河北承德市雙灤區(qū)實驗中學2024-2025學年高二下學期高二4月份月考 數(shù)學試卷（含解析）

河北承德市雙灤區(qū)實驗中學2024--2025學年第二學期高二數(shù)學4月份月考試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知函數(shù)（是的導函數(shù)），則（）A.1 B.2 C. D.2.在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A. B. C.2 D.43.若函數(shù)在區(qū)間[2，3]上不是單調函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.4.若，則（）A.100 B.110 C.120 D.1305.若函數(shù)有兩個不同的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.6.已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.記數(shù)列的前項和為，已知，為等差數(shù)列，若，則（）A.2 B. C. D.8.某學校有4位同學參加數(shù)學知識競賽，競賽規(guī)則規(guī)定：每位同學必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得30分，答錯得－30分；選乙題答對得10分，答錯得－10分．若4位同學的總得分為0分，則這4位同學不同得分情況的種數(shù)是()A.24 B.36 C.40 D.44二、多選題（本大題共3小題，共18分。在每小題有多項符合題目要求）9.若，則下列結論中正確的是（）A.B.C.D.10.設數(shù)列的前n項和為，已知，且，則下列結論正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列 C. D.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在處的切線方程為B.函數(shù)的單調遞減區(qū)間為C.的極小值為e D.方程有2個不同的解三、填空題（本大題共3小題，共15分）12.由這七個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的七位數(shù)，且偶數(shù)數(shù)字從小到大排列（由高數(shù)位到低數(shù)位），這樣的七位數(shù)有__________個．13.已知，則使恒成立的的范圍是______．14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍______．四、解答題（本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.(本小題13分）已知二項式的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為，各項的系數(shù)之和為，.（1）求的值：（2）求展開式中的系數(shù).16.(本小題15分）某工廠計劃投資一定數(shù)額的資金生產甲，乙兩種新產品.甲產品的平均成本利潤fx(單位：萬元)與投資成本x(單位：萬元)滿足：fx=alnxx+5x-b(a，b為常數(shù)，(1)求a，b的值；(2)若該工廠計劃投入50萬元用于甲，乙兩種新產品的生產，每種產品投資不少于10萬元，問怎樣分配這50萬元，才能使該工廠獲得最大利潤？最大利潤為多少萬元？(參考數(shù)據(jù)：ln10=2.303，ln17.(本小題15分）已知等差數(shù)列的公差，且，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設求數(shù)列前項和為；（3）設求數(shù)列的前項和.18.(本小題17分）設函數(shù).（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若已知，且的圖象與相切，求b的值；（3）在（2）的條件下，的圖象與有三個公共點，求m的取值范圍（不寫過程）.19.(本小題17分）已知函數(shù)f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)當x≥0時，若不等式f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若x>0，證明：(ex－1)ln(x＋1)>x2.參考答案：1.【答案】A【解析】對函數(shù)求導可得，所以當x=1時，所以，所以，所以.所以選擇A.2.【答案】C【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，，；由于，，成等差數(shù)列，所以，，又因為；所以.3.【答案】B【解析】因為函數(shù)，所以，若在區(qū)間上不是單調函數(shù)，，則在區(qū)間上有解即在區(qū)間上有解，即,設，則，，,所以，實數(shù)的取值范圍是，4.【答案】C【解析】由展開的性質得，，所以.5.【答案】C【解析】由題意，，，由函數(shù)有兩個不同的極值點，故函數(shù)有兩個變號零點，即當時，有兩個不同正實數(shù)根、，由韋達定理可得：，，則，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.6.【答案】A【解析】已知命題“”為真命題，即對于區(qū)間內的任意，不等式恒成立.移項可得在上恒成立，所以要小于等于在上的最小值.對函數(shù)求導，得.因為時，，，所以，函數(shù)在上單調遞增.所以當時，函數(shù)取得最小值，.由于，而，所以，即實數(shù)的取值范圍是.7.【答案】D【解析】因為，所以，化簡可得，即，故可知等差數(shù)列的首項為2，公差為1，所以有，即，故當時，，所以，8.【答案】D【解析】分以下四種情況討論：①2位同學選甲題作答，一人答對一人答錯，另外2位同學選乙題作答，一人答對一人答錯，此時不同得分情況的種數(shù)為C×2×2＝24；②4位同學都選擇甲題或乙題作答，兩人答對，另外兩人答錯，此時不同得分情況的種數(shù)為2C＝12；③1位同學選甲題作答并且答對，另外3位同學選乙題作答并且全部答錯，此時不同得分情況的種數(shù)為C＝4；④1位同學選甲題作答并且答錯，另外3位同學選乙題作答并且全部答對，此時不同得分情況的種數(shù)為C＝4.