河南省焦作市普通高中2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

河南省焦作市普通高中2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．的展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C． D．4．記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則（

）A．2 B．1 C． D．05．已知底面半徑為1的圓錐的體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．已知是數(shù)列的前n項和，，則（

）A．2575 B．3435 C．4345 D．51357．若函數(shù)在時取得極大值0，則（

）A． B．或 C． D．8．已知是橢圓的左焦點，經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線與交于兩點，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則（

）A．是的周期B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)D．在區(qū)間上恰有2個零點10．已知數(shù)列的通項公式是，前項和為，則（

）A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．存在，使得成立C．當(dāng)時，最大D．?dāng)?shù)列的最大值為11．已知關(guān)于x的不等式對任意恒成立，則實數(shù)k的可能取值為（

）A． B． C．e D．2e三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.13．已知非零向量，滿足，且在上的投影向量為，則向量，的夾角.14．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與C的右支交于A，B兩點，若，，則C的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知等差數(shù)列的前n項和為，，.(1)求的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項和.16．記為數(shù)列的前n項和，，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.17．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求證：.18．如圖，在三棱錐中，P，Q分別是，的中點，，.

(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求三棱錐的外接球的表面積.19．已知函數(shù)的定義域為，數(shù)列滿足，若存在數(shù)列滿足，，且，則稱為關(guān)于的對稱數(shù)列.(1)若，，求數(shù)列關(guān)于的一個對稱數(shù)列；(2)已知函數(shù)，數(shù)列為數(shù)列關(guān)于的對稱數(shù)列，且，，證明：；(3)已知函數(shù)，數(shù)列為數(shù)列關(guān)于的對稱數(shù)列，證明：.

參考答案1．【答案】D【詳解】

由題可知，∴.故選D.2．【答案】A【詳解】因為，所以，所以.故選A.3．【答案】B【詳解】的展開式的通項為，令，得，所以常數(shù)項為．故選B．4．【答案】B【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，因為，所以，所以.故選B.5．【答案】D【詳解】設(shè)該圓錐的高、母線長分別為h，l，由題知，則，所以，則該圓錐的側(cè)面積.故選D.6．【答案】B【詳解】由題知.故選B.7．【答案】C【詳解】由題知，，由在時取得極大值，∴，解得或，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，由，，所以在上單調(diào)遞減；由，，所以在上單調(diào)遞增；此時在時取得極大值，滿足題意，故，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，不符合題意，故舍去；∴，將代入，解得，所以.故選C.8．【答案】C【詳解】設(shè)為的右焦點，連接，，如圖，則四邊形為平行四邊形，∴，由橢圓定義知，，∴，.在中，，∴.在中，.

故選C.9．【答案】ACD【詳解】由題知，，所以最小正周期，故A正確；當(dāng)時，，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上先減后增，故B錯誤；為奇函數(shù).故C正確；令，得，，∴，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，均是在區(qū)間上的零點，故D正確.故選ACD.10．【答案】ABD【詳解】∵，∴，，則為等差數(shù)列，故A正確；∵，，∴，故B正確；∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，最大，故C錯誤；∵，，，∴當(dāng)時，，當(dāng)或時，，的最大值為，故D正確.故選ABD.11．【答案】BCD【詳解】解析

由題知，不等式對任意恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，∴當(dāng)時.直線恒過點，設(shè)直線與的圖像相切時，切點為，∴，解得或，∴直線與的圖象相切時，切線斜率分別為，，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象與直線，由圖知，要使對恒成立，則，故選BCD.

12．【答案】【詳解】由題知，，，切線的斜率，∴切線方程為，即.13．【答案】【詳解】因為在上的投影向量為，所以，所以，因為，所以，所以，所以，因為，所以.14．【答案】2或【詳解】設(shè)C的半焦距為，D為線段的中點，連接.∵，∴，∴是線段的垂直平分線，∴，，由雙曲線的定義知，，∵，∴，∴.∵，，在中，，在中，，∴，化簡得，解得或.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為d，依題意，，解得，，所以的通項公式.（2）由（1）知，，所以.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，①∴當(dāng)時，，

當(dāng)時，，②①-②，得，∴，

又，∴是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，

∴.（2）由（1）知，，

∴，③

∴，④

③-④，得，

∴.17．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【詳解】（1）由的定義域為，，若，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，由，得，設(shè)，則，設(shè)，則，則即在內(nèi)單調(diào)遞增，∵，，∴存在，使得，即，即，，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞增，∴，∵當(dāng)，即時，，上式取不到等號，∴時，.18．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）

設(shè)O為的中點，如圖，連接，，∵，則，∴，

∵P是的中點，∴，.又，則是邊長為2的正三角形，∴，，

∴，∴.∵，平面，平面，平面，

∵平面，∴平面平面.（2）由（1）知，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因為P，Q分別是，的中點，，則，，，，，，∴，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，∴平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.（3）設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，，，所以，則，

∴，∴三棱錐的外接球的表面積為.19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由題知，數(shù)列是關(guān)于函數(shù)的一個對稱數(shù)列.理由如下：由題知，，定義域為，∵對任意，，，，，，∴，∴數(shù)列是關(guān)于函數(shù)的一個對稱數(shù)列.（2）由題知，，

∴，

∴，即，∵，∴，

∴.（3）由題知