廣東省東莞市海德雙語學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣東省東莞市海德雙語學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，則（

）A．5 B．6 C．8 D．102．下面導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則“”是“函數(shù)在處有極值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．若，則（

）A． B． C． D．5．某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米、200米、跳高、跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽，如果每班每項(xiàng)至多報(bào)1人，每人只參加1項(xiàng)，則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有（

）A．24種 B．48種 C．64種 D．81種6．下列函數(shù)中，在內(nèi)為增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．8．若函數(shù)，且，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．在區(qū)間上單調(diào)遞減10．下列有關(guān)排列數(shù)?組合數(shù)的等式中成立的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．的定義域是B．曲線在點(diǎn)處的切線方程是C．D．有兩個(gè)不同的解，且三、填空題（本大題共3小題）12．從5人中選3人參加座談會(huì)，其中甲必須參加，則不同的選法有種．13．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.14．已知定義在的函數(shù)滿足，則不等式的解集為．四、解答題（本大題共5小題）15．現(xiàn)有4名男生和3名女生，(1)若安排7名學(xué)生站成一排照相，要求甲乙排在一起，這樣的排法有多少種？(2)若安排7名學(xué)生站成一排照相，要求3名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？16．設(shè)函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值．17．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件需另投入萬元，若該企業(yè)一年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且（1）寫出年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)品（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?（注：年利潤(rùn)年銷售收入-年總成本）19．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)有最小值，求的取值范圍；(3)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，，求證：．

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，則.故選B2．【答案】D【詳解】，故A正確；故B正確；故C正確；故D錯(cuò)誤.故選3．【答案】B【詳解】若函數(shù)在處有極值，則一定有；反之，若，函數(shù)在處不一定有極值，如在處滿足，但在處無極值，所以“”是“函數(shù)在處有極值”的必要不充分條件．故選B4．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，所以，故選C.5．【答案】A【詳解】由于每班每項(xiàng)至多報(bào)1人，每人只參加1項(xiàng)，故當(dāng)前面的學(xué)生報(bào)了某項(xiàng)之后，后面的學(xué)生不能再報(bào)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的參賽方法.故選A6．【答案】B【詳解】對(duì)A，，在內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，在內(nèi)大于0恒成立，故B正確；對(duì)C，，在內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，在內(nèi)不滿足大于等于0恒成立，故D錯(cuò)誤.故選B7．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋?故選D.8．【答案】C【詳解】易知的定義域?yàn)?，由可得，即；因?yàn)?，所以，即，?gòu)造函數(shù)，則，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，因此在處取得極小值，也是最小值，；即可得，解得.所以正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選C.9．【答案】BC【詳解】由圖知：上，上，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以在、上不單調(diào)，在、上分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增.故選BC10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B,因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選ACD11．【答案】ABD【詳解】由解析式知，故函數(shù)的定義域?yàn)椋珹對(duì)；由且，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，則，B對(duì)；，C錯(cuò)；令，則，所以在上都單調(diào)遞增，在區(qū)間上，時(shí)趨向，時(shí)趨向，故該區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上，時(shí)趨向，時(shí)趨向，故該區(qū)間存在一個(gè)零點(diǎn)，所以在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，分別位于、內(nèi)，若零點(diǎn)，則，且，即，此時(shí)，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，即，故，D對(duì).故選ABD12．【答案】6【詳解】從5人中選3人參加座談會(huì)，其中甲必須參加，則不同的選法有.13．【答案】【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立，又，所以.14．【答案】【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，又，，可得，因此在上單調(diào)遞增，原不等式可化為，即，可得，因此，解得.15．【答案】(1)1440(2)1440【分析】（1）利用捆綁法，結(jié)合排列組合知識(shí)求解；（2）利用插空法，結(jié)合排列組合知識(shí)求解.【詳解】（1）將甲乙看作一個(gè)整體，相當(dāng)于有6個(gè)元素（甲乙整體、其他5人）進(jìn)行排列有，甲乙內(nèi)部有2種排列方式，有分步乘法計(jì)數(shù)原理可得；（2）先安排4名男生站成一排，有種排法，由于要求3名女生互不相鄰，因此女生只能站在男生之間的空隙中有因此由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.16．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為.【詳解】（1）由題意知，，即切點(diǎn)為，由已知，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故在點(diǎn)處的切線方程為：（2）令，即得，令，則得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值點(diǎn)為，，的極小值點(diǎn)為，，又,,故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）【詳解】（1）由題意得，的定義域?yàn)椋?，∴，故，∵在點(diǎn)處的切線與軸垂直，∴，即，∴，∵時(shí)，，時(shí)，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）得，.∵對(duì)恒成立，∴在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，即在上單調(diào)遞減，∴，∴．18．【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元【詳解】（1）由題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上可得.（2）①當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取最大值，且.②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬元.19．【答案】(1)答案見詳解；(2)(3)證明見詳解.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表所示，0所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，無最