河北省承德市八校2024屆高考一模數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省承德市八校2024屆高考一模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知為虛數(shù)單位，若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】2故選：C2.某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓.設(shè)地球半徑為，若其近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知且，解得，，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為.故選：A.3.若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，若則，即的取值范圍是.故選：D.4.不等式在R上恒成立的必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)不等式R上恒成立時(shí)，可得，解得．選項(xiàng)A中，是不等式成立的充分不必要條件；選項(xiàng)B中，是不等式成立的既不充分也不必要條件；選項(xiàng)C中，是不等式成立的必要不充分條件；選項(xiàng)D中，是不等式恒成立的充要條件．故選：C．5.把3個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子最多放2個(gè)小球，則不同方法有（）A.16 B.24 C.64 D.81【答案】A【解析】把3個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子最多放2個(gè)小球，可分成兩類(lèi)情況：①在4個(gè)不同的盒子中任取3個(gè)盒子，每個(gè)盒子中放一個(gè)，有種放法，②把3個(gè)球分為兩組，一組1個(gè)，一組2個(gè)，分別放到兩個(gè)不同的盒子中，有種放法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：不同方法有：4+12=16種．故選：A．6.（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，故選：B7.若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，則恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.8.三人玩報(bào)數(shù)游戲：首先報(bào)數(shù)字1，然后報(bào)兩個(gè)數(shù)字2、3，接下來(lái)報(bào)三個(gè)數(shù)字4、5、6，然后輪到報(bào)四個(gè)數(shù)字7、8、9、10，依次循環(huán)，直到報(bào)出10000，則報(bào)出的第2022個(gè)數(shù)字為（）A.5982 B.5981 C.5980 D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】由題意可得:A第n次報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)為3n-2,則A第n次報(bào)完數(shù)后共報(bào)的個(gè)數(shù)為.再代入正整數(shù)n,使得Tn≥2022,解得:n的最小值為37,得T37=2035.而A第37次報(bào)時(shí),3人總共報(bào)了36×3+1=109次,當(dāng)A第109次報(bào)完數(shù)3人總的報(bào)數(shù)個(gè)數(shù)為,即A報(bào)出的第2035個(gè)數(shù)字為5995,故A報(bào)出的第2022個(gè)數(shù)字為5995-(2035-2022)=5982.故選:A.二、多選題9.定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.2是的一個(gè)周期C.是的一個(gè)對(duì)稱中心 D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】定義在上的奇函數(shù)滿足，所以，故A正確；且，所以，即周期是4，不是2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的?duì)稱軸為，又為的一個(gè)對(duì)稱中心，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；因，所以，即為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.雙曲線的離心率為2B.C.雙曲線的漸近線為D.點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為6【答案】CD【解析】焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，A正確；的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，解得：，B正確；雙曲線漸近線方程為，C錯(cuò)誤；點(diǎn)在拋物線上，故點(diǎn)P點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：CD11.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，由，則需證，，，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，令，，令，解得，可得下表：極小值則，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由，則，即，故B正確；對(duì)于C，由B的證明過(guò)程，易知C正確；對(duì)于D，由，則，易知單調(diào)遞增，無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.已知，則______，______．【答案】①.0②.5【解析】因?yàn)榱?，可得，，二?xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，代數(shù)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以，則，故答案為：0；5.13.若是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得：，故答案為：.14.如圖在中，為斜邊的中點(diǎn)，，，則的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)，，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由函數(shù)，所以，直線斜率，切點(diǎn)，則直線方程為.（2）令，，得，所以，列表0-0+-3極小值因此在區(qū)間上的最小值為，最大值為.16.大壩是一座具有灌溉、防洪、發(fā)電、航運(yùn)、養(yǎng)殖和游覽等綜合效益的大型水利樞紐工程．