2025屆山西省部分學(xué)校高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山西省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)25，17，26，31，29，18，28，40的中位數(shù)為（）A.31 B.29 C.30 D.27【答案】D【解析】樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為17，18，25，26，28，29，31，40，中間的兩個(gè)數(shù)為26，28，故中位數(shù)為．故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，故．故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C.4.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．故選：A.5.已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角為，故.故選：B.6.已知球的半徑和圓錐的底面半徑相等，且圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則球與圓錐的體積之比為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】設(shè)球的半徑和圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長(zhǎng)為，由圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，得，則，所以球的體積與圓錐的體積之比為.故選：C7.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，即，，故，，則，且當(dāng)時(shí)，，故的最小正周期為，的最小正周期為．故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的一條直線與的右支交于，兩點(diǎn)，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，設(shè)，，，，，，由雙曲線的定義可得，故，，，，，，．設(shè)，在中，，即，故，所以的離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，，則（）A. B.C D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，故，所以，故A正確；不妨取，，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，即，故C正確；不妨取，，則，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10.“黃金分割”體現(xiàn)了和諧之美．把大小為的角分為不等的兩個(gè)角，用表示較小的角，若滿足，則稱為黃金分割角．許多植物相繼出現(xiàn)的葉片之間的夾角恰好等于黃金分割角，如圖中編號(hào)相鄰的葉片之間的夾角都等于黃金分割角，這種排布不僅是自然界和諧之美的體現(xiàn)，還可以增加葉片的受光面積．對(duì)于黃金分割角，下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)?，故，是把大小為的角分為不等的兩個(gè)角中較小的角，故，，易知，故，，故A正確；由可得，，故，故B錯(cuò)誤；由可得，，故，即，故C正確；由可得，，故①，②，由①，②可知，故D正確．故選：ACD.11.空間個(gè)點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，任意四點(diǎn)不共面，將所有的點(diǎn)兩兩相連，并用紅、藍(lán)兩種顏色將所有相連得到的線段染色（一條線段只染一種顏色）．對(duì)于由上述線段構(gòu)成的所有三角形和三棱錐，下列說法中正確的有（）A.若，則可能存在任意2條沒有公共點(diǎn)的棱不是同一種顏色的三棱錐B.若，則一定存在3條邊是同一種顏色的三角形C.若，則可能存在任意三角形的3條邊不是同一種顏色的情況D.若，則一定存在至少有4條棱是同一種顏色的三棱錐【答案】AD【解析】若，4點(diǎn)僅能構(gòu)成一個(gè)三棱錐，記為，不妨把，，染成紅色，把，，染成藍(lán)色，則滿足要求，故A正確；若，設(shè)這5個(gè)點(diǎn)分別為，如圖，實(shí)線表示紅色線段，虛線表示藍(lán)色線段，則存在三角形的3條邊不是同一種顏色的情況，故B錯(cuò)誤；若，設(shè)這6個(gè)點(diǎn)分別為，考慮由一點(diǎn)引出5條線段，，，，，則至少有3條線段是同色，不妨設(shè)，，為紅色，，為藍(lán)色．對(duì)于的三條邊，若有一條邊為紅色（不妨設(shè)為紅色），則的3條邊都是紅色，若任意一條邊都為藍(lán)色，則的三條邊都是藍(lán)色，故一定存在一個(gè)三角形的3條邊都是同一種顏色的情況，故C錯(cuò)誤；若，設(shè)這8個(gè)點(diǎn)分別為，從中任取6個(gè)點(diǎn)，則由上可知，這6個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形中一定存在3條邊是同一種顏色的三角形，不妨設(shè)的3條邊都是紅色，則以中一點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面的三棱錐中，僅當(dāng)棱都是藍(lán)色時(shí)，在三棱錐的所有棱中恰有3條是紅色，3條是藍(lán)色，否則存在某個(gè)三棱錐至少有4條棱是紅色的情況，但如果棱都是藍(lán)色，則在三棱錐中，棱，，，是藍(lán)色，故無論棱是何種顏色，三棱錐至少有4條棱是藍(lán)色，所以不存在一個(gè)三棱錐的6條棱恰有3條棱是紅色，3條棱是藍(lán)色的情況，故D正確．故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，，，由正弦定理可知，，即，故．故答案為?13.已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，，則的最小值為________．【答案】【解析】根據(jù)題設(shè)可知，為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，則，所以，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．又，故，即的最小值為．故答案為：．14.已知和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．若在區(qū)間單調(diào)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】．