綜上所述，不同得分情況的種數(shù)為24＋12＋4＋4＝44，故選D.9.【答案】ACD【解析】依題意，，令，得，令，得，，令，得，所以A，C選項正確，B選項錯誤.由題可得時，，所以D選項正確.10.【答案】BC【解析】因為，且，上式兩邊除以得：，則是公差為1，首項為1的等差數(shù)列，，則，所以C對對于A項：，則，不是等比數(shù)列對于B項：，所以是等比數(shù)列，故B正確對于D項：，，兩式相減得，故D錯誤．11.【答案】ACD【解析】對函數(shù)求導得，.對于選項A，因為，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，故選項A正確；對于選項B，令，即，解得，因為，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，，故選項B錯誤；對于選項C，令，解得，即函數(shù)在上單調遞增，時單調遞減，所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，故選項C正確；對于選項D，方程，即，即求方程零點的個數(shù)，構造函數(shù)，并對其求導得，當時，，即函數(shù)為單調遞增的，，，故在區(qū)間有唯一一個零點，時，即函數(shù)為單調遞減的，，即在區(qū)間存在唯一一個零點，故選項D正確；12.【答案】90【解析】解法一：因偶數(shù)排列順序固定且0只能在從左向右排，第6，5，4位，奇數(shù)可任意排列，則當0排在第6位時，共有（個）數(shù)；當0排在第5位時，共有（個）數(shù)；當0排在第4位時，共有（個）數(shù)，所以這樣的七位數(shù)共有（個）．解法二：因為偶數(shù)不排首位，且偶數(shù)的順序從小到大排列，所以分三步進行，先排首位為奇數(shù)，再將剩余的兩個奇數(shù)排在后六個位置中，余下四個位置再將四個偶數(shù)按照由小到大從前向后的順序依次排列即可，因此共有.13.【答案】【解析】因為恒成立，所以m≥f(x)-所以當時，，當時，，所以g(x)在上單調遞增，在所以當時，，當時，，求導得，在上單調遞減，，于是得函數(shù)在上單調遞減，，因此，則，所以的取值范圍是.14.【答案】【解析】由（），可得：在上有解.令（），只要即可.求導，.令，即，因為，所以，解得.當時，，則，所以在上單調遞增.當時，，則，所以在上單調遞減.由的單調性可知，在處取得極大值，也是最大值，.因為，所以.正確答案為15.【答案】解：（1）依題意，，令，得，則，所以，因為時，，所以是原方程的一個解，又因為函數(shù)在上單調遞增，所以是原方程唯一的解綜上，的值為5．（2）由（1）得，的通項公式，依題意，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.16.【答案】解：(1)由題意知，f1整理得5-b=5aln10+5-10b=16.515，解得a=5(2)設甲產品投資x萬元，乙產品投資50-x萬元，且x∈10,40則該公司獲得的利潤φx=x5則φ'x=令φ'x=0，解得x=25當10<x<25時，φ'x>0當25<x<40時，φ'x<0∴φx∴當甲，乙兩種產品各投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為31.09萬元.17.【答案】解：（1）根據(jù)題意，由于，則①；又有，，成等比數(shù)列，則②，聯(lián)立①②且，解得，，則，故數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，則；（3）因為，所以③，④，則③-④得，綜上可知.18.【答案】解：（1）當時，，求導可得，令，解得或時，令，解得時，所以f(x)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和.（2）當時，，設與直線相切的切點是，因為，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得；（3）當時，，的圖象與有三個公共點，所以等價于方程有三個不等實數(shù)根，設函數(shù)，則，時，或；時，，在和上單調遞增，在上單調遞減，時取極大值，時取極小值，所以的取值范圍為.19.【答案】(1)解方法一由題意得，f′(x)＝ex－1－2ax.∵ex≥1＋x，當且僅當x＝0時等號成立，∴f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x.∴當1－2a≥0，即a≤時，在區(qū)間[0，＋∞)上，f′(x)≥0，且f′(x)不恒等于0，∴f(x)單調遞增，f(x)≥f(0)，即f(x)≥0，符合題意．又由ex>1＋x(x≠0)，可得e－x>1－x(x≠0)．∴當a>時，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)·(ex－2a)．∴在區(qū)間(0，ln2a)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減，f(x)<0，不符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為.方法二由題意得，f′(x)＝ex－1－2ax.令h(x)＝ex－1－2ax，則h′(x)＝ex－2a.當2a≤1，即a≤時，在[0，＋∞)上，h′(x)≥0，且h′(x)不恒等于0，∴h(x)單調遞增，h(x)≥h(0)＝0，即f′(x)≥f′(0)＝0.∴f(x)在[0，＋∞)上單調遞增，∴f(x)≥f(0)＝0，∴a≤時滿足條件．當2a>1，即a>時，令h′(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a)上，h′(x)<0，h(x)單調遞減，∴當x∈(0，ln2a)時，有h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<