為預(yù)測(cè)滲壓值和控制庫(kù)水位，工程師在水庫(kù)選取一支編號(hào)為的滲壓計(jì)，隨機(jī)收集個(gè)該滲壓計(jì)管內(nèi)水位和水庫(kù)水位監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)：樣本號(hào)總和水庫(kù)水位滲壓計(jì)管內(nèi)水位并計(jì)算得，，．（1）估計(jì)該水庫(kù)中號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位與水庫(kù)的平均水位；（2）求該水庫(kù)號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位與水庫(kù)水位的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；（3）某天雨后工程師測(cè)量了水庫(kù)水位，并得到水庫(kù)的水位為．利用以上數(shù)據(jù)給出此時(shí)號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，，，．解：（1）水庫(kù)的平均水位，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位.（2），同理可得：，，（3），，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位關(guān)于水庫(kù)水位的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值，即水庫(kù)的水位為時(shí)，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位的估計(jì)值為.17.如圖，在四面體PABC中，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn).（1）求證：平面BCP；（2）求證：四邊形DEFG為矩形；（3）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)Q的位置（不需要論證）.證明：（1）由題意，DE是底邊PC上的中位線，，平面BCP，平面BCP，平面BCP；（2）由題意，，同理，，四邊形DEFG是平行四邊形，同理，，∴平行四邊形DEFG是矩形；（3）如圖：設(shè)PC的中點(diǎn)為J，AB的中點(diǎn)為K，連接JG，EK，則有：，，∴四邊形EKGJ是平行四邊形，連接JE，KG，則有:，平行四邊形EKGJ是矩形，連接JK，DG，交點(diǎn)為O，則O是EG的中點(diǎn)，因此也是矩形DEFG對(duì)角線的交點(diǎn)，是直角三角形，O是斜邊EG中點(diǎn)，，即點(diǎn)O到四面體PABC的6條棱的中點(diǎn)的距離相等，所以所求的Q點(diǎn)即是O點(diǎn)；綜上，到四面體PABC的6條棱的中點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)存在，就是矩形DEFG的對(duì)角線的交點(diǎn)O.18.已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，所以，，（）；（2）由（1）得，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，（）.19.已知二次函數(shù).（1）若等式恒成立，其中，，為常數(shù)，求的值；（2）證明：是方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根的充要條件；（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的最大值.解：法1：，由得，故.法2：在中令得.（2）證明必要性：由于方程（a，b，c是常數(shù)且）有一正實(shí)根和一負(fù)實(shí)根，設(shè)兩根為，∴，且，∴.充分性：由可推出，從而元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為、，則，由知：，即兩根異號(hào)，∴方程（a，b，c是常數(shù)且）有一正一負(fù)兩實(shí)根.因此是方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)根的充要條件.（3）若對(duì)任意，不等式恒成立，整理得：恒成立，因?yàn)閍不為0，所以，所以，所以，令，因?yàn)?，所以，若時(shí)，此時(shí)，若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，上式取得等號(hào)，綜上：的最大值為.河北省承德市八校2024屆高考一模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知為虛數(shù)單位，若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】2故選：C2.某航天器的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓.設(shè)地球半徑為，若其近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意知且，解得，，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為.故選：A.3.若集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】集合，，若則，即的取值范圍是.故選：D.4.不等式在R上恒成立的必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)不等式R上恒成立時(shí)，可得，解得．選項(xiàng)A中，是不等式成立的充分不必要條件；選項(xiàng)B中，是不等式成立的既不充分也不必要條件；選項(xiàng)C中，是不等式成立的必要不充分條件；選項(xiàng)D中，是不等式恒成立的充要條件．故選：C．5.把3個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子最多放2個(gè)小球，則不同方法有（）A.16 B.24 C.64 D.81【答案】A【解析】把3個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子最多放2個(gè)小球，可分成兩類(lèi)情況：①在4個(gè)不同的盒子中任取3個(gè)盒子，每個(gè)盒子中放一個(gè)，有種放法，②把3個(gè)球分為兩組，一組1個(gè)，一組2個(gè)，分別放到兩個(gè)不同的盒子中，有種放法.由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：不同方法有：4+12=16種．故選：A．6.（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】，故選：B7.若函數(shù)在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，解得：或，當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，則恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，即，令，解得：，令，解得：，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.8.