河南省開(kāi)封市五校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

河南省開(kāi)封市五校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．在填寫(xiě)高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到A，B兩所大學(xué)分別有7，8個(gè)自己感興趣的專(zhuān)業(yè)，若這名同學(xué)只能從這些專(zhuān)業(yè)中選擇1個(gè)，則他不同的選擇種數(shù)為（

）A．56 B．15 C．28 D．302．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（

）A．2 B．1 C． D．3．據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組將上線(xiàn)新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)組列車(chē)全長(zhǎng)236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)開(kāi)出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)的加速度為（

）A． B． C． D．4．中國(guó)體育代表團(tuán)在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)獲得40金27銀24銅共91枚獎(jiǎng)牌，金牌數(shù)與美國(guó)隊(duì)并列排名第一?創(chuàng)造了參加境外奧運(yùn)會(huì)的最佳戰(zhàn)績(jī).巴黎奧運(yùn)會(huì)中國(guó)內(nèi)地奧運(yùn)健兒代表團(tuán)于8月29日至9月2日訪(fǎng)問(wèn)香港?澳門(mén).訪(fǎng)問(wèn)期間，甲?乙?丙3名代表團(tuán)團(tuán)員與4名青少年站成一排拍照留念，若甲?乙?丙互不相鄰，則不同的排法有（

）A．2880種 B．1440種 C．720種 D．360種5．函數(shù)的極小值點(diǎn)為（

）A． B． C．0 D．16．某5位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，又來(lái)了2位同學(xué)要加入，如果保持原來(lái)5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則不同的加入方法種數(shù)為（

）A．21 B．30 C．42 D．607．已知函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．將7名身高不同的學(xué)生從左往右排成一列，記第名學(xué)生的身高為，當(dāng)時(shí)，由于學(xué)生的身高變化像字母，所以也叫“數(shù)列”，則滿(mǎn)足條件的“數(shù)列”共有（

）A．61個(gè) B．65個(gè) C．68個(gè) D．71個(gè)二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則滿(mǎn)足不等式的的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．610．已知，則（

）A． B．C． D．11．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（

）A．有3個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)有2條三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則．13．某班組織一次認(rèn)識(shí)大自然的活動(dòng)，有6名同學(xué)參加，其中有3名男生，3名女生，現(xiàn)要從這6名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本，則抽取的3名同學(xué)中既有男生又有女生的抽取方法共有種．14．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，當(dāng)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，稱(chēng)是一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．若恰有3組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的方程；（2）求函數(shù)的極值．16．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64.（1）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).17．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知圓，過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，若與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的面積的最大值．19．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），函數(shù)的極值點(diǎn)為0．(1)求的值；(2)證明：對(duì)；(3)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．

參考答案1．【答案】B【詳解】不同的選擇種數(shù)為.故選B.2．【答案】A【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選A3．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，即時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車(chē)的加速度為，故選B4．【答案】B【詳解】第一步先排4名青少年共有種排法，第二步把甲?乙?丙插在4名青少年中間有種排法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種排法，故選B.5．【答案】C【詳解】，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點(diǎn)為0．故選C6．【答案】C【詳解】7位同學(xué)排成一排準(zhǔn)備照相時(shí)，共有種排法，如果保持原來(lái)5位同學(xué)的相對(duì)順序不變，則有種排法.故選C7．【答案】C【詳解】易知的定義域?yàn)椋?，由題意可知在上有解，即在上有解，可得，所以．故選C．8．【答案】D【詳解】記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，因?yàn)槎急却?，所以只能為，?當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個(gè)數(shù)作為，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，剩余兩個(gè)數(shù)排，有種選法，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，從4，5，6，7中選2個(gè)數(shù)作為有種選法，剩余2個(gè)數(shù)為，共有6個(gè)“數(shù)列”.綜上所述，滿(mǎn)足條件的“數(shù)列”共有個(gè).故選D.9．【答案】AB【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以?.故選AB.10．【答案】AD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，令，得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，將，兩式相加，得，即，故D正確.故選AD11．【答案】CD【詳解】，則，解得，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，極大值為，所以有1個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；由，得，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，C正確；設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)，所以切線(xiàn)方程，將點(diǎn)代入切線(xiàn)方程為，整理得，即，解得，或，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切于點(diǎn)或，因此過(guò)點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)有2條，D正確．故選CD．12．【答案】【詳解】由，得，所以，解得．13．【答案】18【詳解】抽取的3名同學(xué)中既有男生又有女生包含2種情況：1名男生，2名女生；2名男生，1名女生.所以滿(mǎn)足要求的抽取方法共有（種）.14．【答案】【詳解】，設(shè)，則，所以，，所以，因?yàn)榕c的圖象若恰有3組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以有三組解，可得即有三個(gè)解，令，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，所以.15．【答案】（1）（2）極小值為，極大值為13【詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的方程為，即．（2）令，得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：300單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為13．16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意可得，解得，所以該二項(xiàng)式為，則通項(xiàng)公式為：．令，解得，所以該二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．（2）因?yàn)?，易知：展開(kāi)式第四項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，即,所以展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，聯(lián)立方程，解得或，且，則，可知公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得：，所以.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，易知點(diǎn)的坐標(biāo)為或，若點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立可得，不妨取點(diǎn)、，此時(shí)，；當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，易知圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，則，可得，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，且，因此，面積的最大值為.19．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)詳解(3)證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）由，得，因?yàn)楹瘮?shù)的極值點(diǎn)為0，所以，解得．若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)