專(zhuān)題02 特殊三角形與一次函數(shù)綜合全攻略（解析版）

專(zhuān)題02特殊三角形與一次函數(shù)綜合全攻略類(lèi)型一、等腰三角形與一次函數(shù)綜合例．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且與正比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．(1)求m的值與一次函數(shù)解析式；(2)如圖，一動(dòng)直線(xiàn)分別與兩直線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，若，求t的值；(3)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)或(3)存在，且點(diǎn)或或【分析】本題考查了一次函數(shù)交點(diǎn)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，分類(lèi)計(jì)算線(xiàn)段的長(zhǎng)度；分類(lèi)判定等腰三角形．(1)根據(jù)正比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)，確定點(diǎn)，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，構(gòu)建方程組解答即可．(2)根據(jù)正比例函數(shù)，一次函數(shù)，設(shè)，，根據(jù)，得到，求解即可．(3)根據(jù)一次函數(shù)，確定，計(jì)算，分別以B為圓心，A為圓心，5為半徑畫(huà)弧，與y軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M，利用等腰三角形的性質(zhì)，確定坐標(biāo)即可．【詳解】（1）∵正比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)，∴，解得，故點(diǎn)，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，∴，解得，故一次函數(shù)的解析式為．（2）∵正比例函數(shù)，一次函數(shù)，直線(xiàn)分別與兩直線(xiàn)交于P，Q兩點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴或，解得或．（3）存在，且點(diǎn)或或．利用如下：∵一次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)B，，∴，∴，故以B為圓心，5為半徑畫(huà)弧，與y軸的交于點(diǎn)，∴解得，故點(diǎn)，；以A為圓心，5為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)，得到，故，綜上所述，存在這樣的點(diǎn)M，且點(diǎn)或或．【變式訓(xùn)練1】．（2022上·四川成都·八年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）如下圖．分別以長(zhǎng)方形的邊所在直線(xiàn)為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知，點(diǎn)E在線(xiàn)段上，把以直線(xiàn)為軸進(jìn)行翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上．(1)分別求點(diǎn)D，E的坐標(biāo)．(2)如下圖，若直線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)F，求直線(xiàn)表達(dá)式及點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）由折疊的性質(zhì)以及勾股定理，可得的長(zhǎng)，可得，設(shè)，則，再由，可求出x的值，即可求解；（2）求出直線(xiàn)的解析式，即可求解；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類(lèi)討論可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖1，由折疊得：，在中，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴；（2）解：設(shè)的解析式為：，根據(jù)題意得：，把和代入得：，解得：，∴的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（3）解：①設(shè)點(diǎn)，∵，，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的幾何應(yīng)用．涉及了翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【變式訓(xùn)練2】．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l1：與直線(xiàn)l2：交于點(diǎn)，直線(xiàn)l1與l2分別與x軸交于A、B兩點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出b的值和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是直線(xiàn)l1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交l2于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n．①若，求的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，能否構(gòu)成以為腰的等腰三角形？若能，求出n的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，點(diǎn)點(diǎn)(2)①2或6；②能，或2或或1【分析】（1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求解；（2）①由面積關(guān)系，列出方程，即可求解；②分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：直線(xiàn)l2：過(guò)點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，則，故點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則，故點(diǎn)；（2）①如圖，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，，，，，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，，，，，，的長(zhǎng)為2或6；②點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，，（舍去），當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，（舍去），∴n的值為或2或或1．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．（2023上·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，兩直線(xiàn)交于點(diǎn)．

