，根據(jù)積為負，得到負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個，進行求解即可．【詳解】解：當時，∴；當時，∴，當時：∴，當時：∴；綜上：或；故答案為：或．3．（23-24七年級下·河南新鄉(xiāng)·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的相伴方程．(1)在方程中，其中是不等式組的相伴方程的是_____________．（填序號）(2)解不等式組后，請寫出一個相伴方程，并使得它的解是整數(shù)．(3)若方程都是關(guān)于x的不等式組的相伴方程，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【分析】本題考查了解一元一次方程、解一元一次不等式組，理解題意，正確進行計算是解此題的關(guān)鍵．（1）分別求出一元一次方程的解和一元一次不等式組的解集，結(jié)合定義即可得出答案；（2）先求不等式組的解集，再根據(jù)定義結(jié)合它的一個相伴方程的解是整數(shù)即可得出答案；（3）先求出不等式組的解集為，再結(jié)合方程都是關(guān)于x的不等式組的相伴方程，得出，，求解即可．【詳解】（1）解：解方程①得：；解方程②得：；解方程③得：；，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，其中，是不等式組的解，不等式組的相伴方程是①③，故答案為：①③；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，它的一個相伴方程的解是整數(shù)，它的一個相伴方程為；（3）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，方程都是關(guān)于x的不等式組的相伴方程，，，解得：．【經(jīng)典例題三解特殊不等式組】【例3】（22-23七年級下·河南許昌·期末）若關(guān)于x的不等式組式的整數(shù)解為x=1和x=2，則滿足這個不等式組的整數(shù)a，b組成的有序數(shù)對（a，b）共有（

）對A．0 B．1 C．3 D．2【答案】D【分析】首先解不等式組的解集即可利用a、b表示，根據(jù)不等式組的整數(shù)解僅為1,2即可確定a、b的范圍，即可確定a、b的整數(shù)解，即可求解.【詳解】由①得：由②得：不等式組的解集為：∵整數(shù)解為為x=1和x=2∴，解得：，∴a=1，b=6,5∴整數(shù)a、b組成的有序數(shù)對（a,b）共有2個故選D【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，難度較大，熟練掌握一元一次不等式組相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.【變式訓練】1．（23-24七年級下·福建龍巖·期末）定義：對于實數(shù)，符號表示不大于的最大整數(shù)．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式組2≤＜3，再解之即可．【詳解】解：∵[]=2，∴由題意得2≤＜3，解得5≤x＜7，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確列出關(guān)于x的不等式組是解答此題的關(guān)鍵．2．（21-22七年級下·湖北武漢·階段練習）設，是正整數(shù)，且滿足，，則．【答案】【分析】本題可先根據(jù)兩個不等式解出，的取值范圍，根據(jù)，是正整數(shù)得出，的可能取值，然后將，的值代入中計算即可．【詳解】解：∵，，是正整數(shù)，∴，∴，又∵，∴，，，，∴，∵，是正整數(shù)，∴或，①當時，由，得：，這樣的正整數(shù)不存在，②當時，由，得：，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了不等式的解法，根據(jù)，的取值范圍，得出，的整數(shù)解，然后代入計算．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．3．（21-22七年級下·陜西安康·期末）閱讀下列關(guān)于不等式的解題思路：由兩實數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”可得：①或②，解不等式組①得，解不等式組②得，等式的解集為或請利用上面的解題思路解答下列問題：(1)求出的解集；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的乘法法則以及解一元一次不等式組解決此題．（2）根據(jù)實數(shù)的除法法則以及解一元一次不等式組解決此題．【詳解】（1）由兩數(shù)相乘，異號為負，得：①或②，解不等式組①，無解；解不等式組②，的解集為（2）由兩數(shù)相除，同號為正，得：①或②，解不等式組①，；解不等式組②，不等式的解集為或【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四求一元一次不等式組的整數(shù)解】【例4】（2023·廣東潮州·二模）如果關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，那么適合這個不等式組的整數(shù)對共有（）A．42對 B．36對 C．30對 D．11對【答案】C【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應用，先求出不等式組的解集，根據(jù)已知得出關(guān)于、的不等式組，求出整數(shù)解即可，解此題的關(guān)鍵是求出、的值．