湖南省長沙市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二階段考試模擬試卷含答案

/湖南省長沙市周南中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第二階段考試模擬試卷一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．4．水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，設(shè)原有橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，該顧客選購的橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．5．直線被圓所截得的弦長為，則（

）A． B． C．3 D．26．將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸為（

）A． B． C． D．7．一個高為的直三棱柱容器內(nèi)裝有水，將側(cè)面水平放置如圖（1），水面恰好經(jīng)過棱，，，的中點，現(xiàn)將底面水平放置如圖（2），則容器中水面的高度是（

）.A． B． C． D．8．給定函數(shù)，用表示中的最大者，記作，若，則實數(shù)的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．在中，內(nèi)角的對邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．B．C．若，則是鈍角三角形D．（為外接圓的半徑）10．已知拋物線上的動點到焦點的距離最小值是2，經(jīng)過點的直線與有且僅有一個公共點，直線與交于兩點，則（

）A． B．拋物線的準(zhǔn)線方程為C． D．滿足條件的直線有2條11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為，若與均為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．4是的一個周期C． D．的圖象關(guān)于點對稱三、填空題12．在數(shù)列中，，，若，則．13．甲、乙、丙、丁四支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率都為，則在比賽結(jié)束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為．14．已知，，其中，則.四、解答題15．已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，．(1)求及的面積S；(2)若為邊上一點，且，求的正弦值．16．如圖，多面體中，直角梯形所在平面與正三角形所在平面垂直，，．(1)求該多面體的體積V；(2)在棱上是否存在點P，使得直線和平面所成的角大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．17．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：.18．某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人棋型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話．聊天機(jī)器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，在測試它時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則它的回答被采納的概率為90%，當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時，它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題，聊天機(jī)器人棋型的回答有5個被采納，現(xiàn)從這7個問題中抽取4個，以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為，若聊天機(jī)器人棋型的回答被采納的概率為，求的值．19．如圖，雙曲線的離心率為，實軸長為，，分別為雙曲線的左右焦點，過右焦點的直線與雙曲線右支交于A，B兩點，其中點A在第一象限.連接與雙曲線左支交于點C，連接分別與x，y軸交于D，E兩點.(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最小值.湖南省長沙市周南中學(xué)2025屆高三第二階段考試模擬試卷參考答案：題號1235678910答案DAAABCBABDBC題號11答案ABD1．D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再代入模的公式，即可求解.【詳解】由題知，，所以.故選：D.2．A【分析】利用充分、必要條件的概念計算即可.【詳解】由可以得出，滿足充分性，而可得，不滿足必要性，即A正確.故選：A3．A【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，，即可求解.【詳解】由，得，又，所以.故選：A4．C【分析】根據(jù)方差和平均數(shù)的意義，結(jié)合題設(shè)的實際場景即可判斷.【詳解】水果店有一批大小不一的橘子，某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個，所以該顧客選購橘子的質(zhì)量平均數(shù)>原有橘子的質(zhì)量的平均數(shù)，該顧客選購的橘子的質(zhì)量的方差<原有橘子的質(zhì)量的方差.故選：C5．A【分析】先求出圓心到直線的距離，結(jié)合點到直線的距離公式，即可得出的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，由垂徑定理，得點到直線距離為，根據(jù)點到直線距離公式，知圓心到直線的距離，化簡可得，解得.故選：A.6．B【分析】求出變換后的圖象對應(yīng)的函數(shù)式，再利用驗證法求得結(jié)果.【詳解】依題意，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，對于A，，A不是；對于B，，B是；對于C，，C不是；對于D，，D不是.故選：B7．C【分析】設(shè)直三棱柱的底面面積為，在圖中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖和圖中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】記棱，，，的中點依次為，設(shè)直三棱柱的底面面積為，在圖中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為，在圖中，幾何體為直四棱柱，因為分別為棱，，，的中點，所以，則水的體積為，解得.故選：C.8．B【分析】根據(jù)題干條件，得出恒成立，作差構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識求構(gòu)造函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】由題意可得，，等價于恒成立，設(shè)恒成立，設(shè)，令，則，解得，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，.，則時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，，解得，所以實數(shù)的最大值為1.故選：B.9．ABD【分析】根據(jù)正弦定理可判斷A，由三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可判斷B，由余弦定理可判斷C，根據(jù)面積公式及正弦定理可判斷D.【詳解】由正弦定理，可得，故A正確；，故B正確；因為，只能說明C為銳角，不一定是鈍角三角形，故C錯誤；由正弦定理得，（為外接圓的半徑），所以，所以，故D正確.故選：ABD10．BC【分析】根據(jù)題意求出p的值，判斷A；根據(jù)準(zhǔn)線方程，判斷B；設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合應(yīng)用弦長公式計算判斷C；設(shè)直線聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷直線個數(shù)及特殊斜率不存在直線結(jié)合即可判斷D.【詳解】對于A，由題意拋物線的動點到焦點的距離最小值是2，即，A錯誤；對于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為，B正確；對于C，由題設(shè),為，聯(lián)立，可得，則，故，

