2025屆浙江省金華市十校高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1浙江省金華市十校2025屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】由可得，解得.故選：A2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.3.點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為角的始邊，令角的終邊過(guò)點(diǎn)，則角的終邊過(guò)點(diǎn)，且，于是，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B4.一組不全相等的數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最大值，則下列數(shù)字特征一定改變的是（）A.極差 B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A，去掉最大值后，新極差為原次大值與最小值之差，若原次大值等于最大值，則極差不變，若原次大值不等于最大值，則極差改變，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，去掉最大值后，中位數(shù)可能改變，可能不變，如原數(shù)據(jù)為，中位數(shù)為2，去掉3后，數(shù)據(jù)為，中位數(shù)還是2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)原平均數(shù)為，且按照從小到大的順序，假設(shè)去掉最大值后平均數(shù)不變，則，所以，解得，由于原數(shù)據(jù)不全相等，則，故矛盾，所以平均數(shù)一定改變，故C正確；對(duì)于D，眾數(shù)不一定改變，如數(shù)據(jù)為，眾數(shù)為2，去掉4后，眾數(shù)仍為2，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，.則，所以.則，所以.所以.故選：D.6.如圖，，是棱長(zhǎng)為2的正方體展開(kāi)圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】還原正方體如下圖所示，，，，所以四面體的表面積為.故選：B7.某美妙音樂(lè)的模型函數(shù)為，則關(guān)于該函數(shù)下列說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為 B.是偶函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.最大值為【答案】C【解析】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，，即三項(xiàng)無(wú)法同時(shí)取到最大值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.8.過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記點(diǎn)，到軸距離分別為，，則（）A. B.C.軸 D.若，則【答案】C【解析】設(shè)，,的直線方程，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)分別為,所以，根據(jù)中位線性質(zhì)，則，，由拋物線的定義可得，，，故A,B錯(cuò)誤；設(shè)直線方程：，聯(lián)立可得，，則，故，同理可得又,則故，故則，故軸故C正確；由,則，則，再由，故則或（舍去），故故，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】設(shè)，則，A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)，則，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知中角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，則下列條件能使成為銳角三角形的是（）A. B.， C.， D.，【答案】BC【解析】因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，因?yàn)椋?，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成為直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理可得，所以，所以，所以為銳角，由，所以，此時(shí)成為銳角三角形，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理可得，解得，所以，所以為銳角，由，所以，此時(shí)成為銳角三角形，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理可得，即，由于，方程無(wú)實(shí)根，所以不存，故D正確.故選：BC11.幾何體的體積可以看成面積的積累，因此可以得到：“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，則兩個(gè)幾何體體積相等”.旋轉(zhuǎn)體體積也可看作平面區(qū)域面積繞與其不相交的軸（可為其邊界）旋轉(zhuǎn)的積累，因每個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的周長(zhǎng)不一致，平面區(qū)域旋轉(zhuǎn)的長(zhǎng)度可用該區(qū)域的重心旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)度替代，于是可得到旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算方法：旋轉(zhuǎn)體體積=旋轉(zhuǎn)區(qū)域面積重心旋轉(zhuǎn)的圓形軌跡周長(zhǎng).如圖1，記圓面繞軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積為，記半圓面重心坐標(biāo)為.如圖2，陰影部分為函數(shù)與圍成的區(qū)域，記該區(qū)域繞軸，軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積分別為，.則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，易知它的重心即其圓心，由定義可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知該半圓面繞旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為半徑為1的球體，其體積，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)條件易知半圓面繞橫軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積為，設(shè)點(diǎn)，則，所以圖2陰影面積小于半徑為1的半圓面積，即，故C正確；對(duì)于D，圖（1）陰影區(qū)域滿足，其繞縱軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積記為，圖（2）陰影區(qū)域滿足，其繞縱軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積記為，設(shè)縱坐標(biāo)為的平面去截這兩個(gè)幾何體，聯(lián)立得，其截圖（1）對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)體的截面面積為，聯(lián)立得，其截圖（2）對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)體的截面面積為，則，易知，而，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，所?故答案為：13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足，，則的值為_(kāi)_______.【答案】3【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，化簡(jiǎn)可得，解得，所以.故答案為：.14.函數(shù)在點(diǎn)，處的切線分別記為，，且，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，則________.