三人玩報(bào)數(shù)游戲：首先報(bào)數(shù)字1，然后報(bào)兩個(gè)數(shù)字2、3，接下來(lái)報(bào)三個(gè)數(shù)字4、5、6，然后輪到報(bào)四個(gè)數(shù)字7、8、9、10，依次循環(huán)，直到報(bào)出10000，則報(bào)出的第2022個(gè)數(shù)字為（）A.5982 B.5981 C.5980 D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】由題意可得:A第n次報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)為3n-2,則A第n次報(bào)完數(shù)后共報(bào)的個(gè)數(shù)為.再代入正整數(shù)n,使得Tn≥2022,解得:n的最小值為37,得T37=2035.而A第37次報(bào)時(shí),3人總共報(bào)了36×3+1=109次,當(dāng)A第109次報(bào)完數(shù)3人總的報(bào)數(shù)個(gè)數(shù)為,即A報(bào)出的第2035個(gè)數(shù)字為5995,故A報(bào)出的第2022個(gè)數(shù)字為5995-(2035-2022)=5982.故選:A.二、多選題9.定義在上的奇函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.2是的一個(gè)周期C.是的一個(gè)對(duì)稱中心 D.為偶函數(shù)【答案】ACD【解析】定義在上的奇函數(shù)滿足，所以，故A正確；且，所以，即周期是4，不是2，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的?duì)稱軸為，又為的一個(gè)對(duì)稱中心，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確；因，所以，即為偶函數(shù)，故D正確.故選：ACD.10.已知拋物線焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.雙曲線的離心率為2B.C.雙曲線的漸近線為D.點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為6【答案】CD【解析】焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，A正確；的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，解得：，B正確；雙曲線漸近線方程為，C錯(cuò)誤；點(diǎn)在拋物線上，故點(diǎn)P點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：CD11.已知，，且，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，由，則需證，，，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，令，，令，解得，可得下表：極小值則，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由，則，即，故B正確；對(duì)于C，由B的證明過(guò)程，易知C正確；對(duì)于D，由，則，易知單調(diào)遞增，無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題12.已知，則______，______．【答案】①.0②.5【解析】因?yàn)榱?，可得，，二?xiàng)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，代數(shù)式的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以，則，故答案為：0；5.13.若是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，解得：，故答案為：.14.如圖在中，為斜邊的中點(diǎn)，，，則的最大值是__________．【答案】【解析】設(shè)，，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：四、解答題15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由函數(shù)，所以，直線斜率，切點(diǎn)，則直線方程為.（2）令，，得，所以，列表0-0+-3極小值因此在區(qū)間上的最小值為，最大值為.16.大壩是一座具有灌溉、防洪、發(fā)電、航運(yùn)、養(yǎng)殖和游覽等綜合效益的大型水利樞紐工程．為預(yù)測(cè)滲壓值和控制庫(kù)水位，工程師在水庫(kù)選取一支編號(hào)為的滲壓計(jì)，隨機(jī)收集個(gè)該滲壓計(jì)管內(nèi)水位和水庫(kù)水位監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)：樣本號(hào)總和水庫(kù)水位滲壓計(jì)管內(nèi)水位并計(jì)算得，，．（1）估計(jì)該水庫(kù)中號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位與水庫(kù)的平均水位；（2）求該水庫(kù)號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位與水庫(kù)水位的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到）；（3）某天雨后工程師測(cè)量了水庫(kù)水位，并得到水庫(kù)的水位為．利用以上數(shù)據(jù)給出此時(shí)號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，，，．解：（1）水庫(kù)的平均水位，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)平均水位.（2），同理可得：，，（3），，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位關(guān)于水庫(kù)水位的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值，即水庫(kù)的水位為時(shí)，號(hào)滲壓計(jì)管內(nèi)水位的估計(jì)值為.17.如圖，在四面體PABC中，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn).（1）求證：平面BCP；（2）求證：四邊形DEFG為矩形；（3）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)Q的位置（不需要論證）.證明：（1）由題意，DE是底邊PC上的中位線，，平面BCP，平面BCP，平面BCP；（2）由題意，，同理，，四邊形DEFG是平行四邊形，