北京市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期3月階段測試試題含答案

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（考試時間90分鐘滿分100分）提示：試卷答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答．一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.下列量中是向量的為（）A.頻率 B.拉力 C.體積 D.距離【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.故選：B2.已知是兩個單位向量，則下列等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量分減法法則和數(shù)量積以及模長逐一判斷即可.【詳解】A：由向量減法法則可得的差為向量，不等于數(shù)，故A錯誤；B、D：，由于夾角大小不定，故值不確定，故B、D錯誤；C：單位向量的模長相等，故C正確；故選：C.3.設(shè)，其中，是實數(shù)，則值為（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程，即可得解.【詳解】因為，即，又，是實數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件得，即，故.故選：D.4.已知向量與是兩個不平行的向量，若且，則等于（）A. B. C. D.不存在這樣的向量【答案】A【解析】【分析】由零向量與任意向量共線再結(jié)合已知條件得出.【詳解】因為向量與是兩個不平行的向量，且且，所以等于，故選：A5.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A.0 B.2 C.3 D.0或2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列方程求解即可得實數(shù)的值.【詳解】因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，解得.故選：B.6.如圖，在平面直角坐標系中，是函數(shù)圖象的最高點，是的圖象與軸的交點，則的坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量加法以及正弦函數(shù)對稱中心（零點）即可得解.【詳解】由題意以及題圖可知，所以.故選：B.7.抗戰(zhàn)勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀念碑.現(xiàn)在“解放碑”是重慶的地標性建筑，吸引眾多游客來此打卡拍照.如圖甲所示，解放碑的底座外觀呈正八棱柱形，記正八棱柱的底面是正八邊形，如圖乙所示，若是正八邊形的中心，且，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】設(shè)正八邊形的邊長為1，作平行四邊形，則根據(jù)向量的平行四邊形法則可以找到關(guān)系，即可求解.【詳解】由圖可知角度關(guān)系，外角，作平行四邊形，，設(shè)八邊形的邊長為1，則，，所以，，所以.故選：C8.已知點O為外接圓的圓心，且，則的內(nèi)角A等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，又因為，所以四邊形為菱形，且，即可得答案.【詳解】由得，，由為外接圓的圓心，所以，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故，即的內(nèi)角A等于.故選：A.9.復(fù)數(shù)滿足條件，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模整理得到，再利用基本不等式計算可得.【詳解】由且，得，∴，整理得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取得最小值故選：C10.已知向量滿足，，則的最大值等于（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由，即得到點共圓，再利用余弦定理和正弦定理求解即可.【詳解】設(shè)，因為，，所以，又，所以，所以點共圓，要使的最大，即為直徑，在中，由余弦定理可得，又由正弦定理，即的最大值等于，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是由向量之間的夾角確定點共圓，再由正弦和余弦定理求解即可.二、填空題共6小題，每小題4分，共24分．11.復(fù)平面上，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的坐標表示寫出答案.【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義知故答案為：12.已知平面向量，，若.則_________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直的充分必要條件代入點的坐標求出即可.【詳解】因為，所以，故答案為：.13.寫出一個與向量共線的單位向量_____________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先求出，則即為所求.【詳解】所以與向量共線的單位向量為或.故答案為：（答案不唯一）14.已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則_________.【答案】【解析】【分析】由投影向量的公式求出，再利用模長公式求出結(jié)果即可.【詳解】因為向量在向量上的投影向量為，且，所以，所以，故答案為：.15.已知非零向量，滿足，則的夾角為_____________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，再由模長的計算得到向量的數(shù)量積，最后代入夾角公式即可.【詳解】設(shè)，則，所以，所以的夾角為，故答案為：.16.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)z復(fù)平面上的對應(yīng)點的軌跡，結(jié)合圖象確定可得結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點為，復(fù)數(shù)的在復(fù)平面上的對應(yīng)點為，由，可知點的軌跡為以，為端點的一條線段，又表示點到點的距離，觀察圖象可知當(dāng)時，取最小值，最小值為1，當(dāng)時，取最大值，最大值為，所以取值范圍為.故答案為：.三、解答題共3小題，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．17.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，，求c．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）利用余弦定理進行求解；（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，再使用正弦定理求解【小問1詳解】變形為：，所以，因為，所以，【小問2詳解】因為，且，所以由正弦定理得：，即，解得：18.在①，②中任選一個作為已知條件，補充在下列問題中，并作答.問題：在中，角、、所對的邊分別為、、，已知_________.（1）求；（2）若外接圓半徑為2，且，求.注：若選擇不同條件分別作答，則按第一個解答計分.【答案】（1）條件選擇見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化，即可結(jié)合三角恒等變換求解，（2）根據(jù)余弦的和差角公式可得，進而利用率正弦定理可得，由余弦定理即可求解.【小問1詳解】選擇條件①：因為，在中，由余弦定理可得，由余弦定理可得，則，因為，所以.選擇條件②：因為，由正弦定理得，.即，則，因為，所以，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，即，即，又因為，所以.由于的外接圓半徑為，由正弦定理可得，可得，所以，由余弦定理可得，所以19.已知集合.對于，給出如下定義：①；②；③A與B之間的距離為.說明：的充要條件是.（1）當(dāng)時，設(shè)，求；（2）若，且存在，使得，求證：；（3）記.若，且，求的最大值.【答案】（1）（2）見解析（3）26【解析】【分析】（1）當(dāng)時，直接利用求得的值（2）設(shè)，則由題意可得，使得，其中，得出與同為非負數(shù)或同為負數(shù)，由此計算的結(jié)果，計算的結(jié)果，從而得出結(jié)論（3）設(shè)中有項為非