(1)求直線(xiàn)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】本題考查了一元函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法、兩點(diǎn)間的距離公式是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）分，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的表達(dá)式得：，解得：，則直線(xiàn)的表達(dá)式為：；（2）解：對(duì)于，當(dāng)，則，∴點(diǎn)，對(duì)于，當(dāng)，則，∴點(diǎn)，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，由題意得：，即，解得：或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為：或；（3）解：對(duì)于，當(dāng)，則，解得，∴點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，則，解得或，∴M的坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，則，解得，∴M的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，則，解得，∴M的坐標(biāo)為；綜上，當(dāng)M的坐標(biāo)為或或或時(shí)，是等腰三角形．類(lèi)型二、直角三角形與一次函數(shù)綜合例．（2023上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，連接,滿(mǎn)足．(1)求直線(xiàn)的解析式；(2)己知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．①若點(diǎn)D為直線(xiàn)上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)，若點(diǎn)M、N分別是直線(xiàn)和上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足．請(qǐng)問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①或；②或【分析】（1）根據(jù)角度之間的關(guān)系可得到為等腰直角三角形，則，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式即可求得結(jié)果；（2）①分情況討論，設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)面積之間的關(guān)系，利用割補(bǔ)法可求得有關(guān)面積的一個(gè)等式，即可求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)的值，代入解析式即可求得點(diǎn)D縱坐標(biāo)的值，即可求得結(jié)果．②分，兩種情形，構(gòu)造全等三角形，確定直線(xiàn)的解析式，后利用解析式構(gòu)造方程組計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∵點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸，∴，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線(xiàn)的解析式為；（2）解：∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴，解得，∴直線(xiàn)，設(shè)直線(xiàn)與y軸交于一點(diǎn)E，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)D在第四象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)，在直線(xiàn)上找到任意一點(diǎn)D，連接，如圖所示：，由（1）可得，∵，∴，即，解得：，代入的直線(xiàn)方程可得：，∴；當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線(xiàn)于一點(diǎn)G，連接，如圖所示：，此時(shí)設(shè)點(diǎn)，，即，解得：，∴，綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：或；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)點(diǎn)都符合題意，但點(diǎn)N只有一個(gè)，設(shè)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交直線(xiàn)于點(diǎn)E，如圖所示：則,故；∵，∴，∴，∵，∴，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，∵，直線(xiàn)的解析式為，∴直線(xiàn)的解析式為：，根據(jù)題意，得，解得，∴；當(dāng)時(shí)，此時(shí)有1個(gè)點(diǎn)都符合題意，設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)：的交點(diǎn)為點(diǎn)F，如圖所示：根據(jù)題意，得，解得，∴；過(guò)點(diǎn)F作交直線(xiàn)于點(diǎn)G，∵，∴，∴，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，設(shè)，根據(jù)題意，得，解得，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，∵，直線(xiàn)的解析式為，∴直線(xiàn)的解析式為：，根據(jù)題意，得，解得，∴；綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N，且或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)解析式的確定，交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，分類(lèi)思想的運(yùn)用，熟練掌握解析式的確定，交點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，直線(xiàn)分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)C、E，兩條直線(xiàn)相交于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)_______；(2)點(diǎn)Q為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．①若直線(xiàn)將的面積分為兩部分且使，試求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②將沿著直線(xiàn)翻折，使得點(diǎn)D恰好落在直線(xiàn)下方的坐標(biāo)軸上？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①，②點(diǎn)或【分析】（1）利用直線(xiàn)的交點(diǎn)即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）根據(jù)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求得，①過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，得，求得，設(shè)，根據(jù)題意得，即可求得答案．②當(dāng)點(diǎn)D落在x軸正半軸上，為點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，，可證得，有，可得，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，即可求得點(diǎn)Q；當(dāng)點(diǎn)D落在y軸負(fù)半軸上，為點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作，，由翻折得，，則，由，解得，即可求得．【詳解】（1）解：∵兩條直線(xiàn)相交于點(diǎn)D，∴，解得，則點(diǎn)．（2）∵直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)B，∴令，得，則點(diǎn)，∵直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn)E，∴令，得，則點(diǎn)，則，①過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作軸于點(diǎn)M，如圖，

則，∴，設(shè)，由題意知，則，∴∵，∴，解得，則Q的坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)D落在x軸正半軸上，為點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，如圖，

∵，，∴，由翻折得，在和中，，∴，∴，由翻折得，∴，∴軸，則點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)，∴，解得，那么點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)D落在y軸負(fù)半軸上，為點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)Q作，，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，

由翻折得，，∵，∴，即，在中，由勾股定理得，則，解得，∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)，∴，那么點(diǎn)；即點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、折疊得性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)與三角形面積公式，并用分類(lèi)討論的思想．類(lèi)型三、等腰直角三角形與一次函數(shù)綜合例．（2023下·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖1，直線(xiàn)：與直線(xiàn)交于軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，．