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集是，∵關(guān)關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3，∴，，∵m、n為整數(shù)，∴、2、3、4、5、6，、17、18、19、20，，所以適合這個不等式組的整數(shù)對共有30對，故選：C．【變式訓練】1．（23-24八年級下·陜西西安·階段練習）若關(guān)于的不等式組有且只有4個整數(shù)解，則的取值范圍是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解．先求出不等式組的解集（含有字母a），利用不等式組有且只有4個整數(shù)解，逆推出的取值范圍即可．根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于的不等式組是解題關(guān)鍵．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，該不等式組的解集為，該不等式組有且只有4個整數(shù)解，4個整數(shù)解為2，3，4，5，，解得，故選D．2．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）關(guān)于x的不等式組．（1）若，不等式組的整數(shù)解．（2）若不等式組有3個整數(shù)解，則k的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．（1）將代入不等式組，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定不等式組的解集，然后得出不等式組的整數(shù)解即可；（2）利用“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則確定的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，原不等式組可變?yōu)?，∴原不等式組解得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的整數(shù)解為：；故答案為：；（2）解不等式組得：，∵不等式組有3個整數(shù)解，∴．故答案為：．3．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為7，求a的取值范圍．【答案】或【分析】本題考查了解一元一次不等式組和不等式組的整數(shù)解，先求出求出不等式組的解集，再根據(jù)已知得出關(guān)于的不等式組，求出不等式組的解集即可．能得出關(guān)于的不等式組是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組的解集為，關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和為7，當時，這兩個整數(shù)解一定是3和4，，，當時，整數(shù)解是，，0，1，2，3和4，，，的取值范圍是或．【經(jīng)典例題五由一元一次不等式組的解集求參數(shù)】【例5】（22-23九年級上·重慶沙坪壩·期中）關(guān)于x的分式方程的解為非負數(shù)，且關(guān)于y的不等式組有且只有三個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先解分式方程得，由題意可得，，從而得到且；再解不等式組得，由題意可得，由此求出滿足條件的a的值即可．【詳解】解：，，，，∵方程的解為非負數(shù)，∴，∴，∵，∴，∴，∴且；，由①得，，由②得，，∴，∵有且只有三個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為4，3，2，∴，解得，∴a的值為，1，2，共3個，故選：B．【點睛】本題考查解分式方程，解一元一次不等式組，熟練掌握分式方程和一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（23-24八年級下·山東青島·期中）如果不等式組的解集是，那么n的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一元一次不等式組：一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．解集的規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到．先解兩個不等式得到和，然后根據(jù)同小取小可確定n的范圍．【詳解】解：由，得，根據(jù)已知條件，不等式組的解集為，∴，故選：A．2．（22-23八年級下·四川成都·階段練習）已知關(guān)于的不等式組的解集是，則．【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組，先用、表示出每個不等式的解集，然后確定不等式組的解集，然后根據(jù)即可得到關(guān)于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根據(jù)不等式組的解求出得到關(guān)于和的方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，解不等式得，，解不等式得，，∵不等式的解集為，∴，，解得：，，∴．3．（2024八年級下·全國·專題練習）新定義：若一元一次方程的解在一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”．(1)在方程①；②；③中，不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是___________；（填序號）(2)若關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，求k的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，且此時不等式組有4個整數(shù)解，試求的取值范圍．