廣東省東莞市海德實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

廣東省東莞市海德實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A． B．1 C．2 D．42．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B．C． D．3．若函數(shù)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在處有極大值，則的值為（

）A．6 B．6或2 C．2 D．4或26．已知函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（

）

A． B．C． D．7．我們熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)，，的“躺平點(diǎn)”分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若對(duì)任意，有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖顯示物體甲、乙在時(shí)間到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度B．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度等于乙的平均速度C．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度D．在到范圍內(nèi)，甲的平均速度小于乙的平均速度10．已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，是的?dǎo)函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．有極大值B．有極小值C．無(wú)最大值D．在上單調(diào)遞增三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．13．已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知兩個(gè)函數(shù)和.（其中為實(shí)數(shù)），若對(duì)，，使成立，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)在處取得極大值2．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．16．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的極值．17．設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；（2）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍.18．已知函數(shù)．(1)若1是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；(2)若，試問(wèn)是否存在零點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出該零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)樗怨蔬xB2．【答案】B【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得.故選B3．【答案】D【詳解】依題意知，有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故，解得且.故選D.4．【答案】A【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，解得，所以，，因此，.故選A.5．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)樵谔幱袠O大值，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，所以時(shí)取得極小值，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，解得或當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，所以時(shí)取得極大值，符合題意.所以的值為6，故選A．6．【答案】C【分析】由函數(shù)圖象的特殊點(diǎn)以及單調(diào)性逐一判斷可得解.【詳解】由圖象可知，故BD不成立；對(duì)于A選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，不符合圖象，故A不成立.故選C.7．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，，又，則，解得；同理，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，；又，則，解得；所以.故選C.8．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?令,因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以.故選B.9．【答案】BC【詳解】在0到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為，故A錯(cuò)誤,B正確；在到范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因?yàn)?，，所以，故C正確，D錯(cuò)誤．故選BC．10．【答案】AC【分析】構(gòu)造函數(shù)，借助新函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，即，所以，而的大小不確定．故選AC.11．【答案】BCD【分析】分析可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，利用?dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)無(wú)最大值，函數(shù)在上單調(diào)遞增，BCD都正確，A錯(cuò)誤.故選BCD.12．【答案】【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)可得，令，因?yàn)?，所以解?所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.13．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.14．【答案】【詳解】由題設(shè)，則在上，在上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，由，則在、上，在上，所以在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，要使對(duì)，，使成立，所以，只需在上，則，可得.15．【答案】（1），（2）最大值為6，最小值為【詳解】（1）函數(shù)，解得，

所以，得所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)在處取得極大值，符合題意

則，（2）由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以的最大值為6，最小值為16．【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由得，切點(diǎn)，，則切線的斜率，故切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴函數(shù)有極小值.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為.（2）因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，即對(duì)任意，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，令，則，所以在上恒成立，又因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以恒成立只需，解得，所以的取值范圍為.18．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)詳解【詳解】（1），定義域是，．因?yàn)?是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.（2）令，即，令，則．令，則，令，解得，而，且為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x趨向于0時(shí)，趨向于，即，，，故存在，使得，即，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)?，所以，且，故，即無(wú)零點(diǎn)．19．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1），則，令，得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)