(1)求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，將直線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與射線(xiàn)交于點(diǎn)，若面積是，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，連接，，，當(dāng)是以為底邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為(2)(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）由待定系數(shù)法可求出答案；（2）根據(jù)三角形的面積可求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線(xiàn)的解析式可得出答案；（3）分四種情況畫(huà)出圖形，由等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)可求出答案．【詳解】（1）解：直線(xiàn)：分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸正半軸上，，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，，直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：直線(xiàn)：分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，，解得，，，，，，，由題意知，點(diǎn)在軸下方，，，，把代入，，解得，；（3）解：若點(diǎn)在軸的正半軸，如圖，

，是以為底邊的等腰直角三角形，，，直線(xiàn)的解析式為，時(shí)，，，，，；若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，如圖，

，同理可得，，；若點(diǎn)在軸的負(fù)半軸，如圖，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，，，；若點(diǎn)在軸的正半軸，如圖，

，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，同理可得，，，，，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，面積的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練1】．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，若的面積為

(1)求直線(xiàn)的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在線(xiàn)段上（不與點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)E，設(shè)的長(zhǎng)為，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出相應(yīng)的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)直線(xiàn)交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，設(shè)直線(xiàn)解析式為，把的坐標(biāo)代入求得的值，從而求得的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式，先根據(jù)的坐標(biāo)求出直線(xiàn)的解析式，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式，求出的縱坐標(biāo)，將的縱坐標(biāo)代入直線(xiàn)的解析式就可以求出的橫坐標(biāo)，根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中的值，就可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，∴設(shè)直線(xiàn)的解析式為，∵直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，，，∴直線(xiàn)的解析式為，，，的面積為，，，，，直線(xiàn)的解析式為（2）解：設(shè)直線(xiàn)的解析式為，，∴，解得．∴直線(xiàn)的解析式為；∵點(diǎn)P在上，且橫坐標(biāo)為m，，軸，∴E的縱坐標(biāo)為，代入得，，解得，，的長(zhǎng)；即，；（3）解：在x軸上存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖①，有，，，，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，如圖②，有，的長(zhǎng)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，，，解得：，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖③，有，．，．作，點(diǎn)R為垂足，，，．同理，．∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，，∴，解得：，，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，．綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，解答本題時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（2022上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，（如圖所示）其中a，b，c滿(mǎn)足關(guān)系式．

(1)求a，b，c的值；(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P使形成以為腰的等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和此時(shí)的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為5；若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為1；當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為10；點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為2．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得軸，且，，，然后分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；（2）解：存在，∵A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，∴軸，且，，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若點(diǎn)P在的下方，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，軸于點(diǎn)D，則，，

∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴的面積為；若點(diǎn)P在的上方，同理此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的面積為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，若點(diǎn)P在的下方，如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，則，，

∴，∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴的面積為；若點(diǎn)P在的上方，同理此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的面積為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為5；若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為1；當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為10；點(diǎn)P的坐標(biāo)為，此時(shí)的面積為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)（且），直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)D，連接．(1)判斷線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并就下圖中的情況進(jìn)行證明；(2)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）過(guò)點(diǎn)作軸，軸，易知，由，知，利用可證得，進(jìn)而可得；（2）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）解：，理由如下；過(guò)點(diǎn)作軸，軸，則，∵，∴，即，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：連接，由，可得，，由（1）可知，，則，則為等腰直角三角形，∴，①當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)，，即，∴此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，即為等腰直角三角形，∴，∴，則，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，∴，∵，∴，∴，∴，則，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，，∴，∵，∴，∴，∴，則，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)，，即，∴此時(shí)直線(xiàn)軸，故此時(shí)不存在，綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．2．（2023上·四川成都·八年級(jí)成都市樹(shù)德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)D，且．(1)分別求出直線(xiàn)和直線(xiàn)解析式；(2)在直線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)若E為平面內(nèi)右側(cè)的一點(diǎn)，且為等腰直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】(1)直線(xiàn)的解析式為；直線(xiàn)的解析式為(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，求出，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在、D之間時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)上面時(shí)，分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（3）分三種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：把代入得：，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為；∵，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：，把代入得：，解得：，∴直線(xiàn)的解析式為；（2）解：把代入得：，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得：，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)P在、D之間時(shí)，，∵，∴，解得：，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)上面時(shí)，，∵，∴，解得：，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；綜上分析可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．（3）解：∵，，∴；，當(dāng)時(shí)，，∴，，∴軸，∴此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴，，∴軸，∴此時(shí)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，∴，，∴軸，∴此時(shí)點(diǎn)；綜上分析可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類(lèi)討論．3．（2023上·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，在的圖象上，且在第二象限，在第四象限，是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，，，．

