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/湖南省長沙市周南中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)第二階段考試模擬試卷一、單選題1.若復(fù)數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.2.“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知向量,滿足,,則(
)A. B. C. D.4.水果店有一批大小不一的橘子,某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個,設(shè)原有橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是,,該顧客選購的橘子的重量的平均數(shù)和方差分別是,,則下列結(jié)論一定成立的是(
)A. B. C. D.5.直線被圓所截得的弦長為,則(
)A. B. C.3 D.26.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個單位長度,所得函數(shù)圖象的一條對稱軸為(
)A. B. C. D.7.一個高為的直三棱柱容器內(nèi)裝有水,將側(cè)面水平放置如圖(1),水面恰好經(jīng)過棱,,,的中點,現(xiàn)將底面水平放置如圖(2),則容器中水面的高度是(
).A. B. C. D.8.給定函數(shù),用表示中的最大者,記作,若,則實數(shù)的最大值為(
)A. B.1 C. D.二、多選題9.在中,內(nèi)角的對邊分別為,下列說法中正確的是(
)A.B.C.若,則是鈍角三角形D.(為外接圓的半徑)10.已知拋物線上的動點到焦點的距離最小值是2,經(jīng)過點的直線與有且僅有一個公共點,直線與交于兩點,則(
)A. B.拋物線的準(zhǔn)線方程為C. D.滿足條件的直線有2條11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為,若與均為偶函數(shù),且,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.4是的一個周期C. D.的圖象關(guān)于點對稱三、填空題12.在數(shù)列中,,,若,則.13.甲、乙、丙、丁四支足球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽(即每支球隊都要跟其他各支球隊進(jìn)行一場比賽),最后按各隊的積分排列名次,積分規(guī)則為每隊勝一場得3分,平一場得1分,負(fù)一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負(fù)的概率都為,則在比賽結(jié)束時,甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為.14.已知,,其中,則.四、解答題15.已知分別為三個內(nèi)角的對邊,且,.(1)求及的面積S;(2)若為邊上一點,且,求的正弦值.16.如圖,多面體中,直角梯形所在平面與正三角形所在平面垂直,,.(1)求該多面體的體積V;(2)在棱上是否存在點P,使得直線和平面所成的角大小為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.17.已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)當(dāng)時,證明:.18.某人工智能研究實驗室開發(fā)出一款全新聊天機(jī)器人棋型,它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話.聊天機(jī)器人棋型的開發(fā)主要采用RLHF(人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí))技術(shù),在測試它時,如果輸入的問題沒有語法錯誤,則它的回答被采納的概率為90%,當(dāng)出現(xiàn)語法錯誤時,它的回答被采納的概率為.(1)在某次測試中輸入了7個問題,聊天機(jī)器人棋型的回答有5個被采納,現(xiàn)從這7個問題中抽取4個,以表示抽取的問題中回答被采納的問題個數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為,若聊天機(jī)器人棋型的回答被采納的概率為,求的值.19.如圖,雙曲線的離心率為,實軸長為,,分別為雙曲線的左右焦點,過右焦點的直線與雙曲線右支交于A,B兩點,其中點A在第一象限.連接與雙曲線左支交于點C,連接分別與x,y軸交于D,E兩點.(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求面積的最小值.湖南省長沙市周南中學(xué)2025屆高三第二階段考試模擬試卷參考答案:題號1235678910答案DAAABCBABDBC題號11答案ABD1.D【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù),再代入模的公式,即可求解.