【答案】(1)①②(2)(3)【分析】（1）分別解三個方程和不等式組，根據(jù)“關(guān)聯(lián)方程”的定義，即可判斷求解，（2）解不等式組和方程，將方程的解代入不等式組的解集，即可求解，（3）解不等式組和方程，根據(jù)“不等式組有4個整數(shù)解”，的到的范圍，將方程的解代入不等式組的解集，得到的范圍，兩者取公共部分，即可求解，本題考查了，解一元一次不等式組，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握解一元一次不等式組．【詳解】（1）解：①，解得：，②，解得：，③，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為：，∴不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”是：①②，故答案為：①②，（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為：，，解得：，∵關(guān)于的方程是不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，，∴，解得：，（3）解：于的方程，解得：，，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式組的解集為：，∵不等式組有4個整數(shù)解，∴整數(shù)的值為1，2，3，4，∴，∴，∵關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“關(guān)聯(lián)方程”，∴，解得：，∴m的取值范圍：．【經(jīng)典例題六由不等式組解集的情況求參數(shù)】【例6】（23-24八年級上·浙江金華·階段練習）關(guān)于x的不等式組恰好有4個整數(shù)解，則a滿足（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解．先解不等式組得到，再利用不等式組只有4個整數(shù)解，則x只能取17、18、19、20，所以，然后解關(guān)于a的不等式組即可．【詳解】解不等式得，解不等式得所以不等式組的解集為，因為不等式組只有4個整數(shù)解，即x只能取17、18、19、20，所以，所以．故選：C．【變式訓練】1．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）若關(guān)于x的不等式組有3個整數(shù)解，且關(guān)于y的一元一次方程的解為非正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和為（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本題考查由不等式組的解集和方程的解的情況求參數(shù)的值．正確的求出不等式組的解集和方程的解，是解題的關(guān)鍵．分別求出不等式組的解集，一元一次方程的解，根據(jù)題意，求出符合條件的所有整數(shù)k，再將它們相加，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由，可得：，∵關(guān)于x的不等式組最多有3個整數(shù)解，∴或無解，∵不等式組的整數(shù)解最多時為：1，2，3，∴，解得：；解，得：，∵方程的解為非正數(shù)，∴，解得：，綜上：，符合條件的k的整數(shù)值為：9，10，和為；故選B．2．（23-24七年級下·四川眉山·期中）若關(guān)于x的不等式組有且只有三個整數(shù)解，且關(guān)于x的方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的解集，解一元一次方程，在求出一元一次不等式組的解集以后，還應根據(jù)題目中的已知條件求出其整數(shù)解．由原不等式組得其解集為，再根據(jù)不等式組只有三個整數(shù)解，即整數(shù)解為、、，則，解得：，解方程得，最后求出a的值即可得解．【詳解】解不等式得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，∵不等式組只有三個整數(shù)解，即整數(shù)解為，∴，解得：，解方程得，∵方程有整數(shù)解，且∴或，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為.故答案為：．3．（23-24七年級下·福建福州·期中）新定義：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式組解集范圍內(nèi)，則稱該一元一次方程為該不等式組的“友好方程”，例如：方程的解為，而不等式組的解集為，不難發(fā)現(xiàn)在的范圍內(nèi)，所以方程是不等式組的“友好方程”．(1)在方程①；②；③中，關(guān)于的不等式組的“友好方程”是__________；（填序號）(2)若關(guān)于的方程是不等式組的“友好方程”求k的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程是關(guān)于的不等式組的“友好方程”，且此時不等式組恰好有個整數(shù)解，試求的取值范圍．【答案】(1)；(2)k的取值范圍：；(3)的取值范圍是：．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次方程的解，熟練掌握解不等式組是關(guān)鍵．