(1)求證：；(2)求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在第二象限是否存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)在第二象限存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，點(diǎn)坐標(biāo)為，，【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的的性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離公式，掌握以上性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．（1）由題意，得，由此可以證明．（2）根據(jù)題意，在中，利用勾股定理求出，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而求出直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．（3）根據(jù)題意分三種情況，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，由，，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式，得到點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，同樣的方法得到點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)剛好為線(xiàn)段的中點(diǎn)，直接求出此時(shí)的坐標(biāo)，得到答案．【詳解】（1）證明：由題意得：，，在和中，，．（2）由題意得：，，，，在中，，即，，解得：，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，，，，解得，直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為．（3）由題意，，，，直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，是等腰直角三角形，如圖，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，，，聯(lián)立兩式，得，直線(xiàn)的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，解得：或（舍去），；如圖，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，，，設(shè)，，聯(lián)立兩式，得，，直線(xiàn)的解析式為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，解得：或，（舍去）或；如圖，當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，，．4．（2023上·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，，．且滿(mǎn)足，，平面內(nèi)有一點(diǎn)(其中是常數(shù))．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)在第二象限，連接，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示四邊形的面積，并求出當(dāng)時(shí)，的值；(3)若點(diǎn)是由點(diǎn)沿軸正方向平移距離得到的，連接、，請(qǐng)問(wèn)在四邊形邊上是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，，(2)(3)或或或【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、、的值可得結(jié)論；（2）證明，利用梯形面積公式求解，再根據(jù)題意，構(gòu)建方程求解；（3）分四種情形：當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）解：，，解得：，，，，，；（2），，，，，，；

（3），，，，當(dāng)點(diǎn)在上，時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則有，解得：，；當(dāng)時(shí)，可得．

綜上所述，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，算術(shù)平方根的非負(fù)性，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)及分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)A，，，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)C．

(1)求直線(xiàn)的解析式及C點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，P為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，M、Q為x軸上動(dòng)點(diǎn)，Q在M右側(cè)且，當(dāng)時(shí)，求最小值；(3)如圖2，將沿著射線(xiàn)方向平移，平移后A、O、B三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)D、E、F三點(diǎn)，直線(xiàn)上是否存在N點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，，或，或，【分析】（1）先求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)的解析式，聯(lián)立直線(xiàn)和的解析式，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先求出的面積，證明點(diǎn)在點(diǎn)的上方，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由，求得，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，作四邊形是平行四邊形，則，證得的最小值為，由勾股定理求出答案即可；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，把點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得，解得，直線(xiàn)的解析式為，聯(lián)立直線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式得，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是，；（2），，，，，，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)．，，，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)且在第一象限內(nèi)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，點(diǎn)到軸的距離為，，，解得，，點(diǎn)的坐標(biāo)是，，如圖，過(guò)點(diǎn)向左作軸，且，則的坐標(biāo)為，，再作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，，則連接交軸于點(diǎn)，在軸上截取，連接，

由作圖過(guò)程知四邊形是平行四邊形，則，的最小值為，作于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，，則，，的最小值為．即最小值為；（3）存在，理由如下：將沿著射線(xiàn)方向平移，即將向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，，，，①當(dāng)時(shí)，如圖，

直線(xiàn)的解析式為，，，為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，；②當(dāng)時(shí)，如圖，

直線(xiàn)的解析式為，，，，為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，；③當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

為等腰直角三角形，，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線(xiàn)的解析式為，，，，，點(diǎn)