若和分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則方程有兩個(gè)解，即，故或．（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，且，故當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)滿足在區(qū)間單調(diào)，又，故；（ii）當(dāng)時(shí)，，，且，故，若在區(qū)間單調(diào)，則只能單調(diào)遞減，故，即．綜上，的取值范圍是．由上可知，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故，此時(shí)，故，即，故；當(dāng)時(shí)，，，故，解得．綜上，的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，多面體中，，底面是矩形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且平面平面，求二面角的正切值．證明：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)槭蔷匦?，故為的中點(diǎn)．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故．又平面，平面，所以平面．（2）解：方法1：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，易知為的中點(diǎn)，故，且．因?yàn)?，且，，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故．因?yàn)槭钦切?，故，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平?故平面．過作，過作，同理可證平面，平面，故，是二面角的平面角．因?yàn)閭?cè)面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，易知為的中點(diǎn)，故，，又，故，，且．由上可知平面平面，故二面角的平面角與二面角的平面角互余，所以二面角的正切值為．方法2：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，且．因?yàn)椋?，，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故．因?yàn)槭钦切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，故平面．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立空間坐標(biāo)系．因?yàn)檎倪呴L(zhǎng)為1，且，，故，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，不妨取，，則，．故，．易知二面角為銳角，故其正切值為．16.為了解南、北方消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度，隨機(jī)對(duì)南、北方共500位消費(fèi)者進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度合計(jì)認(rèn)可不認(rèn)可南方消費(fèi)者150150300北方消費(fèi)者75125合計(jì)225500（1）求，；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為南、北方消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度有差異？（3）記南、北方消費(fèi)者中對(duì)新能源汽車認(rèn)可的概率分別為，，給出，的估計(jì)值，并根據(jù)，求4位消費(fèi)者（2位南方消費(fèi)者和2位北方消費(fèi)者）中認(rèn)可新能源汽車的人數(shù)的分布列與期望．附：．0.0050.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由列聯(lián)表得，．（2）．由于，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為南，北方消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度有差異．（3）南、北方消費(fèi)者中對(duì)新能源汽車認(rèn)可的頻率分別為，，因此，的估計(jì)值分別為，．4位消費(fèi)者（2位南方消費(fèi)者和2位北方消費(fèi)者）中認(rèn)可新能源汽車的人數(shù)，則，，，．故的分布列為：01234故．17.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的一條直線與交于，兩點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．（1）若的縱坐標(biāo)為2，求；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且平行于的直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，證明：為線段的中點(diǎn)．解：（1）若的縱坐標(biāo)為2，可知的坐標(biāo)為，又，故直線的方程為，由得，設(shè)，，則，故由拋物線的定義可知，；（2）設(shè)的方程為，由得，故根據(jù)（1）中所設(shè)，的坐標(biāo)有，，又易知，故直線的斜率為，直線的方程為，直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立得，同理得．故，，代入，，得，，故為線段的中點(diǎn)．18.已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)為的零點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，故，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）解：因?yàn)?，且，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，令，則，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)．若，則，又，，，結(jié)合的單調(diào)性可知，在區(qū)間和各恰有一個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．（3）證明：（i）若，由（2）可知，在區(qū)間沒有零點(diǎn)，且，故在區(qū)間單調(diào)遞增，，且此時(shí)．因?yàn)?，故．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故．