（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）先求出不等式組的解集，然后再解方程求出最后根據(jù)“友好方程”的定義列出關(guān)于的不等式組，進行計算即可；（3）先求出不等式組的解集，不等式組有個整數(shù)解，即可得出的范圍，然后求出方程的解為根據(jù)“友好方程”的定義得出關(guān)于的不等式，最后取公共部分即可．【詳解】（1）解：解得：；解得：解得：，解不等式，得：解不等式，得：，的解集為：在范圍內(nèi)，∴不等式組的“友好方程”是；故答案為：．（2）解：解不等式，得：解不等式，得：的解集為：關(guān)于的方程的解為：∵關(guān)于的方程是不等式組的“友好方程”，在范圍內(nèi)，解得：．（3）解：解不等式，得：解不等式，得：的解集為：∵此時不等式組有個整數(shù)解，解得：關(guān)于的方程的解為：∵關(guān)于的方程是不等式組的“友好方程”，在范圍內(nèi)，解得：綜上所述，的取值范圍是：．【經(jīng)典例題七不等式組與方程組相結(jié)合問題】【例7】（23-24九年級上·江蘇連云港·期中）在方程組中，若未知數(shù)x、y滿足，則m的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】將方程組中的兩個方程相加可得：進而得到，然后再結(jié)合即可解答；掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將方程組中的兩個方程相加可得：，則，∵，∴，解得：，故選：C．【變式訓練】1．（22-23七年級下·廣東潮州·期末）已知方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，給出下列結(jié)論：①；②當時，；③當時，方程組的解也是方程的解；④若，則.其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①④ D．②③④【答案】D【分析】解二元一次方程組，根據(jù)方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，列不等式求解即可證明①；把代入驗證即可證明②；把代入驗證③即可；根據(jù)條件求出a的取值范圍即可求出④．【詳解】解：，得：，∴，把代入①得：，∵方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，∴，解得，∴，故①錯；當時，，，∴，故②正確；當時，，，故③正確；若，則，即，∴，即，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的解法和一元一次不等式組的解法，正確解出方程組是解題的關(guān)鍵，注意方程與不等式組的綜合運用．2．（22-23七年級下·河南周口·期末）已知關(guān)于、的二元一次方程組的解滿足且關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是．【答案】【分析】先分別求出方程組的解和不等式組的解集，再結(jié)合已知條件求出的范圍，即可求解．【詳解】解方程組得：∵方程組的解滿足∴，解得解不等式組得：∵關(guān)于的不等式組無解∴，解得∴故答案為：．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解一元一次不等式等知識點，能求出的取值范圍是解此題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）我們用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，；用表示大于的最小整數(shù)，例如：，，．根據(jù)上述規(guī)定，解決下列問題：(1)，；(2)若為整數(shù)，且，求的值；(3)若、滿足方程組，求、的取值范圍．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】本題考查了解一元一次方程，解二元一次方程組，解不等式組；（1）根據(jù)表示不大于的最大整數(shù)，表示大于的最小整數(shù)，進行計算即可；（2）根據(jù)，可得進而得到（3）解方程組可得根據(jù)表示不大于的最大整數(shù)，表示大于的最小整數(shù)，即可得到、的取值范圍．【詳解】（1）解：由題可得，，故答案為，；（2），且為整數(shù)，，，且為整數(shù)，，，，解得；（3）解原方程組，得又∵表示不大于的最大整數(shù)，表示大于的最小整數(shù)，【經(jīng)典例題八列一元一次不等式組】【例8】（2023秋·浙江·八年級專題練習）一本書共98頁，張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由“張力讀了一周（7天）還沒讀完，而李永不到一周就已讀完”可建立不等式組．【詳解】解：設張力平均每天讀x頁，則李永平均每天讀頁由“張力讀了一周（7天）還沒讀完”可得：由“李永不到一周就已讀完”可得：故：故選：A．【點睛】本題考查列一元一次不等式組．正確理解題意是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（22-23八年級下·四川達州·期中）八年級某班級部分同學去植樹，若每人平均植樹8棵，還剩7棵，若每人平均植樹9棵，則有1位同學植樹的棵數(shù)不到8棵．若設同學人數(shù)為x人，則下列各項能準確的求出同學人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】若設同學人數(shù)為x人，則植樹的棵數(shù)為棵，根據(jù)“每人平均植樹9棵，則有1位同學植樹的棵數(shù)不到8棵”列一元一次不等式組即可．【詳解】解：若每人平均植樹9棵，則位同學植樹棵數(shù)為，∵有1位同學植樹的棵數(shù)不到8棵．植樹的總棵數(shù)為棵，∴可列不等式組為：．