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，又，所以，所以切線方程：，切線方程：，將，代入，可得：，又，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為所以，又，所以，故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.有，兩道謎語(yǔ)，張某猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.8，猜對(duì)得獎(jiǎng)金10元；猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.5，猜對(duì)得獎(jiǎng)金元.（1）猜兩道謎語(yǔ)，求張某僅猜對(duì)其中一道的概率；（2）若規(guī)定只有在猜對(duì)第一道謎語(yǔ)的情況下，才有資格猜第二道，求的值，使得張某先猜謎語(yǔ)和先猜謎語(yǔ)所獲得的獎(jiǎng)金期望相同.解：（1）設(shè)張某僅猜對(duì)其中一道謎語(yǔ)事件M，猜對(duì)A謎語(yǔ)為事件A，猜對(duì)B謎語(yǔ)為事件B則.（2）設(shè)張某先猜A謎語(yǔ)獲得的獎(jiǎng)金為元，先猜B謎語(yǔ)獲得的獎(jiǎng)金為元，則的取值分別是0，10，，的取值分別是0，，，，，，所以；，，，所以.由得，解得.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無(wú)極大值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，①若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；②若，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，函數(shù)的值趨近于負(fù)數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)從大于的方向趨近于時(shí)，函數(shù)的值趨近于正無(wú)窮大，當(dāng)趨近于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的值趨近于正無(wú)窮大，則當(dāng)且僅當(dāng)，有唯一零點(diǎn)，由，得，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，則方程有唯一解，于是時(shí)，有唯一零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.17.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓的直徑，為圓周上一點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）在線段上且，當(dāng)平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?，，平面，所以平面，平面，則.（2）解法一：在上取點(diǎn)，使得，連接，則，又平面，平面，故平面，又平面，且，平面，所以平面平面，且平面平面，平面平面，所以，則，又，所以，所以，則，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)?，所以，所以就是平面與平面夾角，因?yàn)椋?，所以即平面與平面夾角的余弦值為.解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，則，設(shè)，則因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為由，可取，又因?yàn)槠矫?，所以，即得，于是，，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，可取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.如圖，雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為2，離心率為，斜率為的直線過(guò)軸上一點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，，直線與直線及軸的交點(diǎn)分別為，.（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）當(dāng)時(shí)，求的最小值.解：（1）由題知，解得，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）令，設(shè)直線為：，與聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由韋達(dá)定理，及題意可得：則，，.（i）當(dāng)時(shí)，，，由，得，又因?yàn)椋?，所以；（ii）由題知，.因?yàn)?，所以，又，，則，，又，則，則，當(dāng)取得，此時(shí)滿足題意.綜上，的最小值為.19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：記（表示從中任取兩個(gè)作乘積再求所有乘積的和，如）.（1）求，的值；（2）為互不相同的自然數(shù)，求；（3）求的值.解：（1）由定義可得，因?yàn)椋?，由定義可得，因?yàn)?，所?（2）不妨設(shè)，由定義得①，而又因?yàn)棰?，此時(shí)②式和①式出現(xiàn)同樣結(jié)構(gòu)，我們按照定義繼續(xù)遞推下去直至得到，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.（3）由（2）可知，或，所以根據(jù)定義可知，其中表示前2025項(xiàng)中的個(gè)數(shù)，即，記，則，且.由于，由（2）知，，由（2）知，從而，的個(gè)數(shù)為4，又由于，從而時(shí)，的個(gè)數(shù)為8，所以因此.浙江省金華市十校2025屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】由可得，解得.故選：A2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.3.點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為角的始邊，令角的終邊過(guò)點(diǎn)，則角的終邊過(guò)點(diǎn)，且，于是，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B4.一組不全相等的數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最大值，則下列數(shù)字特征一定改變的是（）A.極差 B.中位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A，去掉最大值后，新極差為原次大值與最小值之差，若原次大值等于最大值，則極差不變，若原次大值不等于最大值，則極差改變，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，去掉最大值后，中位數(shù)可能改變，可能不變，如原數(shù)據(jù)為，中位數(shù)為2，去掉3后，數(shù)據(jù)為，中位數(shù)還是2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)原平均數(shù)為，且按照從小到大的順序，假設(shè)去掉最大值后平均數(shù)不變，則，所以，解得，由于原數(shù)據(jù)不全相等，則，故矛盾，所以平均數(shù)一定改變，故C正確；對(duì)于D，眾數(shù)不一定改變，如數(shù)據(jù)為，眾數(shù)為2，去掉4后，眾數(shù)仍為2，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，.則，所以.則，所以.所以.故選：D.6.如圖，，是棱長(zhǎng)為2的正方體展開(kāi)圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】還原正方體如下圖所示，，，，所以四面體的表面積為.故選：B7.某美妙音樂(lè)的模型函數(shù)為，則關(guān)于該函數(shù)下列說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為 B.是偶函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.