【詳解】由題知,,所以.故選:D.2.A【分析】利用充分、必要條件的概念計算即可.【詳解】由可以得出,滿足充分性,而可得,不滿足必要性,即A正確.故選:A3.A【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得,,即可求解.【詳解】由,得,又,所以.故選:A4.C【分析】根據(jù)方差和平均數(shù)的意義,結(jié)合題設(shè)的實際場景即可判斷.【詳解】水果店有一批大小不一的橘子,某顧客從中選購了個頭大且均勻的橘子若干個,所以該顧客選購橘子的質(zhì)量平均數(shù)>原有橘子的質(zhì)量的平均數(shù),該顧客選購的橘子的質(zhì)量的方差<原有橘子的質(zhì)量的方差.故選:C5.A【分析】先求出圓心到直線的距離,結(jié)合點到直線的距離公式,即可得出的值.【詳解】圓的圓心為,半徑為,由垂徑定理,得點到直線距離為,根據(jù)點到直線距離公式,知圓心到直線的距離,化簡可得,解得.故選:A.6.B【分析】求出變換后的圖象對應(yīng)的函數(shù)式,再利用驗證法求得結(jié)果.【詳解】依題意,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為,對于A,,A不是;對于B,,B是;對于C,,C不是;對于D,,D不是.故選:B7.C【分析】設(shè)直三棱柱的底面面積為,在圖中,設(shè)水面的高度為,根據(jù)圖和圖中水的體積相等可得出關(guān)于的等式,即可解得的值.【詳解】記棱,,,的中點依次為,設(shè)直三棱柱的底面面積為,在圖中,設(shè)水面的高度為,則水的體積為,在圖中,幾何體為直四棱柱,因為分別為棱,,,的中點,所以,則水的體積為,解得.故選:C.8.B【分析】根據(jù)題干條件,得出恒成立,作差構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識求構(gòu)造函數(shù)的最小值即可得解.【詳解】由題意可得,,等價于恒成立,設(shè)恒成立,設(shè),令,則,解得,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,.,則時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,,解得,所以實數(shù)的最大值為1.故選:B.9.ABD【分析】根據(jù)正弦定理可判斷A,由三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可判斷B,由余弦定理可判斷C,根據(jù)面積公式及正弦定理可判斷D.【詳解】由正弦定理,可得,故A正確;,故B正確;因為,只能說明C為銳角,不一定是鈍角三角形,故C錯誤;由正弦定理得,(為外接圓的半徑),所以,所以,故D正確.故選:ABD10.BC【分析】根據(jù)題意求出p的值,判斷A;根據(jù)準(zhǔn)線方程,判斷B;設(shè)直線方程,聯(lián)立拋物線方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合應(yīng)用弦長公式計算判斷C;設(shè)直線聯(lián)立方程組根據(jù)判別式判斷直線個數(shù)及特殊斜率不存在直線結(jié)合即可判斷D.【詳解】對于A,由題意拋物線的動點到焦點的距離最小值是2,即,A錯誤;對于B,拋物線的準(zhǔn)線方程為,B正確;對于C,由題設(shè),為,聯(lián)立,可得,則,故,
C正確.對于D,因為在外,令過P的直線與相切,所以,若,,可得有兩個根故與相切直線有兩條,又與只有一個交點,所以過與有且僅有一個公共點的直線共有三條,D錯誤;故選:BC11.ABD【分析】注意到為偶函數(shù)則,由兩邊求導(dǎo),令可判斷A;結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的奇偶性可判斷B;利用的周期性和奇偶性可判斷C;根據(jù)和可判斷D.【詳解】因為為偶函數(shù),所以,即,而,故,故,又為偶函數(shù),所以,即,所以,故即,,所以4是的周期,故B正確.對A,由兩邊求導(dǎo)得,令得,解得,A正確;對C,由上知,所以,所以,C錯誤;對D,因為,,故,故的圖象關(guān)于2,1對稱,故選:ABD【點睛】關(guān)鍵點睛:本題解答關(guān)鍵在于原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)數(shù)的奇偶性關(guān)系,以及對兩邊求導(dǎo),通過代換求導(dǎo)函數(shù)的周期.12.506【分析】由題意可得到數(shù)列是等差數(shù)列,求得其通項公式,即可求得答案.【詳解】由題意可得,故數(shù)列為等差數(shù)列,4為公差,則,故令,解得.故答案為:.13.【分析】不妨先考慮甲輸丙,再就甲與乙丁的輸贏分類討論后可得所求的概率.