故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，準確理解題意，找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（21-22九年級下·浙江舟山·階段練習）如圖，用圖1中的a張長方形和b張正方形紙板作側(cè)面和底面，做成如圖2的豎式和橫式兩種無蓋紙盒，若a＋b的值在285和315之間（不含285與315），且用完這些紙板做豎式紙盒比橫式紙盒多30個，則a的值可能是．【答案】218，225，232【分析】根據(jù)題意圖形可知，豎式紙盒需要4個長方形紙板與1個正方形紙板，橫式紙盒要3個長方形紙板與2個正方形紙板，設做成橫式紙盒x個，則做成豎式紙盒個，即可算出總共用的紙板數(shù)，再根據(jù)，即可得到不等式組求出x的值，即可進行求解．【詳解】設做成橫式紙盒x個，則做成豎式紙盒個，∵，∴，解得，∵x為正整數(shù)，∴或或，當時，，，當時，，，當時，，，綜上所述，a的值為218，225，232，故答案為：218，225，232．【點睛】此題主要考查不等式的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設出未知數(shù)，找到不等關(guān)系進行求解，注意結(jié)合實際情況取整數(shù)解．3．（21-22七年級下·山西晉城·期末）閱讀下面材料，完成任務．我們知道二元一次方程有無數(shù)組解，但在實際生活中我們往往只需要求出其正整數(shù)解．例：由得（為正整數(shù)），

∴

則有

又為正整數(shù)，∴為正整數(shù)．由2與3互質(zhì)可知，為3的倍數(shù)，從而，∴，∴的正整數(shù)解為任務：(1)請你寫出方程的正整數(shù)解____________；(2)若為自然數(shù)，則滿足條件的有______個；(3)七年級某班為了獎勵學習進步的學生，購買了單價為每本3元的筆記本與單價為每支5元的鋼筆兩種獎品，共花費35元，問有幾種購買方案？【答案】(1)(2)4(3)有兩種方案：①買10本筆記本，1支鋼筆，②買5本筆記本，4支鋼筆【分析】（1）根據(jù)題意可知，求方程的正整數(shù)解，先把方程做適當?shù)淖冃危倭信e正整數(shù)代入求解．（2）參照例題的解題思路進行解答；（3）設單價為每本3元的筆記本買了本，單價為每支5元的鋼筆買了支，根據(jù)題意得，其中x、y均為自然數(shù)．參照例題的解題思路解該二元一次方程即可．【詳解】（1）解：由，得（x、y為正整數(shù)）．所以，即，∴當時，，即方程的正整數(shù)解是；故答案為：；（2）解：若為自然數(shù)，則有：，即．當時，；當時，；當時，；當時，；即滿足條件x的值有4個，故答案為：4；（3）設單價為每本3元的筆記本買了本，單價為每支5元的鋼筆買了支，根據(jù)題意得，解得，（為正整數(shù)），∴，解得，又∵是3的倍數(shù)，∴的取值為1或4．∴的正整數(shù)解為或者，即有兩種方案：①買10本筆記本，1支鋼筆，②買5本筆記本，4支鋼筆．【點睛】本題考查二元一次方程的應用，一元一次不等式組的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目給出的已知條件，根據(jù)條件求解．注意筆記本和鋼筆是整體，所有解均不可能出現(xiàn)小數(shù)和負數(shù)，這也就說要求的是正整數(shù)．【經(jīng)典例題九一元一次不等式組的應用】【例9】（2023秋·浙江·八年級專題練習）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果．求這一箱蘋果的個數(shù)與小朋友的人數(shù)．若設有x人，則可列不等式組為(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】設有x人，由于每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果，則蘋果有個；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分不到8個蘋果，就是蘋果數(shù)大于0，并且小于8，根據(jù)不等關(guān)系就可以列出不等式．【詳解】解：設有x人，則蘋果有個，由題意得：．故選：C．【點睛】此題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關(guān)系．【變式訓練】1．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）若干輛載重的卡車來運載貨物，若每輛卡車裝，則剩下貨物；若每輛卡車裝，則最后一輛汽車有貨物但不足，則可能有（

）輛汽車．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查不等式組的應用，設有輛汽車，根據(jù)題意列不等式組解題，取符合題意的整數(shù)即可，根據(jù)題意列出不等式組是解題的關(guān)鍵．【詳解】設有輛汽車，由題意得，，解得：，∵是正整數(shù)，∴，故選：．2．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）如圖所示是一種程序運算，規(guī)定：程序運行到“判斷結(jié)果是否大于100”為一次運算，若結(jié)果大于100，則輸出此結(jié)果；若結(jié)果不大于100，則將此結(jié)果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，則m的取值范圍為．