最大值為【答案】C【解析】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，，，函數(shù)單調(diào)遞增，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，，即三項(xiàng)無(wú)法同時(shí)取到最大值，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.8.過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，記點(diǎn)，到軸距離分別為，，則（）A. B.C.軸 D.若，則【答案】C【解析】設(shè)，,的直線方程，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)分別為,所以，根據(jù)中位線性質(zhì)，則，，由拋物線的定義可得，，，故A,B錯(cuò)誤；設(shè)直線方程：，聯(lián)立可得，，則，故，同理可得又,則故，故則，故軸故C正確；由,則，則，再由，故則或（舍去），故故，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】設(shè)，則，A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)，則，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知中角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，則下列條件能使成為銳角三角形的是（）A. B.， C.， D.，【答案】BC【解析】因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，因?yàn)椋?，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成為直角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理可得，所以，所以，所以為銳角，由，所以，此時(shí)成為銳角三角形，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理可得，解得，所以，所以為銳角，由，所以，此時(shí)成為銳角三角形，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，由余弦定理可得，即，由于，方程無(wú)實(shí)根，所以不存，故D正確.故選：BC11.幾何體的體積可以看成面積的積累，因此可以得到：“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，則兩個(gè)幾何體體積相等”.旋轉(zhuǎn)體體積也可看作平面區(qū)域面積繞與其不相交的軸（可為其邊界）旋轉(zhuǎn)的積累，因每個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的周長(zhǎng)不一致，平面區(qū)域旋轉(zhuǎn)的長(zhǎng)度可用該區(qū)域的重心旋轉(zhuǎn)長(zhǎng)度替代，于是可得到旋轉(zhuǎn)體體積計(jì)算方法：旋轉(zhuǎn)體體積=旋轉(zhuǎn)區(qū)域面積重心旋轉(zhuǎn)的圓形軌跡周長(zhǎng).如圖1，記圓面繞軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積為，記半圓面重心坐標(biāo)為.如圖2，陰影部分為函數(shù)與圍成的區(qū)域，記該區(qū)域繞軸，軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積分別為，.則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，易知它的重心即其圓心，由定義可知，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知該半圓面繞旋轉(zhuǎn)所得的幾何體為半徑為1的球體，其體積，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)條件易知半圓面繞橫軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積為，設(shè)點(diǎn)，則，所以圖2陰影面積小于半徑為1的半圓面積，即，故C正確；對(duì)于D，圖（1）陰影區(qū)域滿足，其繞縱軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積記為，圖（2）陰影區(qū)域滿足，其繞縱軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積記為，設(shè)縱坐標(biāo)為的平面去截這兩個(gè)幾何體，聯(lián)立得，其截圖（1）對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)體的截面面積為，聯(lián)立得，其截圖（2）對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)體的截面面積為，則，易知，而，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，即，所?故答案為：13.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足，，則的值為_(kāi)_______.【答案】3【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，化簡(jiǎn)可得，解得，所以.故答案為：.14.函數(shù)在點(diǎn)，處的切線分別記為，，且，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，則________.【答案】【解析】，因?yàn)椋?，又，所以，所以切線方程：，切線方程：，將，代入，可得：，又，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為所以，又，所以，故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.有，兩道謎語(yǔ)，張某猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.8，猜對(duì)得獎(jiǎng)金10元；猜對(duì)謎語(yǔ)的概率為0.5，猜對(duì)得獎(jiǎng)金元.（1）猜兩道謎語(yǔ)，求張某僅猜對(duì)其中一道的概率；（2）若規(guī)定只有在猜對(duì)第一道謎語(yǔ)的情況下，才有資格猜第二道，求的值，使得張某先猜謎語(yǔ)和先猜謎語(yǔ)所獲得的獎(jiǎng)金期望相同.解：（1）設(shè)張某僅猜對(duì)其中一道謎語(yǔ)事件M，猜對(duì)A謎語(yǔ)為事件A，猜對(duì)B謎語(yǔ)為事件B則.（2）設(shè)張某先猜A謎語(yǔ)獲得的獎(jiǎng)金為元，先猜B謎語(yǔ)獲得的獎(jiǎng)金為元，則的取值分別是0，10，，的取值分別是0，，，，，，所以；，，，所以.由得，解得.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無(wú)極大值.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，①若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在無(wú)零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；②若，當(dāng)從大于0的方向趨近于0時(shí)，函數(shù)的值趨近于負(fù)數(shù)，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)從大于的方向趨近于時(shí)，函數(shù)的值趨近于正無(wú)窮大，當(dāng)趨近于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)的值趨近于正無(wú)窮大，則當(dāng)且僅當(dāng)，有唯一零點(diǎn)，由，得，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，則方程有唯一解，于是時(shí)，有唯一零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.17.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓的直徑，為圓周上一點(diǎn)，為劣弧的中點(diǎn)，.（1）求證：；（2）在線段上且，當(dāng)平面時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：如圖，連接，因?yàn)闉榈?/p>