C正確.對于D，因為在外，令過P的直線與相切，所以，若，，可得有兩個根故與相切直線有兩條，又與只有一個交點，所以過與有且僅有一個公共點的直線共有三條，D錯誤；故選：BC11．ABD【分析】注意到為偶函數(shù)則，由兩邊求導(dǎo)，令可判斷A；結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可判斷B；利用的周期性和奇偶性可判斷C；根據(jù)和可判斷D.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即，而，故，故，又為偶函數(shù)，所以，即，所以，故即，，所以4是的周期，故B正確.對A，由兩邊求導(dǎo)得，令得，解得，A正確；對C，由上知，所以，所以，C錯誤；對D，因為，，故，故的圖象關(guān)于2,1對稱，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答關(guān)鍵在于原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)數(shù)的奇偶性關(guān)系，以及對兩邊求導(dǎo)，通過代換求導(dǎo)函數(shù)的周期.12．506【分析】由題意可得到數(shù)列是等差數(shù)列，求得其通項公式，即可求得答案.【詳解】由題意可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，4為公差，則，故令，解得.故答案為：.13．【分析】不妨先考慮甲輸丙，再就甲與乙丁的輸贏分類討論后可得所求的概率.【詳解】甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時，丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，在丙輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時，甲得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，這時丙乙，丙丁兩場比賽中丙不能贏，否則丙的分?jǐn)?shù)不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率；②若丙兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意；③若兩場丙都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為．故答案為：.【點睛】思路點睛：對于比較復(fù)雜的概率的計算，注意根據(jù)問題的特征合理分類，盡量不重不漏，必要時利用表格或枚舉等方法.14．【分析】利用兩角差的余弦可求的值，故可求的值.【詳解】因為，故，而，故，而，故，而，故，故，故，而，故，故答案為：15．(1)，(2)【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，進(jìn)而由三角形面積公式求出答案；（2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案.【詳解】（1）由余弦定理得，即，故，解得或（舍去），；（2）因為，，所以，故，在中，由余弦定理得，，故.16．(1)(2)存在，.【分析】（1）取中點，連接，求證平面，即可由求出該多面體的體積.（2）先求證兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依據(jù)已知條件求出和平面的法向量，再依據(jù)即可計算求解，進(jìn)而得解.【詳解】（1）取中點，連接，則由為正三角形得，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又由題意，所以該多面體的體積.（2）連接，由題意以及（1）可知且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以由平面可知兩兩垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,所以，，設(shè)，則，所以，設(shè)是平面的一個法向量，則，所以，即，取，則，所以直線和平面所成的角的正弦值為，整理得，解得（舍去）或，所以在棱上存在點P，使得直線和平面所成的角大小為，此時.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的公式及運(yùn)算法則求出在時的導(dǎo)數(shù)，即得切線斜率，點斜式寫出切線方程即可.（2）要證明的不等式含參時，且規(guī)定了參數(shù)的范圍時，可以考慮先使用滿參放縮，將含參的不等式轉(zhuǎn)化為不含參的不等式來證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，，則，又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，有，所以，因為，所以.令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.所以.故.18．(1)分布列見解析，E(2)p=0.25【分析】（1）求出隨機(jī)變量的所有取值以及每一個值發(fā)生的概率即可得的分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式即可計算得解的數(shù)學(xué)期望.（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，“回答被采納”為事件，進(jìn)而由已知以及全概率公式PC=P【詳解】（1）由題可知的所有取值為2，3，4，且服從超幾何分布，Pξ=2=C52故的分布列為：234則Eξ（2）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B，記“回答被采納”為事件，由已知得，PC=0.8，PC|A=0.9，PC|B所以由全概率公式得PC解得p=0.25．19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知求出，然后根據(jù)離心率得出，根據(jù)的關(guān)系求出的值，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得，，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，求出直線的方程.與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出點B坐標(biāo)，同理得出點C的坐標(biāo).