【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，正確理解程序表達的意思列式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“若結(jié)果大于100，則輸出此結(jié)果；若結(jié)果不大于100，則將此結(jié)果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，”列式，然后解不等式，即可作答．【詳解】解：∵結(jié)果大于100，則輸出此結(jié)果；若結(jié)果不大于100，則將此結(jié)果作為m的值再進行第二次運算．已知運算進行了三次后停止，∴由，得；由，得即故答案為：3．（2024·河南·模擬預測）河南是一個有著悠久歷史和豐富文化的省份，這里不僅有著眾多的歷史遺跡和文化遺跡，還有著許多美食和土特產(chǎn)．新鄭大棗、道口燒雞、靈寶蘋果、信陽毛尖、鐵棍山藥等土特產(chǎn)都是河南的一張張名片．某土特產(chǎn)店銷售著新鄭大棗和信陽毛尖兩種河南特產(chǎn)，若購買9盒信陽毛尖和6盒新鄭大棗共需3900元；若購買5盒信陽毛尖和8盒新鄭大棗共需3100元．(1)求每盒信陽毛尖和新鄭大棗各多少元？(2)若某公司購買信陽毛尖和新鄭大棗共計30盒，且信陽毛尖的數(shù)量至少比新鄭大棗的數(shù)量多5盒，又不超過新鄭大棗的2倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】(1)信陽毛尖每盒價格是300元，新鄭大棗每盒價格是200元(2)購買信陽毛尖18盒，新鄭大棗12盒才能使總費用最少，最少費用為7800元【分析】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，正確建立方程組和不等式組是解題關(guān)鍵．（1）設信陽毛尖每盒價格是元，新鄭大棗每盒價格是元，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得；（2）設購買信陽毛尖盒，則購買新鄭大棗盒，根據(jù)題意建立不等式組，解不等式組可得的取值范圍，再結(jié)合為正整數(shù)可得所有可能的取值，然后根據(jù)（1）的結(jié)果逐個計算總費用，找出總費用最少的購買方案即可．【詳解】（1）解：設信陽毛尖每盒價格是元，新鄭大棗每盒價格是元，由題意得：，解得，答：信陽毛尖每盒價格是300元，新鄭大棗每盒價格是200元．（2）解：設購買信陽毛尖盒，則購買新鄭大棗盒，購買信陽毛尖的數(shù)量至少比新鄭大棗的數(shù)量多5盒，又不超過新鄭大棗的2倍，，解得，又為正整數(shù)，所有可能的取值為18，19，20，①當，時，購買總費用為（元），②當，時，購買總費用為（元），③當，時，購買總費用為（元），所以購買信陽毛尖18盒，新鄭大棗12盒才能使總費用最少，最少費用為7800元．【拓展培優(yōu)】1．（23-24九年級下·湖北·期中）不等式組的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則該不等式組可能為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解不等式組和在數(shù)軸上表示解集，先根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法得出該不等式組的解集，再找出符合條件的不等式組即可，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】由數(shù)軸上表示不等式解集的方法可知，該不等式組的解集為：，、的解集為，不符合題意；、的解集為，符合題意；、的解集為，不符合題意；、的解集為，不符合題意；故選：．2．（23-24七年級下·安徽安慶·期中）運行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個值x”到“結(jié)果是否”為一次程序操作，如果程序操作進行了三次才停止，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)程序操作進行了三次才停止，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可求出的取值范圍．【詳解】解：依題意得：，解得：，的取值范圍是．故選：C．3．（2024·福建龍巖·二模）已知關(guān)于x的不等式組，至少有兩個整數(shù)解，且存在以2，a，5為邊的三角形，則a的整數(shù)解有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關(guān)系的運用，熟練掌握根據(jù)不等式組的整數(shù)解求參數(shù)取值范圍和三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)不等式組的整數(shù)解和三角形三邊關(guān)系分別求出的取值范圍，再根據(jù)為整數(shù)求出的值即可求解．【詳解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，關(guān)于x的不等式組，至少有兩個整數(shù)解，至少有兩個整數(shù)解為，，存在以2，a，5為邊的三角形，，即，，a的整數(shù)解只有6，共1個．故選：B．4．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）若關(guān)于x的不等式組有3個整數(shù)解，且關(guān)于y的一元一次方程的解為非正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和為（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本題考查由不等式組的解集和方程的解的情況求參數(shù)的值．正確的求出不等式組的解集和方程的解，是解題的關(guān)鍵．分別求出不等式組的解集，一元一次方程的解，根據(jù)題意，求出符合條件的所有整數(shù)k，再將它們相加，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由，可得：，∵關(guān)于x的不等式組最多有3個整數(shù)解，∴或無解，∵不等式組的整數(shù)解最多時為：1，2，3，∴，解得：；解，得：，∵方程的解為非正數(shù)，∴，解得：，綜上：，符合條件的k的整數(shù)值為：9，10，和為；故選B．5．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）甲、乙兩個長方形的邊長如圖（m為正整數(shù)），其面積分別為S1，S2，若滿足條件的整數(shù)n有且只有8個，則m為（