故當(dāng)時(shí)，．（ii）若，由（2）可知，在區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，．由（2）可知，，且，故當(dāng)時(shí)，都有．又因?yàn)?，且在區(qū)間單調(diào)遞增，故存在唯一零點(diǎn)，且滿足．設(shè)，則，．由上可知，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，故，此時(shí)也有．綜上，由（i），（ii）可知，當(dāng)時(shí)，．19.設(shè)為不小于6的整數(shù)，數(shù)列和滿足，且．設(shè)，區(qū)間，定義為的長(zhǎng)度，且．規(guī)定．已知區(qū)間，．（1）若，，，，求，；（2）設(shè)，證明：（i）存在和，且，使得；（ii）若，，則對(duì)任意和，．解：（1），，，，，，故，．，，故．（2）（i）若存在，，則，，又，故，取，，則命題成立．若，考慮如下個(gè)區(qū)間：，，，和，，，，不妨設(shè)它們中是長(zhǎng)度最小的區(qū)間（也可以設(shè)是長(zhǎng)度最小的區(qū)間），，且記其長(zhǎng)度為．故，同理．又因?yàn)?，故．所以．故?duì)于區(qū)間和，有，且易知，故，取，，則命題得證．（ii）設(shè)，，由，可知，，即．根據(jù)題意有，．記為中最大的數(shù)，其中，．又，故可得．（a）若，則．又因?yàn)?，故，即，所以，即．（b）若，則，此時(shí)也有．此外，對(duì)于，，，同上有，即．故．綜上，．山西省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)25，17，26，31，29，18，28，40的中位數(shù)為（）A.31 B.29 C.30 D.27【答案】D【解析】樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為17，18，25，26，28，29，31，40，中間的兩個(gè)數(shù)為26，28，故中位數(shù)為．故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，，故．故選：B3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C.4.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．故選：A.5.已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角為，故.故選：B.6.已知球的半徑和圓錐的底面半徑相等，且圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則球與圓錐的體積之比為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】設(shè)球的半徑和圓錐的底面半徑均為，圓錐的母線長(zhǎng)為，由圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，得，則，所以球的體積與圓錐的體積之比為.故選：C7.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，即，，故，，則，且當(dāng)時(shí)，，故的最小正周期為，的最小正周期為．故選：A.8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的一條直線與的右支交于，兩點(diǎn)，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且，設(shè)，，，，，，由雙曲線的定義可得，故，，，，，，．設(shè)，在中，，即，故，所以的離心率為．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)，，則（）A. B.C D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，，故，所以，故A正確；不妨取，，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，即，即，故C正確；不妨取，，則，故D錯(cuò)誤．故選：AC.10.“黃金分割”體現(xiàn)了和諧之美．把大小為的角分為不等的兩個(gè)角，用表示較小的角，若滿足，則稱為黃金分割角．許多植物相繼出現(xiàn)的葉片之間的夾角恰好等于黃金分割角，如圖中編號(hào)相鄰的葉片之間的夾角都等于黃金分割角，這種排布不僅是自然界和諧之美的體現(xiàn)，還可以增加葉片的受光面積．對(duì)于黃金分割角，下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因?yàn)?，故，是把大小為的角分為不等的兩個(gè)角中較小的角，故，，易知，故，，故A正確；由可得，，故，故B錯(cuò)誤；由可得，，故，即，故C正確；由可得，，故①，②，由①，②可知，故D正確．故選：ACD.11.空間個(gè)點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，任意四點(diǎn)不共面，將所有的點(diǎn)兩兩相連，并用紅、藍(lán)兩種顏色將所有相連得到的線段染色（一條線段只染一種顏色）．對(duì)于由上述線段構(gòu)成的所有三角形和三棱錐，下列說法中正確的有（）A.若，則可能存在任意2條沒有公共點(diǎn)的棱不是同一種顏色的三棱錐B.若，則一定存在3條邊是同一種顏色的三角形C.若，則可能存在任意三角形的3條邊不是同一種顏色的情況D.若，則一定存在至少有4條棱是同一種顏色的三棱錐【答案】AD【解析】若，4點(diǎn)僅能構(gòu)成一個(gè)三棱錐，記為，不妨把，，染成紅色，把，，染成藍(lán)色，則滿足要求，故A正確；若，設(shè)這5個(gè)點(diǎn)分別為，如圖，實(shí)線表示紅色線段，虛線表示藍(lán)色線段，則存在三角形的3條邊不是同一種顏色的情況，故B錯(cuò)誤；若，設(shè)這6個(gè)點(diǎn)分別為，考慮由一點(diǎn)引出5條線段，，，，，則至少有3條線段是同色，不妨設(shè)，，為紅色，，為藍(lán)色．對(duì)于的三條邊，若有一條邊為紅色（不妨設(shè)為紅色），則的3條邊都是紅色，若任意一條邊都為藍(lán)色，則的三條邊都是藍(lán)色，故一定存在一個(gè)三角形的3條邊都是同一種顏色的情況，故C錯(cuò)誤；若，設(shè)這8個(gè)點(diǎn)分別為，從中任取6個(gè)點(diǎn)，則由上可知，這6個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形中一定存在3條邊是同一種顏色的三角形，不妨設(shè)的3條邊都是紅色，則以中一點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為底面的三棱錐中，僅當(dāng)棱都是藍(lán)色時(shí)，在三棱錐的所有棱中恰有3條是紅色，3條是藍(lán)色，否則存在某個(gè)三棱錐至少有4條棱是紅色的情況，但如果棱都是藍(lán)色，則在三棱錐中，棱，，，是藍(lán)色，故無論棱是何種顏色，三棱錐至少有4條棱是藍(lán)色，所以不存在一個(gè)三棱錐的6條棱恰有3條棱是紅色，3條棱是藍(lán)色的情況，故D正確．