河北省邢臺市卓越聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

卓越聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在稱答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊6.1至7.4。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.從4名女同學(xué)和3名男同學(xué)中各選1人來主持某次主題班會，則不同的選法有（）A.12種 B.7種 C.4種 D.3種2.若，則（）A.3 B.4 C.5 D.63.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A. B. C. D.4.若隨機(jī)變量的分布列為（）012P0.30.20.5則（）A.1.2 B.1.44 C.0.92 D.0.765.已知函數(shù)有極值，則的取值范圍為（）A. B. C. D.6.某一時(shí)期某影院對影片排片的概率為，對影片排片的概率為，同時(shí)對兩部影片排片的概率為，則該影院在沒有對影片排片的條件下，對影片M排片的概率為（）A. B. C. D.7.在清明小長假期間，要從5人中選若干人在3天假期值班，每天需要2個(gè)人值班，同一人不連續(xù)值班，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.60 B.90 C.120 D.1808.高爾頓釘板（或高爾頓板）是英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型.某游樂場根據(jù)“高爾頓釘板”模型，仿制了一款如圖所示的游戲機(jī)：玩家投入1枚游戲幣后，機(jī)器從上方放下一顆半徑適當(dāng)?shù)男∏颍∏虻瓤赡艿貜牡?層由2個(gè)釘子（圖中圓點(diǎn)）隔出的3個(gè)空隙中落下，碰撞到下一層的釘子后等可能地從碰撞到的釘子左邊或右邊落下，如此①②③④⑤⑥⑦⑧繼續(xù)下去，最后落入編號為①②…⑧的槽內(nèi)，然后根據(jù)落下的結(jié)果發(fā)放獎品.③號槽對應(yīng)的獎品正是小明喜歡的公仔，小明準(zhǔn)備投入30枚游戲幣，則他獲得該公仔個(gè)數(shù)的期望為（）A.2 B.3 C.4 D.5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，若只有最大，則（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值可能為（）A.2 B.3 C.4 D.511.甲、乙兩人競爭某公司同一個(gè)崗位，公司設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案：公司準(zhǔn)備了4個(gè)問題，先從這4個(gè)問題中隨機(jī)選取3個(gè)問題讓甲、乙分別作答，回答正確個(gè)數(shù)多的一方獲勝，若回答正確的個(gè)數(shù)相同，則甲、乙對剩下1個(gè)問題進(jìn)行搶答，搶到問題并回答正確的一方獲勝，否則對方獲勝.已知甲在4個(gè)問題中有3個(gè)問題能回答正確，乙每個(gè)問題回答正確的概率都是，搶答環(huán)節(jié)兩人搶到問題是等可能的，且兩人每個(gè)問題（）A.只回答完前3個(gè)問題，甲獲勝的概率為B.只回答完前3個(gè)問題，乙獲勝的概率為C.進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲搶到問題并獲勝的概率為D.進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲獲勝的概率為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)事件A，B滿足，，則__________13.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，則不等式的解集為__________.14.某互聯(lián)網(wǎng)公司開發(fā)了一個(gè)新的在線游戲，玩家每通過一道關(guān)卡后，有概率獲得一件稀有裝備.已知玩家每次通過關(guān)卡獨(dú)立獲得稀有裝備的概率為，玩家甲計(jì)劃挑戰(zhàn)30道關(guān)卡，設(shè)玩家甲獲得稀有裝備的件數(shù)為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）某俱樂部安排3名女生和4名男生組成一支隊(duì)伍參加羽毛球團(tuán)體賽，每人只參加一個(gè)項(xiàng)目.（1）若比賽依次進(jìn)行7輪單打，且3名女生的比賽順序是相鄰的，求不同的安排方法種數(shù)；（2）若比賽依次按照男子雙打、女子雙打、混合雙打、男子單打共四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行，求不同的安排方法種數(shù)；（3）若比賽依次按照雙打、雙打、雙打、單打共四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行，求不同的安排方法種數(shù).16.（15分）甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，采用五局三勝制，無平局，已知每局比賽甲獲勝的概率為，且甲、乙每局比賽的結(jié)果互不影響.（1）求四局比賽結(jié)束的概率；（2）記比賽結(jié)束時(shí)甲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與期望；（3）在第一局甲負(fù)的條件下，試判斷乙贏得比賽的概率是否超過17.（15分）某幼兒園周一至周五每天安排一項(xiàng)活動，如下表：時(shí)間周一周二周三周四周五活動項(xiàng)目籃球輪滑排球跳繩圍棋要求每位家長結(jié)合小孩的興趣選擇其中的三項(xiàng).（1）已知家長甲決定選擇籃球，不選擇圍棋，其余三天任選兩項(xiàng)；家長乙決定選擇排球，其余四天任選兩項(xiàng).求家長甲選輪滑且家長乙未選輪滑的概率.（2）若有四位家長都無特殊情況，分別任選三項(xiàng)，用X表示四人中選擇跳繩的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.