安徽省蕪湖市2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

安徽省蕪湖市2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．3．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（

）A．20種 B．16種 C．12種 D．8種4．在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則t的值為（

）A． B． C．4 D．55．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和（為常數(shù)），則“為遞增的等差數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．設(shè)a=0.1A．a(chǎn)＜B．c＜C．c＜D．a(chǎn)＜8．對于，恒成立，則正數(shù)的范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是遞減數(shù)列 B．，C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（）A．存在，函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)B．曲線關(guān)于點(diǎn)對稱C．當(dāng)時(shí)，是曲線的切線方程D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)11．如圖，曲線上的點(diǎn)與x軸非負(fù)半軸上的點(diǎn)，構(gòu)成一系列正三角形，記為，，…，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．設(shè)的邊長為，點(diǎn)，的面積為，則下列說法中正確的是（）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．某臺小型晚會(huì)由5個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，則該臺晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有種．13．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則.14．已知函數(shù)，不等式對任意的恒成立，則的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知，計(jì)算：.（2）解方程：．16．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．18．漢諾塔（Hanoi）游戲是源于印度古老傳說的益智游戲，該游戲是一塊銅板裝置上，有三根桿（編號A、B、C），在A桿自下而上、由大到小按順序放置若干個(gè)金盤（如下圖）．游戲的目標(biāo)：把A桿上的金盤全部移到C桿上，并保持原有順序疊好．操作規(guī)則如下：每次只能移動(dòng)一個(gè)盤子，并且在移動(dòng)過程中三根桿上都始終保持大盤在下，小盤在上，操作過程中盤子可以置于A、B、C任一桿上．記n個(gè)金盤從A桿移動(dòng)到C桿需要的最少移動(dòng)次數(shù)為．(1)求，，；(2)寫出與的關(guān)系，并求出．(3)求證：19．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的最大值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)m，n．（?。┣髮?shí)數(shù)k的取值范圍；（ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案1．【答案】D【詳解】解：由題意可知，每個(gè)班都有5種選法，則由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種方法.故選D.2．【答案】B【分析】計(jì)算出，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，從而得到答案.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，滿足，所以，又，故，故選B.3．【答案】B【詳解】因?yàn)橐液捅g恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，①當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；②當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法，故選B.4．【答案】C【詳解】，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，，，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，，且所以，即，得.故選C.5．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選C．【思路導(dǎo)引】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算．6．【答案】A【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和，類比表達(dá)式，有.當(dāng)為遞增等差數(shù)列時(shí)，有；反之，當(dāng)時(shí)，例如，可得；，則，此時(shí)數(shù)列從第二項(xiàng)開始才為遞增的等差數(shù)列；所以“為遞增的等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選A.7．【答案】C【詳解】設(shè)fx=ln1+當(dāng)x∈-1,0時(shí)，f′x＞0所以函數(shù)fx=ln1+x-x所以f19＜f0=0，所以ln10所以f-110＜f0=0，所以ln故a＜b設(shè)gx=xex令hx=exx當(dāng)0＜x＜2-1時(shí)，當(dāng)2-1＜x＜1時(shí)，又h0=所以當(dāng)0＜x＜2-所以當(dāng)0＜x＜2-1時(shí)，所以g0.1＞g0=0，即故選C.8．【答案】B【詳解】由恒成立可得，即恒成立，由，可得恒成立，令，則，由知，函數(shù)單調(diào)遞增，所以恒成立，則恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以只需，即.故選B.9．【答案】BCD【詳解】，，∴，，∴，，∴，，且，故B、C正確；∴公差，等差數(shù)列是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以時(shí)，取得最小值，所以，故D正確.故選BCD.10．【答案】BC【詳解】對于A，由題意可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以不存在，使函數(shù)僅有一個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)是圖像上任意一點(diǎn)，則，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，將代入函數(shù)可得，而，所以曲線關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，，若是切線方程，則其斜率為9，令，解得，當(dāng)時(shí)，，切線方程為，化簡可得；當(dāng)時(shí)，，切線方程為，化簡可得；所以是曲線的切線方程，故C正確；對于D，由，當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上各有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選BC.11．【答案】ACD【詳解】已知，設(shè)，因?yàn)闉檎切?，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，化簡可得，因?yàn)?，解得，則，即，則，由，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，且在曲線上，故①，又因?yàn)?，即代入①可得，即②，?dāng)時(shí)，，再將代入上式可得③，由②③可得，即，由，可得，故得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故A正確；對于B，因，則，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)槭钦切危涿娣e，則由平方和公式，可得，故C正確；對于D，因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則，故D正確.故選ACD.12．【答案】42【詳解】由題意得，節(jié)目甲必須排在前兩位，則節(jié)目甲只能排在第一位或第二位．若節(jié)目甲排在第一位，則節(jié)目乙有種情況；若節(jié)目甲排在第二位，則節(jié)目乙有種情況．故節(jié)目乙一共有種情況，再安排剩下的三個(gè)節(jié)目，有種情況，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到編排方案共有（種）．13．【答案】【詳解】由已知，，，成等比數(shù)列，則，解得，此時(shí)，也適合，所以，滿足題意.14．【答案】【詳解】設(shè)，由，可得，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以函數(shù)為增函數(shù)，不等式可化為，故，所以，所以，由已知，其中，設(shè)，，則令，可得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，其中所以，所以，所以的最大值為.15．【答案】（1）126（2）【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出并計(jì)算得解.（2）利用組合計(jì)算公式，排列數(shù)公式求解即得.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以.（2）由，得，即，而由，知，解得，所以原方程的解為.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．【方法總結(jié)】（1）結(jié)合解題；（2）用錯(cuò)位相減法即可解出．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.18．【答案】(1)；；；(2)（，），(3)證明見解析【詳解】（1）；；；（2）（，）（，）即（，），由于，所以（，），所以（，）．即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即；（3）記，因?yàn)?，所以所以所以?9．【答案】(1)-1；(2)（ⅰ）；（ⅱ）.【詳解】（1），,由得，由得,所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．（2）（?。┝?，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