故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，，則________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，，由正弦定理可知，，即，故．故答案為?13.已知為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，，則的最小值為________．【答案】【解析】根據(jù)題設(shè)可知，為橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，則，所以，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立．又，故，即的最小值為．故答案為：．14.已知和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．若在區(qū)間單調(diào)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】．若和分別為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則方程有兩個(gè)解，即，故或．（i）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，且，故當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)滿足在區(qū)間單調(diào)，又，故；（ii）當(dāng)時(shí)，，，且，故，若在區(qū)間單調(diào)，則只能單調(diào)遞減，故，即．綜上，的取值范圍是．由上可知，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，故，此時(shí)，故，即，故；當(dāng)時(shí)，，，故，解得．綜上，的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，多面體中，，底面是矩形，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且平面平面，求二面角的正切值．證明：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接．因?yàn)槭蔷匦危蕿榈闹悬c(diǎn)．又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故．又平面，平面，所以平面．（2）解：方法1：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，易知為的中點(diǎn)，故，且．因?yàn)?，且，，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故．因?yàn)槭钦切危?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平?故平面．過作，過作，同理可證平面，平面，故，是二面角的平面角．因?yàn)閭?cè)面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，易知為的中點(diǎn)，故，，又，故，，且．由上可知平面平面，故二面角的平面角與二面角的平面角互余，所以二面角的正切值為．方法2：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，且．因?yàn)?，且，，故，且，所以四邊形是平行四邊形，故．因?yàn)槭钦切?，故，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，故平面．以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立空間坐標(biāo)系．因?yàn)檎倪呴L(zhǎng)為1，且，，故，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，不妨取，，則，．故，．易知二面角為銳角，故其正切值為．16.為了解南、北方消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度，隨機(jī)對(duì)南、北方共500位消費(fèi)者進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度合計(jì)認(rèn)可不認(rèn)可南方消費(fèi)者150150300北方消費(fèi)者75125合計(jì)225500（1）求，；（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為南、北方消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度有差異？（3）記南、北方消費(fèi)者中對(duì)新能源汽車認(rèn)可的概率分別為，，給出，的估計(jì)值，并根據(jù)，求4位消費(fèi)者（2位南方消費(fèi)者和2位北方消費(fèi)者）中認(rèn)可新能源汽車的人數(shù)的分布列與期望．附：．0.0050.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由列聯(lián)表得，．（2）．由于，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為南，北方消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的認(rèn)可度有差異．（3）南、北方消費(fèi)者中對(duì)新能源汽車認(rèn)可的頻率分別為，，因此，的估計(jì)值分別為，．4位消費(fèi)者（2位南方消費(fèi)者和2位北方消費(fèi)者）中認(rèn)可新能源汽車的人數(shù)，則，，，．故的分布列為：01234故．17.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的一條直線與交于，兩點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．（1）若的縱坐標(biāo)為2，求；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過且平行于的直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，證明：為線段的中點(diǎn)．解：（1）若的縱坐標(biāo)為2，可知的坐標(biāo)為，又，故直線的方程為，由得，設(shè)，，則，故由拋物線的定義可知，；（