（17分）若存在和，使得，且，則稱是函數(shù).（1）已知函數(shù)，判斷是否為函數(shù).（2）已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：是函數(shù).19.（17分）某大型超市為回饋廣大顧客，開展消費(fèi)抽獎活動，每消費(fèi)滿500元可參與一次抽獎（一個(gè)小盒里放入6個(gè)除顏色外其他都相同的小球，其中4個(gè)黑球和2個(gè)紅球），顧客可自由選擇抽獎方式.一次抽獎規(guī)則如下：方案一：顧客一次性從中隨機(jī)抽取2個(gè)小球.方案二：顧客從中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，若取到紅球，則將該紅球放回盒中并再往盒中加入1個(gè)紅球；若取出黑球，則將該黑球換成紅球放回盒中，再從盒中隨機(jī)抽取1個(gè)小球.獎勵規(guī)則如下：取球結(jié)果2個(gè)紅球2個(gè)黑球紅、黑球各1個(gè)獎金100元80元50元（1）顧客參與一次抽獎，求兩種方案所得獎金的期望，并比較選擇哪個(gè)方案所得獎金的期望更大.（2）顧客甲消費(fèi)了1500元，若他每次抽獎選擇方案一的概率為，選擇方案二的概率為，求他抽獎獲得的獎金總額的期望.（3）若該超市對消費(fèi)不足500元的顧客設(shè)置一個(gè)幸運(yùn)抽獎環(huán)節(jié)（一個(gè)小盒里仍然是4個(gè)黑球和2個(gè)紅球）：顧客從中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，若取出黑球，則放回小盒中，無獎勵；若取出紅球，則用黑球替換該紅球重新放回小盒中，獎勵幸運(yùn)禮品一份，下一位顧客繼續(xù)抽獎直至紅球取完為止.求第位顧客抽獎時(shí)，恰好獲得最后一份幸運(yùn)禮品的概率.

卓越聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1.A依題意，不同的選法有種.2.B因?yàn)?，所以，所以?5（舍去）.3.C因?yàn)?，所以，所?4.D因?yàn)椋?5.A因?yàn)橛袠O值，所以方程有兩個(gè)不同的根，由，得.6.D設(shè)該影院對影片排片為事件，對影片排片為事件，則，，，，，所以，所以.7.B第1天有種排法，第2天有種排法，第3天有種排法，所以不同的安排方法有種.8.D小球從最上層3個(gè)縫隙中落下的概率都相等，往后每一層左、右兩邊落下的概率相同，所以小球落入③號槽的概率.因?yàn)?0個(gè)小球落入③號槽的個(gè)數(shù)，所以.9.BCD因?yàn)橹挥凶畲?，所以，故A錯誤；令，則，故B正確；令，則，因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)?，所以D正確.10.BCD因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的根.，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)榈淖钚≈禐椋耶?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，即的取值范圍為.因?yàn)?，所?11.ACD記前3個(gè)問題甲、乙回答正確的個(gè)數(shù)分別為X，Y，甲搶到問題為事件，甲回答正確為事件，乙搶到問題為事件，乙回答正確為事件，則，，，，.對于A，只回答完前3個(gè)問題，甲獲勝的概率為，A正確；對于B，只回答完前3個(gè)問題，乙獲勝的概率為，B錯誤；對于C，進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲搶到問題并獲勝的概率為，C正確；對于，，，所以進(jìn)入搶答環(huán)節(jié)且甲獲勝的概率為，D正確.12.因?yàn)?，所?13..因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減.不等式等價(jià)于，所以得.14.6易知，則所以解得，因?yàn)?，所?15.解：（1）不同的安排方法種數(shù)為.……4分（2）不同的安排方法種數(shù)為.……8分（3）不同的安排方法種數(shù)為.……13分16.解：（1）四局比賽結(jié)束，甲勝的概率，……2分乙勝的概率，……4分所以四局比賽結(jié)束的概率為.……5分（2）所有的可能取值為0，1，2，3.；……7分；.……9分的分布列為0123故.……10分（3）在第一局甲負(fù)的條件下，乙勝的概率，所以在第一局甲負(fù)的條件下，乙贏得比賽的概率不超過.……15分17.解：（1）設(shè)事件表示“家長甲選輪滑”，事件表示“家長乙選輪滑”，則，.……3分因?yàn)槭录嗀A，B相互獨(dú)立，所以家長甲選輪滑且家長乙未選輪滑的概率為.……5分（2）每人選擇跳繩的概率.……6分所有的可能取值為0，1，2，3，4.；；……8分；；……10分.……11分的分布列為01234……13分因?yàn)椋?……15分18.（1）解：對求導(dǎo)可得，……1分則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.……2分又當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，記為.……3分因?yàn)?，，所以，…?分所以，故是函數(shù).……5分（2）（?。┙猓河煽傻茫?，則……6分當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.……8分當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則需要，……10分解得，所以的取值范圍為.……11分（ⅱ）證明：設(shè)，且，則，解得（，否則方程不成立），則要證是函數(shù)，即證，即證，化簡得.……14分令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，……16分所以，得證，即是函數(shù).……17分19.解：（1）選擇方案一，設(shè)一次抽獎的中獎金額為，則所有的可能取值為50，80，100.；；……2分.故.……4分選擇方案二，設(shè)一次抽獎的中獎金額為，則所有的可能取值為50，80，100