【詳解】甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分,三隊中選一隊與甲比賽,甲輸,,例如是丙甲,若甲與乙、丁兩場比賽都輸,則乙、丁、丙積分都大于甲,不合題意;若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平,則甲只得4分,這時,丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸,否則丙的分?jǐn)?shù)不小于4分,不合題意,在丙輸?shù)那闆r下,乙、丁已有3分,那個它們之間的比賽無論什么情況,乙、丁中有一人得分不小于4分,不合題意;若甲全贏(概率是)時,甲得6分,其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分,這時丙乙,丙丁兩場比賽中丙不能贏,否則丙的分?jǐn)?shù)不小于6分,只有全平或全輸或一輸一平,①若丙一平一輸,概率,如平乙,輸丁,則乙丁比賽時,丁不能贏,概率;②若丙兩場均平,概率是,乙丁這場比賽無論結(jié)論如何均符合題意;③若兩場丙都輸,概率是,乙丁這場比賽只能平,概率是;綜上概率為.故答案為:.【點睛】思路點睛:對于比較復(fù)雜的概率的計算,注意根據(jù)問題的特征合理分類,盡量不重不漏,必要時利用表格或枚舉等方法.14.【分析】利用兩角差的余弦可求的值,故可求的值.【詳解】因為,故,而,故,而,故,而,故,故,故,而,故,故答案為:15.(1),(2)【分析】(1)由余弦定理得到方程,求出,進(jìn)而由三角形面積公式求出答案;(2)先得到,故,由余弦定理求出,得到答案.【詳解】(1)由余弦定理得,即,故,解得或(舍去),;(2)因為,,所以,故,在中,由余弦定理得,,故.16.(1)(2)存在,.【分析】(1)取中點,連接,求證平面,即可由求出該多面體的體積.(2)先求證兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),依據(jù)已知條件求出和平面的法向量,再依據(jù)即可計算求解,進(jìn)而得解.【詳解】(1)取中點,連接,則由為正三角形得,又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,又由題意,所以該多面體的體積.(2)連接,由題意以及(1)可知且,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以,所以由平面可知兩兩垂直,所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,所以,,設(shè),則,所以,設(shè)是平面的一個法向量,則,所以,即,取,則,所以直線和平面所成的角的正弦值為,整理得,解得(舍去)或,所以在棱上存在點P,使得直線和平面所成的角大小為,此時.17.(1)(2)證明見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的公式及運(yùn)算法則求出在時的導(dǎo)數(shù),即得切線斜率,點斜式寫出切線方程即可.(2)要證明的不等式含參時,且規(guī)定了參數(shù)的范圍時,可以考慮先使用滿參放縮,將含參的不等式轉(zhuǎn)化為不含參的不等式來證明.【詳解】(1)當(dāng)時,,,則,又因為,所以曲線在點處的切線方程為,即.(2)當(dāng)時,有,所以,因為,所以.令,則,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.所以.故.18.(1)分布列見解析,E(2)p=0.25【分析】(1)求出隨機(jī)變量的所有取值以及每一個值發(fā)生的概率即可得的分布列,再根據(jù)數(shù)學(xué)期望的公式即可計算得解的數(shù)學(xué)期望.(2)記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,“輸入的問題有語法錯誤”為事件B,“回答被采納”為事件,進(jìn)而由已知以及全概率公式PC=P【詳解】(1)由題可知的所有取值為2,3,4,且服從超幾何分布,Pξ=2=C52故的分布列為:234則Eξ(2)記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A,記“輸入的問題有語法錯誤”為事件B,記“回答被采納”為事件,由已知得,PC=0.8,PC|A=0.9,PC|B所以由全概率公式得PC解得p=0.25.19.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)已知求出,然后根據(jù)離心率得出,根據(jù)的關(guān)系求出的值,即可得出答案;(2)根據(jù)已知可得,,設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,求出直線的方程.與雙曲線方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理表示出點B坐標(biāo),同理得出點C的坐標(biāo).
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