）A．4 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】本題主要考查整式的混合運算、一元一次不等式的應用．根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式，解之即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，為正整數(shù)，∴，∵，∴，∵整數(shù)n有且只有8個，為正整數(shù)，，故選：B．6．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）若不等式組解集是，則的值是．【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的解，根據(jù)不等式組的解集得出關(guān)于的一元一次方程，進而解答即可，熟練掌握一元一次不等式組的解法．【詳解】解：，解不等式得，，解不等式得，，因為不等式組解集是，∴，解得：，故答案為：．7．（2024·云南保山·一模）若關(guān)于的不等式組有且只有3個整數(shù)解，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再根據(jù)不等式組有且只有3個整數(shù)解得出，求解即可．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴該不等式組的解集是，∵不等式組有且只有3個整數(shù)解，∴這三個整數(shù)解是2，3，4，∴，解得，故答案為：．8．（23-24七年級下·四川眉山·期中）若關(guān)于x的不等式組有且只有三個整數(shù)解，且關(guān)于x的方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和為【答案】【分析】本題考查了一元一次不等式組的解集，解一元一次方程，在求出一元一次不等式組的解集以后，還應根據(jù)題目中的已知條件求出其整數(shù)解．由原不等式組得其解集為，再根據(jù)不等式組只有三個整數(shù)解，即整數(shù)解為、、，則，解得：，解方程得，最后求出a的值即可得解．【詳解】解不等式得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，∵不等式組只有三個整數(shù)解，即整數(shù)解為，∴，解得：，解方程得，∵方程有整數(shù)解，且∴或，∴符合條件的所有整數(shù)a的和為.故答案為：．9．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）若，且，，設，（1）用只含有的代數(shù)式表示，則；（2）t的取值范圍為．【答案】【分析】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，二元一次方程中用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)；（1）根據(jù)得到，代入計算即可；（2）根據(jù)，，把，代入得到，再確定t的取值范圍．【詳解】（1）∵，∴，．∴．故答案為：；（2）∵，，∴，．∴，．∴．∴，∵∴．故答案為：．10．（23-24七年級下·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足．求（1）實數(shù)a的取值范圍是．（2）若關(guān)于x的不等式組無解，則所有符合條件的整數(shù)a的和為．【答案】7【分析】本題考查的是解一元一次不等式組．（1）解方程組得，由得，解之即可；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：大大小小找不到并結(jié)合不等式組的解集得出關(guān)于的不等式，解之求出的范圍，繼而得出答案．【詳解】解：（1）解方程組得，由得，解得，故答案為：；（2）由，得：，由，得：，不等式組無解，，解得，又，，符合條件的整數(shù)有、、0、1、2、3、4，∴，故答案為：7．11．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）（1）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（2）已知關(guān)于的方程組的解滿足，求的最大奇數(shù)值．【答案】（1），在數(shù)軸上表示見解析；（2）的最大奇數(shù)值為1【分析】本題考查了解一元一次不等式組和解二元一次方程組；（1）先求出每一個不等式的解集，然后確定其公共部分，最后在數(shù)軸上表示即可；（2）先求出二元一次方程組的解集，代入，求解即可．【詳解】（1）由①得：由②得：所以不等式組的解集為：在數(shù)軸上表示解集如下所示：（2）解方程組得：∵方程組的解滿足，∴，解得：∴的最大奇數(shù)值為112．（23-24七年級下·安徽安慶·期中）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解滿足x為正數(shù)，y為負數(shù)，求k的取值范圍．【答案】【分析】本題考查了